版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、正弦定理和余弦定理教学目标 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 知识梳理1. 正弦、余弦定理在厶ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R ABC外接圆半 径,则疋理正弦定理余弦定理公式abc一一一 2 Rsin A sin B sin Ca2- b2 + c2 2bccos A ; b2 一 c2 + a2 2ca cos B ;c2- a2 + b2 2abcos C常见 变 形(1) a一2Rsin A, b一2Rsin B , c一2Rsin C;abc(2) sin A 一 d,sin B =, sin C =;)2R2R2R(3) a : b : c
2、一 sin A : sin B : sin C ;(4) asin B 一 bsin A,bsin C 一 csin B,asinC 一 csin A-2i22b + c a cos A一;2 be2i2i2c + a b cos B 一小;2ac2.i22a + b c cos C 一2ab1 11abc 12.S abc = jabsin C = ybcsin Aacsin B =但 + b + c) (r 是三角形切2 224 R2圆的半径),并可由此计算R,r.3.在厶ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:诊断自测1.判断正误(在括号打V或“X”)三角形中三边之比等于相应的三个角之
3、比.()在 ABC 中,若 sin Asin B,则 AB.()(3)在厶ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素 .()当b2 + c2 a20时, ABC为锐角三角形;当b2 + c2 a2= 0时, ABC 为直角三角形;当b2 + c2 a20时,三角形ABC不一定为锐角三角形答案 (1) x V x x V2. (2016 全国I卷) ABC的角A, B , C的对边分别为a, b, c.已知a =. 5 ,2c = 2 , cos A = 3,贝U b =()A. 2B. 3C.2D.32 1解析 由余弦定理,得5 = b2 + 22 2 x b x2 x,解得b = 3
4、b = 3舍去,故3 3选D.答案 D3. (2017预测)在厶ABC中,角A, B , C所对的边分别为a , b , c,asin A,B.2C 23D.232解析sin B sin A由正弦定理知nos b二二1,即tanB 3,由 B (0,冗),所nn 1以 B = 3,所以 cos B = cos3 2,故选 B.33 2答案 B4.在厶ABC 中,A 60AB 2,且 ABC的面积为,则BC的长为(解析因为B. 3C.23D.21 1S = 2X AB X ACsin A =勺x 2 xJac,所以AC所以 BC2 = AB2+ AC2 2AB AC cos 60 = 3 , 所
5、以BC = ” 3.答案 B5.在厶ABC中,acos A = bcos B,则这个三角形的形状为 解析 由正弦定理,得sin Acos A = sin Bcos B ,即 sin 2 A = sin 2 B,所以 2A = 2B 或 2A =n-2B ,n即 A = B 或 A + B = ,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形答案等腰三角形或直角三角形考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)在厶ABC中,已知a = 2,b = 6,A = 45。,则满足条件的三角形有()A.1个B.2个C.0个D.无法确定(2016 卷)在 AABC 中,若 AB = . 13 , BC = 3,
6、/ C = 120。,则 AC =()A.1B.2C.3D.4(2015 卷)设厶ABC的角A, B , C的对边分别为a , b , c,若a = 3, sin B1n=2,C = 6,贝U b =.解析(1) - bsin A 6 x ? 3,bsin Aab.满足条件的三角形有2个.在 ABC中,设A, B ,C所对的边分别为a ,b , c.则由c2 = a2+ b2 2abcosC,得 13 = 9 + b2 + 3b,即 b2 + 3b 4 = 0 ,解得 b = 1,因此 AC = 1.1 n 5 n 因为sin B二二且B (0,冗),所以B 或B =.2 6 6nn2 n又
