Laplace方程的变量分离

1、1 Laplace Laplace方程的变量分离方程的变量分离 三维形式直角坐标的变量分离三维形式直角坐标的变量分离 正交曲线坐标系正交曲线坐标系 正交曲线坐标系中的正交曲线坐标系中的LaplaceLaplace算符算符23三类数学物理方程三类数学物理方程Helmholtz方程方程LegendreLegendre方程、方程、BesselBessel方程方程分离时间空间变量分离时间空间变量分离空间坐标变量分离空间坐标变量45 在正交曲线坐标系中对泛定方程分离变量会出现各种各样的常微分方程，一般可表示如下： 通常这些方程还要满足相应的定解条件的要求，这可以归结为求解以下定解问题：61.这些线性二阶

2、常微分方程常常不能用通常的解法解出，但这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出可用幂级数解法解出2.所谓幂级数解法，就是在某个任意点所谓幂级数解法，就是在某个任意点Z0的邻域上，把待求的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数3.幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论助于解析函数的理论进行讨论4.求得的解既然是级数，就有是否求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围收敛以及收敛范围的问题的问题.5. 尽管幂级

3、数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的求解问题中求解问题中几点说明几点说明7 不失一般性，我们讨论复变函数 w(z) 的线性二阶常微分方程的级数解法： 2200010, .d wdwp zq z wdzdzw zCwzC8常点邻域内解的存在性常点邻域内解的存在性9Legendre 方程的级数解方程的级数解 0kkky xa x10由相应幂次的展开系数为零可得：1112这样 l 阶 Legendre 方程的解是： 00112031;11,2!12.3!y xa yxa yxl lyxxllyxxx 13幂级数解的收敛半径幂级数解的收敛半径21

4、lim11nnnRnlnl 因为： 所以 l 阶Legendre的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散。（Gauss判别法）141516正则奇点正则奇点邻域上的级数解法邻域上的级数解法 121020skkkskkkwzazzwzbzz17 12100200skkkskkkwzazzwzbzz18 将级数解的形式代入原常微分方程，合并同幂次的项，并要求各幂次相应的系数为零。其中最低幂次系数为零得到的就是判定方程。对于复杂情况的讨论和处理，可参考教材相关内容(P245)，此处从略。19首先将方程变形为标准形式：2211/0yym xyx20原方程的判定方程为：210,s ssm 判定方程的解为：.

5、sm 令0,k mkkyc x则有:222000k mk mkkkkkmmc xc x2122022122202220,10200 kkmmcmm cmm ccmkm cc 要求所有幂次的展开系数为零可得：0102222210, 0,11,2222!10.nnnnncccmccnnmnmnc 22类似地，设0,k mkkyc x可得Bessel方程的另外一个特解： 2220112!1nn mnnmyxxnnm 这样我们就得到Bessel方程的一个特解： 21020112!1nn mnnmyxc xnnm23Bessel方程的通解可以表示为： 12vyC JxC Jx易知，Bessel方程的级数解的收敛半径为。（Bessel方程的解也可以用Neumann函数表示，P250）2412ml 11. 0, 2lm211 1/40yyxyx判定方程的解为：1.2s 这时方程的第一个特解为： 112yxJx方程的第二个特解应为： 21112222lncos .kxkyxAJxxb xJxxx2