3章2伯努利方程

1、3-5 伯努利方程 (Bernoulli equation,1738)n一、理想流体定常流的伯努利方程spfass1suutuasszggfscosspszgsuu1spszgsuu1spsgzsu)/()()2/(20)2(2pgzuscpgzu22cgpzgu22伯努利方程伯努利方程伯努利方程的物理意义n能量意义：J/kg 单位：常数 2Vgzp2沿流线，(压力能势能动能)守恒Pa 单位：常数 2Vgzp2沿流线，(静压位压动压)守恒n几何意义：OmH 2单位：常数 2gVzgp2沿流线, (压力水头位置水头速度水头)总水头, 即：沿流线总水头守恒伯努利方程n三种形式：1) 能量形式con

2、stVpgz22单位：J/kgconstVpgz222) 压头形式单位：PaconstgVgpz223) 水头形式单位：mH2O伯努利方程应用1、静压管、总压管测速度hggppgu22101P0=Pa+g(h+x)P1=Pa+g xgpgugp0212伯努利方程应用2、毕托管(Pitot Tube)测流速gugpzgugpz2221112000gppguuzz1010102, 0,用于测点速度.沿流线伯努利方程静压管和总压管伯努利方程应用3、小孔定常出流gVgpzgpzaa221110hzz101, 1平均速度ghV21对00和11：3-6 压强沿流线法向的变化n设流线某处的曲率半径为r 。r

3、pfarr1rzggfruarrcos,2)(2pgzrru)(2pgzrru, 0)(,pgzrr时当常数即沿流线法向gpzn缓变流和急变流的概念: 如果某处的流线的曲率半径非常大,则此处的流动称为缓变流.否则称为急变流.曲率半径很大时，沿流线的法向，压强服从静压分布公式曲率半径很大时，沿流线的法向，压强服从静压分布公式3-7 总流的伯努利方程n 总流：全部流束的总体 研究总流在截面11和22的部份，取某一流束，速度和截面积为u1, dA1和u2，dA2。gugpzgugpz2222222111伯努利方程不可压缩连续方程 u1dA1=u2dA2 或 dQ1=dQ2222222112111)2

4、()2(21dAugugpzdAugugpzAA总流的伯努利方程n设两截面处在缓变流中，在11和22截面上，z+p/g=常数,则AQgpzdQgpz)()(截面平均速度为令 2222VAVgVudAguA修正系数通量称为动能)()(13dAVuAAn对圆管层流，=2，n工程上的管流为紊流，1222222121111)2()2(QgVgpzQgVgpzgVgpzgVgpzQQ22222222111121z, p 通常在截面中心取值。 它与流线上的伯努利方程在形式上相同，如果计算点速度就用流线形式，如果计算平均流速就用此式。总流伯努利方程应用举例总流伯努利方程应用1、文丘里流量计(Venturi

5、Meter)对截面1和2，总流伯努利方程gVgpzgVgpz222222221111)()(12)(212142212212211gppzzDdgVDdAAVVAVAV如果用水银压差计测压差则有p1+g(x+h)=p2+g(z2-z1+x)+ghhzzgpp) 1/(,21214,222)/(1) 1/(24DdhgdVAQ文丘里流量计考虑到流体的粘性影响及制造工艺等因素，流量应乘上一个流量系数，实验方法测定，一般取0.95-0.98。文丘里效应n文丘里效应简单说就是，当空气从一个比较广大的空间流向比较狭窄的端口时，在阻挡物的背风面上方端口附近气压相对较低，产生的吸附作用使空气流动自然加速。这

6、是美国著名建筑设计大师赖特设计的一个房子，利用文丘里效应来冷却中间的空间。总流伯努利方程应用2、烟囱排烟原理对截面1和2，总流伯努利方程gVgpzgVgpz222222221111)()(12)(212142212212211gppzzDdgVDdAAVVAVAV22112211设烟囱周围大气压为 Pa1，Pa2则烟囱正常排烟时，22aPP HgPPaaa12HZZ12)VV(gH)(PPaa22211121 称为烟囱的自然抽力，通常为负值。可见，H越大时，烟囱的自然抽力也越大。但由 得到22aPP 总流伯努利方程的推广（流体对外界作功）n1、风机n2、水泵n3、涡轮机)Vpgz(P)Vpgz

7、(2222222111其中，P为风机的静压头，Pa)gVgpz(H)gVgpz(2222222111其中，H为水泵的扬程，mH2ON)Vpgz()Vpgz(2222222111其中，N为涡轮机的输出功，J/kg3-8 非定常的伯努利方程n非定常一元流动的运动方程：szgfspfsuutuss式中1022)upgz(stu2102)(21221212ssuuppzzgdstu或沿流线从1到2点积分s1s2流线s 例 旁管非定常流出流n容器的旁管打开瞬间，出流速度从零开始增加，n容器内速度视为零，水深 h 可视常数2102)(21221212ssuuppzzgdstu022ughldtdu即utd