7、C = :, B + C0, sin A = 1,即 A = .答案 B【迁移探究1】 将本例条件变为“若2sin Acos B = sin C”,那么 ABC 定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析 法一 由已知得 2sin Acos B = sin C = sin(A + B) = sin Acos Asin B,即 sin( A- B)= 0,因为一nA B 0),由余弦定理可得a2+ b2 - c225k2 + 121 k2 - 169k2cos C =232ab2 x 5 x 11 k21100,n又 T C (0,冗), C ,冗, ABC为钝角三
8、角形.答案 C【迁移探究3】将本例条件变为“若a2+ b2 -c2= ab,且2cos Asin B二sin C”,试确定 ABC的形状.解法一利用边的关系来判断:由正弦定理得sin C c sin B b,_sin C c由2cos Asin B 二sin C,有 cos A二无又由余弦定理得cos A =b2 + c2- a22bc2 . 2c b + c a2b =2bc2一,即 c2 = b2 + c2-a2所以a2= b2,所以a = b.又 I a2+ b2 c2 = ab. 2b2 c2= b2,所以 b2= c2, b = c, a = b = c. ABC为等边三角形法二利用
9、角的关系来判断: A + B + C = 180 ,二 sin C = sin( A + B),又 v 2cos Asin B = sin C, 2cos Asin B = sin Acos B + cos Asin B , sin( A B) = 0 , 又v A与B均为 ABC的角,所以A = B.又由 a2ab 二 2ab + b2 c2 = ab ,由余弦定理,得 a2 + b2 c2 ab又 0 Cv180。,所以 C = 60 ABC为等边三角形.考点三和三角形面积有关的问题【例3】(2016全国I卷) ABC的角A, B , C的对边分别为a, b, c,已知2cos C(aco
10、s B + bcos A) = c.(1)求C;(2)若c 7 , ABC的面积为色严,求 ABC的周长.解(1 )由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B + sin B -cos A)= sin C, 2cosCsin( A+ B) = sin C ,故 2sin Ccos C = sin C.由C (0 ,冗)知sin C工0 ,1 n可得cos C = 2,所以C = 3.2 3由已知,gabs in C =n又C = 3,所以ab = 6 ,由已知及余弦定理得,a2 + b2 2abcos C = 7,故a2 + b2= 13 ,从而(a + b)2 = 25.所以 A
11、BC的周长为5 +“,7.【训练2】(2017日照模拟)在厶ABC中,角A, B , C的对边分别为a, b , c,满足(2 a b)cos C ccos B = 0.求角C的值;若三边a, b , c满足a + b = 13 , c = 7,求厶ABC的面积.解 (1)根据正弦定理,(2a b)cos C ccos B = 0 可化为(2sin A sin B)cos Csin Ccos B = 0.整理得 2sin Acos C = sin Bcos C + sin Ccos B = sin( B + C) = sin A.1T 0A n,.sin Am 0,二 cos C = 3.n
12、又 t 0Cb” 是 “cos 2 Av cos2B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 因为在 ABC 中,a b? sin A sin B? sin 2A sin 2B? 2sin 2A 2sin 2B? 1 2sin 2A v 1 2sin 2B? cos 2A v cos 2B.所以 “a b” 是 “cos2Av cos 2 B ”的充分必要条件.答案 C5.(20162b2(1卷)在厶ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b c,a2sin A),贝U A ()3 nnnnA.B-c.D-43462 | 2 2 b +
13、 c a2b a解析在厶ABC中,由b c,得 cos A 2,又a22b2(12bc2bsin A), 所以 cos A = sin A,n即tan A = 1,又知A (0,冗),所以A = 4,故选C.答案 C二、填空题6. (2015 卷)设厶ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a = 2,cos C1=二,3sin A = 2sin B,则 c=414 二16,所以 c 二 解析 由3sin A = 2sin B及正弦定理,得3a = 2 b,又a = 2,所以b = 3,故 c a + b2 2ab cos C 4 + 9 2 x 2 x 3 x答案47. (2017九校
