线性代数详细知识点

1、精品线性代数第一章行列式§1 二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式结论： 如果 a11a22a12a210 ，则二元线性方程组a11x1a12x2b1a21x1a22x2b2的解为x1b1a22a12b2 ， x2a11b2b1a21 。a11a22a12 a21a11b2b1a21定义： 设 a11, a12 ,a21 ,a22，记 a11a22a12a21 为 a11a12。称 a11a12为二阶行列式a21a22a21a22有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为b1a12a11b1x1b2a22， x2a12b2a11a12a11a12a21a22a

2、21a22二、三阶行列式与三元一次线性方程组a11a12 a13定义： a21a22a23a31a32a33a11a22a33a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a12a21a33 a11a23a32感谢下载载精品a11a12a13定理： 如果 D a21a22a230，则 ( x1* , x2* , x3* ) 是下面的三元线性方程组的解a31a32a33a11 x1a12 x2a13x3b1a21x1a22x2a23 x3b2a31 x1a32x2a33 x3b3当且仅当b1a12a13a11b1a13a11a12b1x1*b2a22a23/ D , x2*a2

3、1b2a23 / D , x3*a21a22b2/ Db3a32a33a31b3a33a31a32b3a11a12 a13其中 a21a22a23 为系数行列式。a31a32 a33证明：略。a11a12a13a11a21a31性质 1 ：行列式行列互换，其值不变。即a21a22a23a12a22a32。a31a32a33a13a23a33性质 2 ：行列式某两行或列互换，其值变号。例如a11a12a13a21a22a23a21a22a23a11a12a13a31a32a33a31a32a33推论 ：行列式有两行相同，其值为零。性质 3 ：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。例如a

4、11a12a13a11a12a13ka21ka22ka23k a21a22a23a31a32a33a31a32a33推论 ：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。感谢下载载精品推论 ：行列式有一行全为零，其值为零。性质 4 ：行列式有两行成比例时，其值为零。性质 5 ：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。例如a11a12a13a11a12a13a11a12a13a21b21a22b22a23b23a21a22a23b21b22b23a31a32a33a31a32a33a31a32a33性质6：将行列式的某一行(列 )的所有元素都乘以数k 后加到另一行 (列 ) 对应位置的元素上 ,

5、其值不变。例如a11a12a13a11a12a13a21ka11 a22ka12a23ka13a21a22a23a31a32a33a31a32a33性质 7 ：行列式按某一行展开a11a12a13a22a23a21a23a21a22a21a22a23a11 a32a33a12 a31a33a13 a31a32a31a32a33定理的证明： 用 a22a23乘第一个方程a11 x1a12 x2a13x3b1 ，得a32a33a22a23a22a23a22a23a22a23a11 aax1a12 aax2a13 aax3b1aa3233323332333233用 a12a13乘第一个方程 a21x

6、1a22 x2a23 x3b2 ，得a32a33a21a12a13x1a22a12a13x2a23a12a13x3b2a12a13；a32a33a32a33a32a33a32a33同理，有感谢下载载精品a12a13a12a13a12a13a12a13a31 a22a23x1a32 a22a23x2a33 a22a23x3b3 a22a23。+ （-1 ） + ，得(a11a22a23a21a12a13a31a12a13) x1a32a33a32a33a22a23a22a23a12a13a12a13(a12 aaa22 aaa32 aa) x2323332332223(a13a22a23a23a

7、12a13a33a12a13 ) x3a32a33a32a33a22a23a22a23a12a13a12a13b1 a32a33b2a32a33b3a22a23利用性质7 ，得a11a12a13a12a12a13a13a12a13b1a12a13a21a22a23x1a22a22a23x2a23a22a23 x3b2a22a23a31a32a33a32a32a33a33a32a33b3a32a33从而a11a12a13b1a12a13a21a22a23x1b2a22a23 。a31a32a33b3a32a33a11x1a12 x2a13x30定理 ： a21x1a22 x2a23 x30 有非

8、零解当且仅当系数行列式 D 0 。a31x1a32 x2a33 x30证明：必要性：若齐次方程组有非零解，如果D0 ，由前面的定理，矛盾。充分性：若D0 ，注意a11a12a13a22a23a21a23a21a22a21a22a23 = a11a32a33a12a31a33a13 a31a32a31a32a33把 ( a22a23 ,a21a23, a21a22)带入第 2和第 3 个方程，容易验证它是方程组的解。a32a33a31a33a31a32感谢下载载精品因此，如果a22a23 ,a21a23, a21a22不全为零，则定理得证。a32a33a31a33a31a32a22a23a21a

