全等几何模型讲解

1、常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。1.绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：例题讲解：1. 如图所示，P是等边三角形内的一个点，2，4，求的边长。2. 如图，O是等边三角形内一点，已知：115，125，则以线段、为边构成三角形的各角度数是多少？3.如图，P是正方形内一点，且满足：1：2：3，则 . 4.如图（2-1）：P是正方形内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为1，2，3。求此正方形面积。（2）共旋转（典型的手拉手模型）模型变形：例题讲解： 1. 已知为等边三角形，点D为直线上的一动点（点D不和重

2、合），以为边作菱形(按逆时针排列），使60,连接.(1)如图1，当点D在边上时，求证：.(2)如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出、之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出、之间存在的数量关系。2.（13北京中考）在中，（），将线段绕点B逆时针旋转60得到线段。（1）如图1，直接写出的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，150，60，判断的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结，若45，求的值。2.半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和

3、为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。例题：1.在等腰直角的斜边上取两点,使得,记，求证以m，x，n为边长的三角形为直角三角形。2.如图，正方形的边长为1，上各存在一点P、Q，若的周长为2，求的度数。3.、分别是正方形的边、上的点，且，为垂足，求证：4. 已知，正方形中，45，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点M、N，于点H（1）如图，当点A旋转到时，请你直接写出和的数量关系：（2）如图，当绕点A旋转到时，（1）中发现的和的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知45，于点H，且2，3，求的长（可利用（2）得到的结论）5.已知：正方形中，4

4、5，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，(或它们的延长线)于点M，N当绕点A旋转到时(如图1)，易证(1)当绕点A旋转到时(如图2)，线段，和之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明(2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想6.(14房山2模). 边长为2的正方形的两顶点、分别在正方形的两边、上(如图1)，现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时停止旋转，旋转过程中，边交于点，边交于点.（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当和平行时(如图2)，求正方形旋转的度数；（3）如图3，设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证

5、明你的结论.7. (2011石景山一模)已知：如图，正方形中，为对角线，将绕顶点A 逆时针旋转（045），旋转后角的两边分别交于点P、点Q，交，于点E、点F，连接，（1）在的旋转过程中，的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究和的面积的数量关系，写出结论并加以证明8已知在中，于，点在直线上，点在线段上，是的中点，直线和直线交于点.（1）如图1，若点在线段上，请分别写出线段和之间的位置关系和数量关系：，；（2）在（1）的条件下，当点在线段上，且时，求证：；（3）当点在线段的延长线上时，在线段上是否存在点，使得若存在，请直接写出的

6、长度；若不存在，请说明理由图1备用图9.(2014平谷一模24)（1）如图1，点E、F分别是正方形的边、上的点，45，连接，则、之间的数量关系是：连结，交、于点M、N，且、满足，请证明这个等量关系；（2）在中， ，点D、E分别为边上的两点如图2，当60，30时，、应满足的等量关系是如图3，当，(090)，时，、应满足的等量关系是【参考：】注意：(1) 在正方形中，90，45 把绕点A逆时针旋转90得到连结则, 45，45, +45, 在中，,（2） ； 3.空翻模型例题：1.如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线和外角的平分线交于点，和有怎样的数量关系?【解析】 猜测.

7、过点作交于点，又，而，2.如图，点为正方形的边上任意一点，且和外角的平分线交于点，和有怎样的数量关系？【解析】 猜测.在上截取，3.【探究发现】如图，是等边三角形，交等边三角形外角平分线所在的直线于点F当点E是的中点时，有成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究、的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线上（除外）任意一点时(其它条件不变)，结论仍然成立假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段上的任意一点”；“点是线段延长线上的任意一点”；“ 点是线段反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并进行证明【拓展应用】当点E在线段

8、的延长线上时，若 = ，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出的值4.弦图模型外弦图 内弦图 总统图例题：1.两个全等的30，60三角板,如右下图所示摆放，E、A、C在一条直线上，连接,取的 中点M，连接，（1）求证：；（2）求证：为等腰直角三角形2.如图中，已知90，,(1)D为中点，于E,延长交于F,求证：(2)若D，M为上的三等分点，如图2，连，过A作于点E，交于点F，连，判断和的大小关系并证明3.(14朝阳二模) 已知90，D是直线上的点，（1）如图1，过点A作，并截取，连接、，判断的形状并证明；（2）如图2，E是直线上的一点，直线、相交于点P，且45，求证图2图1二、对称全等模型下

9、图依次是450、300、22.50、150及有一个角是300直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。例题：1. 如图1，在中，已知45，于D，2，3，求的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1她分别以、为对称轴，画出、的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长、相交于G点，得到四边形是正方形设，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在中，30，于D，4请你按照小萍的方法画图，得到四边形，求的周长（画图所用字母和图1中的字母对应）2. 问题：已知中，2，点D是内一点，且，.探究和度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，