第三章文科导数及其应用知识点

1、第三章导数及其应用知识体系总览平均变化率导数概念瞬时变化率导导数的几何意义数几个初等函数的导数导数的运算法则函数的单调性导数在研究函数中的应用函数的极值和最值生活中的优化问题3.1 导数的概念知识梳理1. 平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度， 即一段时间或一段位移内的速度；若物体的运动方程为 sf (t ), 则物体从 t 到 tt 这段时间内的平均速度 v(t ,t )f (tt ) f (t) ；一般的，函数 f (x) 在区间 x1, x2 tf ( x2 )f ( x1 )上的平均变化率为x2x1。2. 瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向

2、相同。我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的， 是对物体速度的一种粗略的估算。当平均速度 v(t , t)f (tt) f(t ) 中的 t 无限趋近于 0 时，平均速度tv(t , t )f (tt )f (t) 的极限称为在时刻t 的瞬时速度v(t ) ，记作 v= s =ttf (tt ) f (t)0) 。求瞬时速度的步骤为：( tt(1) 设物体的运动方程为 sf (t) ；(2) 先求时间改变量t 和位置改变量sf (tt )f (t );( 3) 再求平均速度sf (tt)f (t )v(t, t)tt(4) 后求瞬时速度：瞬时速度 v=s = f (tt) f (t

3、 ) ( t 0) .tt3. 求函数 y f ( x) 的导数的一般方法：（ 1）求函数的改变量yf (xx)f ( x) （ 2）求平均变化率yf (xx)f ( x) xx（ 3）取极限，得导数 y / f ( x)y ( x 0) x4. 常见函数的导数公式： C '0 ； (x n )'nx n 1 ； (sin x) 'cos x ； (cos x)'sin x ； ( a x ) 'a x ln a ； (ex ) 'ex ； (log a x) '1； (ln x)'1x ln ax5. 导数运算法则：1fxg x

4、fxgx；2f x g xf x g xf x g x；fxfx g xfxg x3gxgx2g x 06、由导数的定义可知，求函数yf ( x) 的导数的一般方法是：（ 1） . 求函数的改变量yf ( xd )f ( x) 。（ 2） . 求平均变化率yf ( xd )f ( x) 。dd（ 3）当 d0 时，得f (u d ) f (u)f / ( x0 )d7、曲线 C：y=f （x）在其上一点 P（x0， f （ x0 ）处的切线方程为yf （x0） = f （x0）（xx0）8、若质点的运动规律为s=s（t ），则质点在t =t 0 时的瞬时速度为v= s （ t 0 ）.这就是导

5、数的物理意义 .二 .函数的单调性1、利用导数的符号判断函数的单调性：一般地，设函数 yf (x) 在某个区间可导， 如果 f ' ( x)0 ，则 f (x) 为增函数；如果 f ' ( x)0 ，则 f (x) 为减函数；如果在某区间内恒有f ' ( x)0 ，则 f (x)为常数；2、对于可导函数 yf (x) 来说， f ' ( x)0 是 f ( x) 在某个区间上为增函数的充分非必要条件，f ' (x)0 是 f ( x) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件。3、利用导数判断函数单调性的步骤：求函数 f ( x) 的导数 f ( x).令

6、f ( x) 0 解不等式，得 x 的范围就是递增区间 .令 f ( x) 0 解不等式，得 x 的范围，就是递减区间 .4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 f ' (x)0 ；若函数单调递减，则 f ' (x)0 ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解三 .函数极大值、极小值1、极大值：如果 xc 是函数 f(x) 在某个开区间 (u, v) 上的最大值点，即不等式 f (c)f ( x)对一切 x(u,v) 成立，就说函数f(x) 在 xc 处取到极大值f (c) ，并称 c 为函数 f(x)的

7、一个极大值点，f (c) 为 f(x)的一个极大值。2、极小值：如果 xc 是函数 f(x)在某个开区间 (u, v) 上的最小值点， 即不等式 f (c)f ( x)对一切 x(u, v) 成立，就说函数f(x)在 xc 处取到极小值f (c) ，并称 c 为函数 f(x)的一个极小值点，f (c) 为 f(x)的一个极小值。3、极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点；若f (c)0 ，则 xc 叫做函数 f(x) 的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。4、判别 f ( c) 是极大、极小值的方法 : 若 x0 满足 f (c)0 ，且在 c 的两侧f (

8、 x) 的导数异号，则c 是 f ( x) 的极值点， f (c) 是极值，并且如果f ( x) 在 c 两侧满足“左正右负” ，则 c 是 f ( x) 的极大值点，f (c) 是极大值；如果f ( x) 在 c两侧满足“左负右正” ，则 c 是 f ( x) 的极小值点，f ( x0 ) 是极小值5、求可导函数 f ( x) 的极值的步骤 :(1) 确定函数的定义区间，求导数 f ( x)(2) 求 f(x) 的驻点，即求方程 f ( x)=0 的根(3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间， 并列成表格 . 检查 f ( x) 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负， 那么 f ( x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f ( x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么 f ( x) 在这个根处无极值三 函数的最大值和最小值在区间 a ，b 上连续的函数 f ( x) 在a ，b 上必有最大值与最小值。求闭区间 a,b 上连续的函数 f ( x) 的最大值和最小值的思想方法和步骤：（ 1）求函数?( x) 在(a ，b) 内的极值；（ 2）求函数?( x) 在区间端点的值?(a) 、?(b) ；（ 3）将函数? (x) 的各极值与?(a) 、?(b) 比较，其中最大的是最大值，其