空间向量知识点归纳总结汇报材料文书

1、空间向量知识点归纳总结知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 .同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）uuu uuu uuu r vuuruuuuuu rr uuurOB OA AB a b ;BAOAob ai b ; OPa( R)运算律：加法交换律：ab ba加法结合律：（a b）ca (bc)数乘分配律：（a b）a b3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的

2、直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，a平行于b，记作ab。当我们说向量a、b共线（或a/ b ）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b （ b丰0 ）, a/ b存在实数入，使a =入b。4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。rr（2） 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数 r r rx, y 使 p xa yb。r5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在

3、一个r唯一的有序实数组x, y,z，使p xa yb zc。rrr若三向量a,b,c不共面，我们把叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设0,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数uuu uuu uuu umrx, y, z，使 OP xOA yOB zOC。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 O xyz中，对空间任一点 A，存在唯一的有序实数组（x, y,z），使OA xi yi zk ,有序实数组（x, y,z）叫作向量A在空间直角坐标系 O xyz中的坐标， 记

4、作A（x, y, z） , x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。r r（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为i,这个基底叫单位正交基底，用i, j, k表示。（3）空间向量的直角坐标运算律：若 a （aaa），b （dbb），则r rra b 1 bi,a2 bas d）， a （3 a2 a3 a bb2 ab3)aQa2b2a3b3，a1Sa?b2,a3bs(RRa a2p asd 0。uuu若 A(x(, yi,Zi)，则 ABy2X1,zzyy>一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（4）模长公式:r rr_则| a| a

5、a（5）夹角公式:(bbb)， b b、p2 b22 b32aiba2b2a3b3（6）两点间的距离公式：若A(Xi,yi,zO , B(X2,y2,Z2),uuu则 | AB |ULLT 2 -AB.(X2 xj2 (y2 yi)2 (Z2 z,)2 ,或 dA,B . (X2 Xi)2 (y2yi)2 (Z2 乙)27. 空间向量的数量积。r r（1 ）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点0，作iunruuurr rr rr rOA a,OB b，则 AOB叫做向量a与b的夹角，记作 a,b ;且规定0 a,b ，r rrrr显然有a,b b,a ；若a,b，则称a

6、与b互相垂直，记作：a b 。2uuu rULWrr（2） 向量的模：设oa a，则有向线段oa的长度叫做向量a的长度或模，记作：心|。rrrr（3） 向量的数量积：已知向量a,b，则| a | ib | cos a,b叫做a,b的数量积，记rrrr作 a b，即 a b |a| |b| cos a,b。（4）空间向量数量积的性质：ae 1 a 1 cos a,e 。a b a b 0。|af a a。（5）空间向量数量积运算律：rrrrr（a）b（ar b）a （ b）。 abba （交换律）。设 a =佝月223), b = Qdd)则 r r(1) a + b = d,a2 b2,a3

7、d)；r a -rb = (a1bi,a2b2,a3b3)(3)入 a = ( a1, a2, a3)(入 R)；(4)r a =ajbi玄2匕2a3b3;uuuuuuuuu2.设人(冷,乙),B(X2,y2,Z2)，则 ABOBOA =(X2X1,y2y1,Z2Z1).rr3、设 a (心心),b (X2, y2,Z2)，则r rrr r rrr raPba b(b 0);aa b0x1x2y2z1z20.4.夹角公式 设 a = (a1,a2,a3), b = (b1,b2,b3)，则 cos a,ba (b c) a b a c (分配律)。(6):空间向量的坐标运算：1.向量的直角坐标

8、运算_ qbia2b2asb? a2a； af , b25 异面直线所成角cos |cos；b；|=4 一1-；l |a|b|,xi26.平面外一点 p到平面 的距离已知AB为平面 的一条斜线,以凶y°2Z1Z212 2 y2Z22 2 2 yiZi_ X2n为平面 uur r 向量，A到平面 的距离为：d |ABr?n|n|的一个法【典型例题】例1.已知平行六面体 ABC® ABCD，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。 uuu uuuuuu UULT UULT AB BC ； AB AD AA ;uuu uuur 1 uuiu1 uuu uuur uuir AB A

9、D CC ;一(AB AD AA)。23例2.对空间任一点 0和不共线的三点 uuuuuuuuu uuirOP xOA yOB zOC (其中 x代B,C，问满足向量式：y z 1)的四点P, A,B,C是否共面?例3.已知空间四边形 OABC，其对角线OB, AC , M ,N分别是对边OA,BC的中点,uuu uuu uur点G在线段MN上，且MG 2GN，用基底向量 OA,OB,OC表示UJLT向量OG。例 4.如图，在空间四边形 OABCK OA 8, AB 6, AC 4 , BC 5, OAC 45o, OAB 60o,求OA与BC的夹角的余弦值。uur uuiruur uuur说

