简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词导学目标:1了解逻辑联结词“或、且、非”的含义2理解全称量词与存在量词的意义 3能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【自主梳理】1 逻辑联结词命题中的或，且，非叫做逻辑联结词.“ p且q”记作p A q，“ p或q”记作p V q，“非 p ”记作綈p.2 .命题pA q, p V q,綈p的真假判断pqpA qp V q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真3. 全称量词与存在量词(1) 短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“? ”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为? x M, p(x)，它的否定? x

2、 M，綈p(x).(2) 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“乙”表示.含有存在量词的命题， 叫做特称命题,可用符号简记为? x M , p(x),它的否定? x M , 綈 p(x).自我检测】1 .命题“ ？ x R, x2 2x+ 1 0B.?x R,x2 2x+ 10C . ? x R ,x2 2x+1 0D .? x R,x2 2x+ 10答案 C解析因要否定的命题是特称命题，而特称命题的否定为全称命题.对x2 2x+ 10,故选C.2. 若命题p： x AA B，则綈p是()A . x A 且 x BB. x A 或 x BC . x A 且 x BD

3、 . x A U B答案 B解析 / “x AA B” ? “x A 且 x B” ,綈 p： x A 或 x B.3. (2011大连调研)若p、q是两个简单命题，且“p V q”的否定是真命题，则必有()A . p真q真B. p假q假C. p真q假D . p假q真答案 B解析p V q”的否定是真命题， “pV q”是假命题， p，q都假.4 . (2010湖南)下列命题中的假命题是()A . ? x R,2x10B . ? x N*，(x 1)20C . ? x R，Ig x1D . ? x R, tan x= 2 答案 B解析 对于B选项x= 1时，（x 1）2 = 0.5. （200

4、9辽宁）下列4个命题：1 1 pi： ? x（0,+）,（2）xiog1F；p4： ? x (0,11),1 x 1(2)log 3x.其中的真命题是（)A . p1, p3B. p1,p4C . p2, p3D. p2,P4答案 D解析取x=2,则1嗨乂二 1,.1logx=log 321 ,p2正确.当 x (0, *)时,(2)x1, p4正确.探究点一判断含有逻辑联结词的命题的真假【例1 写出由下列各组命题构成的“p V q”、“ pA q”、“綈p”形式的复合命题,并判断真假.（1）p： 1是素数；q： 1是方程x2 + 2x 3= 0的根；（2）p:平行四边形的对角线相等；q :平

5、行四边形的对角线互相垂直；（3）p：方程x2 + x 1= 0的两实根的符号相同；q :方程x2 + x 1 = 0的两实根的绝对值 相等.解题导引正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断.其步骤为： 确定复合命题的构成形式；判断其中简单命题的真假；根据其真值表判断复合命题的真 假.解 （1）pV q： 1是素数或是方程 x2+ 2x 3= 0的根.真命题.pA q : 1既是素数又是方程 x2 + 2x 3 = 0的根.假命题.綈p： 1不是素数.真命题.（2）p V q：平行四边形的对角线相等或互相

6、垂直.假命题.pA q :平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题.綈p：有些平行四边形的对角线不相等.真命题.（3）pV q：方程x2+ x 1 = 0的两实根的符号相同或绝对值相等.假命题. pA q :方程x2 + x 1 = 0的两实根的符号相同且绝对值相等.假命题.綈p：方程x2 + x 1= 0的两实根的符号不相同.真命题.变式迁移1 （2011厦门月考）已知命题p: ? x R,使tan x= 1,命题q： x2 3x+ 20 的解集是x|1x2，给出下列结论：命题“ pA q”是真命题；命题“ pA綈q”是假命题；命题“綈pV q”是真命题； 命题“綈p V綈q”是假命题，其中正

7、确的是 （）A .B .C .D .答案 D解析 命题p: ? x R，使tan x= 1是真命题，命题 q： x2 3x+ 20的解集是x|1x2(2) ? a B使 COS( a 3 = COS a COS 3(3) ? x, y N，都有 x y N .(4) ? xo, yo Z ,使得2xo+ yo= 3.解题导引判定一个全(特)称命题的真假的方法：(1) 全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可.(2) 特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.解真命题，因为 x2 x+ 1 = (x 2)2 + 3 32.nn真命题，如

8、a= 4， 3= ，符合题意.(3) 假命题，例如 x= 1, y = 5,但 x y= 4 N.(4) 真命题，例如xo = 0, yo= 3符合题意.变式迁移2 (2011日照月考)下列四个命题中，其中为真命题的是()A . ? x R, x2 + 3 1C . ? x Z ,使 x5 0,因而有x2+ 3 3,所以命题“? x R, x2 + 3 1不成立，所以命题 “? x N , x2 1”为假命题；由于一1 乙当x= 1时，x51，所以命题“？ x Z,使x5 0；(2) q：所有的正方形都是矩形；(3) r: ? x R , x2 + 2x+ 2 0；(4) s：至少有一个实数

9、x,使x3 + 1 = 0-解题导引(1)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可.(2) 要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假.因为p与綈p的真假相反且一定有一个为真，一个为假.1解 綈p: ? x R , x逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解.(1) “或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x9.(2) 命题“非p”就是对命题p”