8、tlughdu00212例: U形管中的液体振荡初始时，液面在虚线上振荡时，左液面向下位移x，右液面向上位移x。设液柱之长为l0)sin()sin(xgxgdtdul2102)(21221212ssuuppzzgdstu2)sin(sin,lgdtdxu令0222xdtxdtxxsin0例 习题3-21n水 库 的 出 水 管 设 有 调 压 井 , 已 知 l,d,h,D,求调压井水面的震荡周期n解:2102)(21211212ssuuppzzgdstu0202VgydtdVhdtdul4422DVdun其解为 y=y0sint02)(222VgydtdVdDlh2222,2dDlhgdtd

9、yVV令且忽略0222ydtyd习题n3-2n3-9n3-15n3-183-9 动量方程与动量矩方程流体对物体流体对物体的作用力的作用力 n质点动量方程FVmdtd)(FdVdtd 系统的动量方程： 对于控制体，不计粘性力影响,则有动量方程（3-9）3-9 动量方程与动量矩方程AAndAnpd fdAVdtV)(定常动量方程n总流的动量方程：n单位时间内，流出控制体的动量等于作用在控制体上的外力和AAndAnpd fdAV1212AAFdQVdQV)( 为平均速度VVQudQAAA)(dA)Vu(AdQVuQ修正系数通量称为动量211总流的动量方程与动量矩方程FQVQV流入流出总流的动量方程)

10、()( : n对圆管层流，=4/3，n工程上的管流为紊流，1.021.05 1应用1水流对弯管的作用力n分析管壁受力0)(00dAnppFAa则dAnppFAa00)(即设：为固定弯管所需外力为Fn分析控制体内水的受力分析控制体内水的受力n（弯管水平，不计重力，f项不计）FAnppAnppdAnppdAnppdAnppaaAAaAaa222111)()()()()(102AaAdAnppdAnp)(1122222111)()(VQVQAnppAnppFaan投影式1122222111)()(VQVQAnppAnppFaasinsin)(222QVAppFay)cos(cos)()(122211

11、VVQAppAppFaax例:求固定弯管所需外力n已知:Q=0.08 m3/s,d1=0.3m,d2=0.2m, =30,p1-pa=12kN/m2,求F x ,F y.gVgpgVgp22222211解:V1=1.13m/s,V2=2.55m/s得 p2-pa=p1-pa+(V12-V22)/2=506.6NF x=(p1-pa)A1-(p2-pa)A2cos -Q(V2cos -V1)=506.6NF y=(p2-pa)A2sin-QV2 sin =249.5N应用2水流对喷嘴的合力n已知:管径,d1,d2,截面1的 表压强p1-pa,求为固定喷嘴所需的力F.设喷嘴给水流的合力为F，则（p

12、1pa）A1(p2pa）A2F=Q(V2V1)p2=pa F=(p1pa）A1Q(V2V1)今求V1和V2221122221122AVAVgVgpgVgp)(1 21212221AAVppa得11)(121 )(2121112111AAAAAppAAAppFaan思考: 如果已知d1,d2,及流量Q, 外力F是多少?p2=pa应用3水流对水坝的合力(溢流坝）n已知:上下游水深h1和h2, 求水坝给水流的合力F.)()(21122221VVQhhgF)()(21122221VVQhhgFgVgphgVgphhhhVVVQaa22)1 ()(2222111222212213212hh)hh(gF应

13、用4射流对固定平板的作用力sin)sin(0cos02211QVVQFQVVQVQn由于p1=p2=pa,忽略重力作用,在水平面上，位置水头一致，则有:V1=V2=V 伯努利方程QQQQ)cos1 (21,)cos1 (2121因:Q1+Q2=Q所以:X方向y方向应用5. 射流对固定叶片的作用力n设叶片给水体的合力为Fx和Fy,n如图所示,不计重力作用 sin)cos(0200000VAFVVVAFyx应用5n射流绝对速度为V0,)cos1 ()(:020uAuVuFPx功率射流对运动叶片所作的叶片运动速度为u.控制面上流体的相对速度为V0-u) 1(cos)(020AuVFxsin)(020

14、AuVFy应用6物体阻力n物体上游速度均布V0.20220)()2sin()(hyVyuhyhyVyu物体下游的速度分布为试用动量定理求物体的阻力.取如图的两条流线，对控制体应用动量方程（表压为0）：20120222hhVdyuFnh1为上游半宽,待求.nF为物体给流体的合力(即阻力)连续性方程201022hudyhV212hh即220) 14(hVF物体阻力应用7洒水器转速n设为顺时针方向，则阻力矩为逆时针方向，则sinRV M=Q（V sinR）R阻力为零时，M=0，则应用8叶轮机械基本方程n采用动坐标，离心惯性力属质量力spfass1)2(2ussuuas沿动坐标的一条流线S:加速度:1、伯努利方程n质量力有重力和惯性力dsdrrdsdzgrgfs22coscos0)22(222rupgzdsd02)(2 2221222211212gRRguugppzz积分得伯努利方程gugpz2H 2令总水头2gRRHH2122212)( 则表示：出口水头入口水头转动动能的变化量n 设流体沿通道的相对运动速度为ur，牵连速度为uc=r，绝对速度V是牵连速度及相对速度之和:r