9、230,a21a22a21a22a23。原方程组实际上如果a330,a33a31a320 ，则a32a33a32a31a31a11 x1a12 x2a13x30。而该方程组一定有非零解（为什么？自己讨论）。等价于a22 x2a23 x30a21x1§2 全排列及其逆序数定义： 1,2, n 的一个排列是指这n 个数组成的一个有序组。定义（逆序与逆序数） ：设 i1i2in 是 1,2, n 的一个排列，如果jk ，而 i ji k ，则称 (i j ,ik ) 构成一个逆序对，排列i1i 2in 的所有逆序对的个数叫做置换排列i1i2i n 的逆序数，记为(i1i2i n ) 。 (

10、 1)(i1i2 in )叫 做 排 列 i1i2in的 符 号 ， 记 为 sgn(i1i 2in ) 。sgn(i1i 2in ) 1的排列叫做偶排列，sgn(i1i 2in )1的排列 i1i2i n 叫做奇排列。定理3.2.1 ：设 i1i2in ， j1 j2j n 是 1,2, n 的任意两个排列，那么总可以通过一系列对换把是 i1i2in 变成 j1 j2j n 。例：排列 7523146包含的逆序对有75、 72 、 73、 71、 74 、 76 ；52、 53、 51、 54；21 ；31。故逆序数为12 。感谢下载载精品§3n 阶行列式的定义一、 n 阶行列式的

11、正式定义定义 ：数域 K 上的 n 阶行列式定义为a11a12a1na 21a22a2n( 1) ( j1 j2 jn ) a1 ja2 j2anjn 。j1 j21an1a n2annjn其中对任意的 i , j1,2, n ， aijK 。通常记之为 A 。00010020123424。例1：0300400010L001L0例2：LLL1L00L10a120a14a2100a24?例3： 0a32a33000a430a1a2a3a4a5b1b2b3b4b5例 4 ：。 c1c20 000 。d1d2000e1e2000a11a12La1n0a22La2nann例 5 ：LLLa11a22

12、LL00Lann感谢下载载精品§5 、行列式的性质性质 1 ：行列式行列互换，其值不变。即a11a12La1na11a21Lan1a21a22L a2 na12a22Lan 2。LLLLLLLLan1an2Lanna1na2 nLann性质 2 ：行列式某两行或列互换，其值变号。推论 ：行列式有两行相同，其值为零。性质 3 ：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。推论 ：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。推论 ：行列式有一行全为零，其值为零。性质 4 ：行列式有两行成比例时，其值为零。性质 5 ：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。性质6：将行列式的某一行(列

13、 )的所有元素都乘以数k 后加到另一行 (列 ) 对应位置的元素上 , 其值不变。§6 行列式按行展开感谢下载载精品a11a12La1n定义 1：在a21a22La2 nLLLLan1an2Lann中，把位于i 行， j 列的元素划去后留下的n1 行列式叫做aij 的余子式，记为M ij 。而A( 1)ij Mij叫做 aij的代数余子式。ija11a12La1n引理 ：LannAnn 。an 11an 12Lan1n00Lann证明：注意j1 j2jn 1n的逆序数与j1 j2jn 1 的逆序数的关系，其中j1 j 2jn 1 是1,2,( n1) 的一个排列。引理 ：在 n 阶行

14、列式A 中，若 aij0 ，而对所有的 kj ， aik 0 。则 Aaij Aij 。a11a12La1na21a22La2nai1 Ai1ai 2 Ai 2ain Ain定理 3：LLLLan1an2Lann推论：如果 ik ，则 ai 1Ak1ai 2 Ak 2ain Akn0例 13：行列式的计算1 ）一般方法：把它化为上三角行列式。2 ）递推法感谢下载载精品31125134例 7 ：0112153331111311例 8 ：13111113例 9 ：a11a12000a21a22000例 10 ： c11c12b11b12b13c21c22b21b22b23c31c32b31b32b

