考研偏导全微分关系特详细解

1、微分偏导之间的关系下面举例说明相关关系（对于A B的我们举反例对于A =B的证 明之）。（1） 首先证明可微则f ,f存在。即对应上图的全微分偏导存在。ex cy证：由可微的定义有 Z=x+BA y+o（）所以：f（x+ x,y+ y）-f（x,y）= A x+B y+o（）令： y=0再对等式两边取极限有：兰= lim f（x ：x，y）-f（x,y）=A 同理 H=Bx x0x:-y（2） 在一点M（xo, yo）可微不能推出偏导连续。对应上图可微 丄冷偏导连续。例：（x2+y2）si nJ 2x2+y20Vx +yf（x,y）= v-0 ,x2 + y2=0在点（0,0 ）可微但是偏导并

2、不连续。 Z= A x+B- y+o( ?)由全微分可微的判别式（或称定义）：求一点的偏导我们用定义（可用偏导数的连续性直接代入该点，但是在此偏导连续性是我们需证明的问题所以在这里我们只能用定义求一点偏导）1 x sin A=fx(0,0) =lim f(x,0) - f(0,0)x_y卫xOB=fy(0,0)=limf(0, y) f(，0)x z00y -01y sin =vy1门ysin 2=0 y. y2 Z=f( x, y)-f(O,O)=2 2 1(=x-y )sin .jA 2,.2limolz -0 * x -0 * y2 2(X 逍)sin 2寸也X十3匕2丄人2.门X y

3、sin-=2= 0(Ax 十Ayx2 ： -y2所以函数在（0,0 ）可微。下面证明在（0, 0）偏导不连续。首先求f ,fex cyf （x, y）二（2x）sin-x cos xx2 y2x2 y2x2 y2由于x,y的轮换性（也就是x与y可交换，地位相同在此不详述，后 面空间积分用它时再详述）所以（将x与y位置调换即可）f (x, y)y再利用二元函数连续定义（在此证明它的不存在故取特殊路径） 取X=0的路径=曾2 x)777 cos?x7 =0取y=xlim兰区yl;J:x_1_、X2X2X、X2X2cos= lim(2 x)sin x_0y仝不存在。即limx0 y 0f (x, y

4、).X（0,0）所以偏导在（0,0 ）不连续。（3）偏导存在不能直接推出微分存在即偏导存在证毕一全微分例（教材71）xyx2y2 = 0f(X,y)= Y0在（0， 0）偏导存在但不可微fx(0,0)=|ixm7Tr=0彳丫0) XMx =0 x y全微分定义 Z= A x+BA y+o( ：) Z=f( x, y)-f(0,0)=x y =0 x+0 y+o()J 二x2 ： -y2两边取极限:x * yZ-0 * x 0 yx2 =y2x* y叫叫叫帀托证明它的不存在我们取特殊路径:取x=0lim I、X卫八xy=0取y=x2AxAy广Z1lim 22 = lim 22 :y J x 绍

5、x ：0 厶 x. x 2证毕由上知不可微(4) 偏导存在且连续可以推导出可微证明见教材(72页)。(证明了 解，结果必须会用)(5) 全微分可以推出二元函数连续即全微分，-函数连续证明：直接由定义 Tj=A x+B y+o( )所以：f (x+Ax,y+ y) -f(x,y)二 A x+B y+o()对上式取极限有：即:ljm I f (x =x, y =y) - f (x,y)/ = lim : A ：X B * ：yf limlim 1 f (x 亠:x, y ： =y) - f (x, y) ,0 ：v ；0所以:f (x ： =x, y =y)二 f (x, y)证毕(6) 函数连续

6、不能推出可微我们不举例了。这个最简单下面重点讨论偏导和方向导数的问题(7) 可微分推出方向导数即可微分 = 方向导数存在沿L方向的方向导数定义：ff(X0 t cos ： , y t cos ：) - f(X0, y。)a人必厂四+t全微分定义： Z =f (x+Ax,y+ y) -f(x,y)= A x+B y+o( )由于偏导是直线沿着一个方向起点在（x,y ）的射线微分中的厶x, y是沿着任意方向趋近于（0, 0）不妨设（取特殊路径沿着L趋近）：.vx=tcos.lyrtcosl 而0 于是微分式变为: Z =f ( x+tcos： ,y+ tcos ： ) -f(x,y)= A tco

7、s： +B - tcos -+o( )其中= (tcos：) (tcos：) t对微分两边取极限:llmff (x tcos：, y tcos ：) - f x, y = ”吧 A tcos 工，B *tcos；o(t)再由可微定义：Acos 篇Bcos :) = Acost Bcos !：:;llmtt当(x,y )取(xo,y。)时仍然成立f(x tcos ttcos f(xD，yo)正好是偏导定义。f(xo tcos： ,% tcos f(x0，yo)=Acosa B.cosf (x t cos ： , y t cos - f (x, y) , =lim t0而左边llm -十所以有斗k

8、sL巴J 在全微分中 A=fx(xo,yo)B=fy(xo, yo)所以有：齐。）.f (xo +tcosa, y +tcosP) - f (xo, yo) 二 limt= fx(Xo,yo) 90S：fy(xo, yo)cos :证毕（8）函数在一点偏导存在但方向导数不存在即偏导存在1方向导数例f(x,y) =xyx2y2x2y2 = 0x2y2 =0f(x0)f(0,0)匸02- 0由定义：fX(0,0) = 1卯卩由于x,y具有轮换性所以fy(0,0)=0方向导数定义：:扁y0)巴+f(X0+tCOSy0+ttCOSB)f(X0，yo)(t cos： ) (tcos ：) n t2-clim1limT titxo,yo)LX所以-f 1(0,0尸.1t2tcos叱不存在（此处证毕cos cos =也就是说此处L与X,Y轴不重合）（9）函数在一点方向导存在但偏导数不存在即方向导数偏导例f（x, y x2 y2方向导数（此处假设沿着方向 =（1,0）偏导fx(0,0)举f( ：x,0) -f(0,0)z.：x202 - 0Ax不存在证毕总结：虽然考试不直接考结论但是我们可以从上面知道，要断定他们关系时对定义的理解要深刻且会用于判断。下面列举几个数学思维方法：（1） 举反例驳倒命题