14、联考)在厶ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a二1,b =3,则 S ABC 1解析 因为角A,B,C依次成等差数列,所以B 60。.由正弦定理,得 爲二.6: ,解得 sin A 1,因为 0 v Av 180 ,所以 A 30。或 150。(舍 sin 602去),此时C = 901,所以 Sa ABC = gab答案2 n厂b8. (2016 卷)在厶ABC 中,A = , a = p3c,则一 =3一解析 在厶ABC 中,a2 = b2 + c2 2bc cos A,将A二茁a卡c代入, 可得( ,3c)2二b2 + 一2 2bc 1 ,
15、整理得 2c2 = b2 + bc.I cm 0 ,等式两边同时除以c2,b 2 b得 2 = 一 +_,c cb可解得-二1.c答案1三、解答题9. (2015 卷)在厶ABC中,角 A , B , C所对的边分别为 a, b , c.已知 ABC 1的面积为 3 15 , b c = 2 , cos A=.*4(1)求a和sin C的值;n求cos 2A + 6的值.14由 S ABC =1sin A = 3 丽,在厶ABC中,由cos A = 4,可得sin A-cosnn6sin 2A sin6甘(A - 1)-2 X 2sinA cos A =J5 十 316得 bc = 24,又由
16、 b c= 2,解得 b = 6 , c = 4.由 a2 = b2 + c2 2bccos A,可得 a= 8.a c由冇二冇,得sinn(2)cos 2A + 6 = cos 2 A10. (2015 全国U卷)在厶ABC中,D是BC上的点,AD平分/ BAC , BD = 2DC .sinsin若/BAC = 60。,求 / B.解(1)由正弦定理得ADBDsin B sin / BADADDCsin C sin / CADsin B DC 1 因为AD平分/ BAC,BD二2DC,所以 二二了.sin C BD 2(2)因为/ C = 180 - (/ BAC +Z B),/ BAC
17、= 60 ,所以sin C = sin( / BAC + / B)=31cos B + gsi nB.由(1)知 2sin B = sin C ,所以 tan B即/ B = 30能力提升题组(建议用时:20分钟)11. (2017 调研)在厶 ABC 中,si n2A sin2B + sin 2C sin Bs in C,贝 U A 的取值围是()nnnnA. 0 , 6B. 6,nC. 0, 3D.亍冗解析 由已知及正弦定理有a2 b2 + c2 bc ,由余弦定理可知 a2 = b2 + c2 2bccos A,1于是 b2 + c2 2bccos A3,在厶ABC中,A (0 ,冗).
18、n由余弦函数的性质,得0A 3.3答案 C12. 在厶ABC中,三个角A , B , C所对的边分别为a , b , c ,若S“bc = 2 3,acos B + bcos Aa + b 6,2cos C, c则c ()A2 :7B.4C2 :3D.3 ;3acosB + bcos A解析 T2cos C, c由正弦定理,得 sin Acos B + cos Asin B = 2sin Ccos C, sin(A + B) = sin C = 2sin Ccos C,1 n 由于 0 v C Vn,s in C 丰 0 , cos C = 2,二 C = 3,2 3i13-Saabc 2飞:3 2ab sinC ab, ab 8, 4a 2,又a + b 6,解得b 4a 4,或c2 a2+ b2 2abcos C 4 + 16 8 12,b 2, c= 2 3,故选 C.答案 C13. (2015 全国 I 卷)在平面四边形 ABCD 中,/ A =/B = / C = 75 ,
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2024版留学期间的学术竞赛报名服务合同3篇
- 学生管理讲座课件
- 2024版股权转让合同with股权比例、转让价格及交割时间表3篇
- 吉他教学课件
- 耳根部疼痛病因介绍
- 老年抑郁症病因介绍
- 文书模板-《养殖场年终总结工作预案》
- 饭店服务专题培训课件
- 《客户关系管理实务》电子教案 20客户满意度管理
- 直肠脓肿病因介绍
- 基于PLC的C650车床控制系统设计参考模板
- 度假酒店温泉部操作手册(含表格)
- 黄石物业收费管理办法
- 大数据平台介绍PPT课件
- 盘扣架支架计算小程序EXCEL
- 浙江省林木采伐技术规程(试行)2020
- 高档数控机床项目建议书范文
- 73页课程设计-法兰盘-84003型-工艺路线-零件图-毛坯图-说明书
- 交流变换为直流的稳定电源(共15页)
- 110KV塔型单基重量统计表
- 构造柱及圈梁施工方案
评论
0/150
提交评论