10、的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定. 判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假， 最后根据真值表判断. x+；0 ,是真命题，这是由于？ x R, x2 + 2x+ 2 = (x + 1)2+ 1 10 成立.(4) 綈s： ? x R, x+ 1工0，是假命题，这是由于 x= 1时，x 全称命题“? x M , p(x)”的否定是一个特称命题“? x M，綈p(x)”，特称命题“? x M , p(x)”的否定是一个全称命题“ ？ x M ,綈p(x)”. + 1 = 0.变式迁移3 (2009天津)命题存在

11、 血 R,2xW 0”的否定是()A .不存在 X0 R,2x00B .存在 X0 R, 2x0 0C .对任意的x R,2xW 0D .对任意的x R,2x0答案 D解析本题考查全称命题与特称命题的否定.原命题为特称命题， 其否定应为全称命题，而“W”的否定是 ”，所以其否定为 “对任意的x R,2x0”.II转化与化归思想的应用【例：(12 分)已知命题 p：“？x 1,2 , x2 a 0”，命题 q:“ ？ x R , x0+ 2ax + 2 a = 0”，若命题“ p且q”是真命题，求实数 a的取值范围.【答题模板】解由“ p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题.3分若p为真命

12、题，a 0,即 a 1 或 a0 ,且綈p为真命题B .綈p： ? x R, x2 3x+ 30 ,且綈p为假命题C .綈p： ? x R, x2 3x+ 30,且綈p为真命题D .綈p： ? x R , x2 3x+ 30 ,且綈p为假命题答案 C解析 命题p是一个特称命题，它的否定綈p：对所有的x R,都有x2 3x+ 30为真.故 答案为C.命题的否定要否定量词，即全称量词的否定为存在量词，存在量词的否定为全称量 词，而且要否定结论.2 .已知命题p： ? x R, ax2+ 2x+ 30 ,如果命题 綈p是真命题，那么实数 a的取值范 围是（）1 1A . a1 B . a 11 1C

13、. 0a 3答案 B解析 命题綈p是真命题，.命题 p是假命题，而当命题 p是真命题时，不等式 ax2a0,一 1+ 2x+ 30对一切x R恒成立，这时应有解得a:.因此当命题p是假命题，= 4 12a0,3即命题綈p是真命题时，1实数a的范围是a2，条件q： xa，且綈p是綈q的充分不必要条件，贝U a的取值范围是（）A . a1B . a1或x 1时，q? p.4. 已知命题“ ？ a, b R，如果ab0，则a0”，则它的否命题是（）A . ? a, b R，如果 ab0，则 a0B . ? a，b R，如果 ab w 0，贝U a 0C . ? a，b R，如果 ab0，贝U a0，

14、a0的否定分别为abw 0，aw 0,故选B.5 . （2011宁波调研）下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若x2= 1,则x= 1 ”的否命题为“若x2= 1,则xm 1 ”B . “ x= 1 ”是“ x2 5x 6 = 0”的必要不充分条件C .命题“ ？ x R，使得 x2 + x + 10” 的否定是“ ？ x R，均有 x2+ x+ 13”的否定是 .答案 ? x R, |x 2|+ |x 4| 37. 已知命题p:“ ? x R, ? m R使4x 2x+1+ m= 0”，若命题 綈p是假命题，则实 数m的取值范围为.答案 mW 1解析 命题綈p是假命题，即命题 p是真命题

15、，也就是关于 x的方程4x 2x+1 + m= 0有 实数解，即 m= (4x 2x+1)，令 f(x) = (4x 2对)，由于 f(x) = (2x 1)2+ 1，所以当 x-Ray 时f(x) 1,因此实数m的取值范围是 mW 1.8. (2010安徽)命题“存在x R，使得x2+ 2x+ 5= 0”的否定是答案对任意x R，都有x2+ 2x + 5丰0解析 因特称命题的否定是全称命题，所以得：对任意 x R，都有x2+ 2x+ 5工0.三、解答题洪38分)9. (12分)分别指出由下列命题构成的“p V q” “ pA q” “綈p”形式的命题的真假.(1) p： 4 2,3 , q：

16、 2 2,3;(2) p： 1是奇数，q： 1是质数；(3) p： 0 ?, q： xlx2 3x 50? R;(4) p： 5W 5, q： 27 不是质数.解(1) T p是假命题，q是真命题，p V q为真命题，pA q为假命题，綈p为真命题.(3分)(2) / 1是奇数，p是真命题.又T 1不是质数，q是假命题.因此pV q为真命题，p A q为假命题，綈p为假命题.(6分)(3) / 0 ? , p为假命题.又x2 3x 50?宁如宁， x|x2 3x 50 = x|32 29x0对一切x R恒成立， q :函数f(x)= (3 2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围.解设 g(x)= x2 + 2ax+ 4,由于关于x的不等式x2 + 2ax+ 40对一切x R恒成立，所以函数 g(x)的图象开口向上 且与x轴没有交点，故= 4a2 160， 2a1, a1.(6 分)又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q 真