10、明：由图形知向量的夹角易出错，女口OA,AC135°易错写成 OA,AC45°,切记！例5.长方体ABCD A1B1C1D1中，AB BC 4 , E为A&与BQ的交点，F为BC, 与B,C的交点，又AF BE，求长方体的高 BB1。空间向量与立体几何练习题一、选择题1.如图，棱长为2的正方体ABCD AB1GD1在空间直角坐标uuu系中，若E,F分别是BC, DD1中点，则EF的坐标为（ ）A.(1,2, 1) B. _( 1,2, 1)C.( 1, 2,1) D. (1, 2, 1)AB2.如图，ABCABCD是正方体，BE = 二 ,贝U BE与 DF4A.1

11、517B.12仝23.在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是正方形,uur r uuu ruuuruuuPA a, PB b,PCc ,贝U BE()a 1 r11 rD 1 r11 rA. abcb.abc2 222221 r 3r1 r1 r1 r3rC. 一 abcD.abc2 22222C.817D.E为PD中点，若所成角的余弦值是（、填空题4.若点 A(1,2,3),B( 3,2,7),且 AC BC 0 ,则点 C 的坐标为 .5在正方体 ABCD ABiGDi中，直线 AD与平面ABG夹角的余弦值为 三、解答题1、在正四棱柱 ABCD-ABCD中，AB i与底面ABCD所成的角为

12、 ，4(1)求证BDi 面ABiC (2)求二面角Bi AC B的正切值C2 在三棱锥 P ABC中, AB AC 3AP 4, PA 面 ABC , BAC 90 , D 是 PA 中点，点 E 在 BC 上, 且BE 2CE,(i)求证：AC BD ; (2)求直线DE与PC夹角 的余 弦值；(3)求点A到平面BDE的距离d的值3.在四棱锥 P-ABCC中，底面 ABC是一直角梯形，/ BA=90°, AD/ BC AB=BC=a, At=2a, 且戸汕底面ABCD PD与底面成30。角.(i )若AEL PD E为垂足，求证：BEL PD(2)求异面直线 AE与CD所成角的余弦

13、值.4、已知棱长为i的正方体ACi,E、F分别是BiCi、CiD的中点.(i)求证：E、F、D、B共面;(2)求点A到平面的BDEF的距离；(3)求直线AD与平面BDEF所成的角.5、已知正方体 ABCD ABCD的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：(I) DE与平面BGD所成角的大小；(H)二面角 D- BG C的大小;【模拟试题】1.已知空间四边形 ABCD，连结AC,BD，设M ,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：uuuuuuuuuuuu1 uuuuuu(1) ABBCCD;(2) AB-(BDBC)；2uuir i uuu uuur(3) AG (AB A

14、C)。22. 已知平行四边形 ABCD从平面AC外一点O引向量。uuuuuruLuuuuruLurluuriuruurOE kOAOF kOB,OG kOC,OH kOD ° (1)求证：四点 E,F,G,H 共面;(2)平面AC /平面EG。13. 如图正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1 D1F1 AB ,4求BE1与DF1所成角的余弦。4. 已知空间三点 A (0, 2, 3) , B ( 2, 1 , 6), C (1 , 1 , 5)。uuu uuur求以向量AB, AC为一组邻边的平行四边形的面积S;ruuu uurrr若向量a分别与向量AB, AC垂直，且|

15、 al = . 3，求向量a的坐标。5.已知平行六面体 ABCD ABCD 中，AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90o, BAA DAA 60o，求 AC 的长。UUUuuur uur uuur BC CD ACuuuuuir(1)ABCDAD;uuu1 uuu (BDuuuuuu1 uuu -BC21 uuir BD 。2(2)ABBC)ABuuuuuuu uuuuUULTABBMMGAG ;uuur1 uuu (ABuuuruuuruuurUULUU(3)AGAC)AGAMMG。1.解：如图,参考答案22.解：(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形， AC AB AD , u

16、uur umr uuuEGOGOE ,uuuruuuuuuruuuuuuruuuuuurk OCk 1OAk(OCOA)kACk(ABAD)uuruuuuuuruuuuuruuuUULUUUUk(OBOAODOA)OFOEOH OEuuuuuirEFEHE,F,G,H共面；uuuuultuuuuuuuuuuuuuuuruuur(2)解：.- EFOFOEk(OBOA)k AB，又EGk AC , EF /AB, EG/AC。umr uuu umr所以，平面AC/平面EG 。3.解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系3 则 B(1,1,0), E1(1-,1) , D(0,0,0),41

17、uuuu,1), DF14uuuu- BE1(0,1(，uuuu BE1uuuuDF1uulu uuuuBE1 DF10 0ujuu uuur cos；. BE1,DF11 1)4 415161517uur4.分析：Q AB(2,4uuur1,3),AC/ BAC= 60°设a解得5. 解:a =( x,uuurAC xO xyz,1F1(0,-,1),415。16(1, 3,2), cos BACuuu uurS | AB|AC|sin60°r uuuz),则 a AB3y 2z 0,|a |2x2xx= y = z= 1 或 x= y= z = 1 , a = uUuu 2 u