15、33例：计算下面行列式的值0L01L0n 1n 101L0LLLLL000L例：计算下面行列式的值a0100a1x10a0 xn 1a1 xn 2an 1an2001an100x解：a01 00x1 00a11 00a1x100x10a2x10Dna0an 20 0100 01 an 20 01an 10 0x00 0x an 10 0x感谢下载载精品a0 xn 1D n 1例 12：例 10：补充拉普拉斯定理1 方阵中某k 阶子式的余子式和代数余子式a11a12La1 n定义 1：在 Da21a22La2 n 中，选取位于 i1 、 i2 、 、 ik 行， j1 、 j2 、 、 jkLL

16、LLan1an 2Lann列的元素构成的行列式D (i1, i2 ,i k ; j1 , j 2, , jk ) 叫做原行列式的k 阶子式。划去这些行列的元素后余下的元素按照原来的位置组成的行列式称为该子式的余子式。记为M (i1,i2 , ,i k ; j1, j2 , , j k ) 。定义： A(i1, i2 , ik ; j1 , j2 , , jk ) ( 1)i1 i 2 ik j1 j2jk M (i1, i2 , i k ; j1 , j 2, , j k ) 叫做原子式的的代数余子式。2 拉普拉斯 (Laplace) 定理定理：设在 n 阶行列式 D 中任意取定 k 行，则由

17、这 k 行元素组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于D 。即感谢下载载精品DD (i1 ,i2 , ik ; j1, j2 , jk ) ( 1)i1 i2ik j1 j 2jk M (i1 ,i2 , ik ; j1, j2 , jk )j1 j 2j k3. 拉普拉斯 (Laplace) 定理的应用例 1 ：例 2：计算a11a12a1n000a21a22a2 n000an1an 2ann000100b11b12b1n10b21b22b2n001bn1bn2bnnc11c12Lc1na11a12La1nb11b12Lb1nc21c22Lc2na21a22La2 nb21b22

18、Lb2n定理： LLLLLLLLLLLLcn1cn2Lcnnan1an2Lannbn1bn2Lbnn这里 cij ai1b1 jai 2b2 jain bnj 。证明：构造a11a12a1n000a21a22a2n000an1an2ann000100b11b12b1n10b21b22b2 n001bn1bn 2bnn感谢下载载精品§7 克拉默法则线性方程组的有关概念定理 7.1 ：克拉默法则a11x1a12 x2a1n xn0a21x1a22 x2a2n xn0推论 ：齐次线性方程组（ 1 ）有非零解当且仅当系数行an1 x1an 2 x2annxn0列式为零。证明：必要性。若齐次线

19、性方程组有非零解，由克拉默法则，系数行列式为零。充分性。若系数行列式为零，利用归纳法。当 n2 时，结论成立。假设 k n1时，结论成立。现在证明 kn 时，结论成立。不妨设 a110 。把方程化为a11x1a12 x2a1n xn00 x1b22 x2b2n xn0（ 2）。0 x1bn2 x2bnn xn0感谢下载载精品a11a12La1n其系数行列式为0b22Lb2nLLLL0bn2Lbnnb22 x2b2n xn0b32 x2b3n xn0注意方程（ 3 ）的系数行列式bn2 x2bnn xn0b22b23Lb2na11a12La1nb32b33Lb3na21a22La2 n0 。LL

20、LLLLLLbn 2bn3Lbnnan1an 2L ann所以（ 3 ）有非零解，从而（2 ）有非零解。因此（ 1 ）有非零解。a11 x1a12 x2a1n xn0推论7.3 ：在齐次线性方程组a21 x1a22 x2a2 n xn0n ，则.（ 1）中，若 mam1x1am2 x2amn xn0它有非零解。例 1：求一个二次多项式f ( x) ，使得f (1) 1， f ( 1)9 ， f (2)3 。a11x1a12 x2a33x3a14 x40例 2：若a21 x1a22 x2a33x3a24 x40A11 ，x2A12 ，a31x1a32 x2a33x3a34 x4的系数行列式为零，

21、 证明 x10a41 x1a42 x2a43 x3a44 x40x3 A13， x4A14 是它的一个解。感谢下载载精品感谢下载载精品第二章矩阵§1 矩阵1 矩阵的定义定义 1 ：数域 K 上的 mn 矩阵为 m 行 n 列的数表a11a12.a1na21a22.a2n. . . .am1am2.amn记为 A aij m n 或者 Am n 。aij 叫做矩阵 Am n 的第 i 行 j 列的元。对角元素。当m = n ，矩阵 An n 叫做 n 阶方阵。实矩阵与复矩阵。感谢下载载精品 矩 阵 的 相 等 mn 矩 阵A(aij ) 与B(bij ) 是 相 等 的 ， 若 aij

22、bij（ i1,2,., m, j1,2,., n ）。零矩阵 若 ij0 （i1,2,., m, j1,2,., n），则称矩阵ij)为零矩阵。aA (a负矩阵 (aij) m n 叫做矩阵 A( aij) 的负矩阵，记为A 。a11a12.a1na11a12.a1m.a1n0a22.a2 n. . . .0a22.a2m.a2n 上三角矩阵 00 .ann 的矩阵叫形如和. . . . . .00 .000.amm.amn. . . .00 .0做上三角矩阵。a110.0对角矩阵 n 阶方矩阵 En0 a22.0叫做 n 阶对角矩阵。. . . .00.ann10 .0En01 .0单位矩

23、阵 叫做 n 阶单位矩阵。. . . .00 .1§2 矩阵的运算【矩阵的加法】感谢下载载精品a11a12.a1nb11b12.b1na11b11a12b12.a1nb1na21a22.a2nb21b22.b2na21b21a22b22.a2 nb2 n. . . .+=. . . .am1am2.amnbm1bm2.bmnam1bm1am 2bm2.amnbmn【矩阵与数的标量乘法】a11a12.a1nk a11k a12.ka1 na21a22.a2nk a21k a22.ka2 nk. . . .am1am2.amnk am1k am2.kamn命题： 对数域 K 上的任意 m

24、n 矩阵 A 、 B 、 C ，以及任意的 k,lK ，有1）A (B C) (A B) C2 ）3 ）ABBAA0A4）A ( A)05 ） k (lA)(k l ) A6 ） (k l )A k A l A7 ） k ( AB)k A k B8）1 AA。【矩阵的乘法】定义：对数域 K 上的任意 mn 矩阵 A(aij ) ，nr 矩阵 B(bij ) ，定义 AB(cij ) 。其中 cijai1b1 jai 2b2 j.ain bnj （ i1,2,., m, j1,2,., r ）。命题： 1 ）矩阵的乘法满足结合律：A(BC )( AB)C ；2） A(BC)ABAC (AB)CA

25、CBC感谢下载载精品3）(AB)(A)BA(B)4 ） A EE AA （ A 为 n 阶方阵）矩阵的方幂【矩阵的转置】a11a21.am1定义： nm 矩阵a12a22.am 2叫做 mn 矩阵 A( aij ) 的转置矩阵， 记为 AT 。. . . .a1na2 n.amn命题： 1）(AT)TA2）(AB)TATBT ；3 ） (kA)TkAT ；4） (AB)TBTAT 。【方阵的行列式】a11a12.a1n定义：行列式a21a22.a2n叫做 n 阶方阵 A(aij ) 的行列式。记为 A 。. . . .an1an2.ann命题： 1） ATA2 ）An A ；3 ）ABA B

26、；感谢下载载精品4） (AB)TBTAT 。§3 逆矩阵1 矩阵的定义定义：数域 K 上的 mn 矩阵为 m 行 n 列的数表a11a12.a1na21a22.a2n. . . .am1am2.amn记为 A aij m n 或者 Am n 。aij 叫做矩阵 Am n 的第 i行 j 列的元。对角元素。当m = n ，矩阵 An n 叫做 n 阶方阵。a11a12.a1n行列式 a21a22.a2 n 叫做 n 阶方阵 A(aij ) 的行列式。记为A 。. . . .an1an 2.ann 矩 阵 的 相 等 m n 矩 阵 A(aij ) 与 B(bij ) 是 相 等 的 ，

27、 若 aij bij（ i 1,2,., m, j1,2,., n ）。零矩阵 若 aij0 （ i1,2,., m, j1,2,., n ），则称矩阵 A(aij ) 为零矩阵。负矩阵 (aij ) m n 叫做矩阵 A ( aij) 的负矩阵，记为A 。感谢下载载精品a11a12.a1na11a12.a1m.a1n0a22.a2 n. . . .0a22.a2m.a2n 上三角矩阵 形如和00.ann 的矩阵叫. . . . . .00.000 .amm.amn. . . .00.0做上三角矩阵。a110 .0对角矩阵 n 阶方矩阵 En0a22.0叫做 n 阶对角矩阵。. . . .00 .ann10.0单位矩阵 En01.0叫做