实验13 回归分析

1、实验13 回归分析【实验目的】1. 了解回归分析的基本原理，掌握MATLAB实现的方法； 2. 练习用回归分析解决实际问题。【实验内容】【题目2】 电影院调查电视广告费用和报纸广告费用对每周收入的影响，得到下面的数据（见下表）， 建立回归模型并进行检验，诊断异常点的存在并进行处理。每周收入9690959295959494电视广告费用1.52.01.52.53.32.34.22.5报纸广告费用5.02.04.02.53.03.52.53.02.1 模型分析本题研究电视广告费用与报纸广告费用对电影收入的影响。我们首先尝试线性回归，由R2 值判断回归模型是否合理。如果不合理， 再采取其他方法进行回归

2、分析。设电视广告费用为，报纸广告费用为，每周电影院收入为y。建立如下模型： 2.2 matlab求解y=96 90 95 92 95 95 94 94;x1=1.5 2.0 1.5 2.5 3.3 2.3 4.2 2.5;x2=5.0 2.0 4.0 2.5 3.0 3.5 2.5 3.0;n=8;m=2;X=ones(8,1),x1',x2'b,bint,r,rint,s=regress(y',X);b,bint,srcoplot(r,rint)得到如下结果：b = 83.2116 1.2985 2.3372bint = 78.8058 87.61741 / 14 0

3、.4007 2.1962 1.4860 3.1883s = 0.9089 24.9408 0.0025 0.4897 整理成表格如下：回归系数回归系数估计值回归系数置信区间083.211678.8058 87.617411.29850.4007 2.196222.33721.4860 3.1883R2=0.9089 , F=24.9408 , p=0.0025 , s2=0.4897 在残差及置信区间的图中，第一个点的残差的置信区间不包含零点，以红色标出。残差应该服从均值为0的正态分布，可以认为这个数据是异常的，偏离了数据整体的变化趋势，给模型的有效性的精度带来不利影响，应予以剔除。2.3 剔

4、除点后重新计算删除第一个点后重新计算，将输出结果同样以表格表示。回归系数回归系数估计值回归系数置信区间081.488178.7878 84.188311.28770.7964 1.779022.97662.3281 3.6250R2=0.9768 , F=84.3842 , 0.0005 , s2=0.1257剔除第一个异常点后，R2=0.97685，相比之前有了增加，拟合的线性性有了提高；相比之前的模型，p值也有了明显的减少，远小于显著性水平，这表示置信概率大大提高了；s2 也有了减小，说明了偏差减小。综合以上几点，说明这个二元线性的模型比较合理，回归效果很好。 拟合公式为y=81.4881

5、+1.2877x1+2.9766x2+=2.4 小结本题是个较为直观的线性回归题，在它的计算中出现了异常点。剔除后计算可以得到一个回归效果相当好的模型。【题目8】汽车销售商认为汽车销售量与汽油价格、贷款利率有关，两种类型汽车（普通型和豪华型）18个月的调查资料如表，其中y1是普通型汽车售量（千辆），y2是豪华型汽车售量（千辆），x1是汽油价格（元/gal），x2是贷款利率（%）（1）对普通型和豪华型汽车分别建立如下模型：y1=0(1)+1(1)x1+2(1)x2，y2=0(2)+1(2)x1+2(2)x2给出的估计值和置信区间，决定系数R2,F值及剩余方差等。（2）用x3=0,1表示汽车类型，

6、建立统一模型y=0+1x1+2x2 +3x3 ，给出给出的估计值和置信区间，决定系数R2,F值及剩余方差等。以x3=0,1带入统一模型，将结果与（1）的两个模型的结果比较，解释二者的区别。（3）对统一模型就每种类型汽车分别作x1和x2与残差的散点图，有什么现象，说明模型有何缺陷？（4）对统一模型增加二次项和交互相，考察结果有什么改进。8.1 根据模型分别求解 由题意，对普通型和豪华型汽车分别建立如下模型：y1=0(1)+1(1)x1+2(1)x2，y2=0(2)+1(2)x1+2(2)x2此为二元线性回归，可用matlab编写程序如下：y1=22.1,15.4,11.7,10.3,11.4,7

7、.5,13.0,12.8,14.6,18.9,19.3,30.1,28.2,25.6,37.5,36.1,39.8,44.3;y2=7.2,5.4,7.6,2.5,2.4,1.7,4.3,3.7,3.9,7.0,6.8,10.1,9.4,7.9,14.1,14.5,14.9,15.6;x1=1.89,1.94,1.95,1.82,1.85,1.78,1.76,1.76,1.75,1.74,1.70,1.70,1.68,1.60,1.61,1.64,1.67,1.68;x2=6.1,6.2,6.3,8.2,9.8,10.3,10.5,8.7,7.4,6.9,5.2,4.9,4.3,3.7,3.6

8、,3.1,1.8,2.3;n=18;m=2;X=ones(n,1),x1',x2'b1,bint1,r1,rint1,s1=regress(y1',X);b2,bint2,r2,rint2,s2=regress(y2',X);subplot(2,1,1)rcoplot(r1,rint1)subplot(2,1,2)rcoplot(r2,rint2)得到如下图：在残差及置信区间的图中，有三个点的残差的置信区间不包含零点，以红色标出。残差应该服从均值为0的正态分布，可以认为这个数据是异常的，偏离了数据整体的变化趋势，给模型的有效性的精度带来不利影响，应予以剔除。8.

9、2 剔除点后的模型求解（1）对于y1=0(1)+1(1)x1+2(1)x2剔除第14、18个点后继续自此基础上剔除第11个点（2）对于y2=0(2)+1(2)x1+2(2)x2剔除第14个点后继续剔除第七个点，得到残差及置信区间图如下：将输出结果汇总成下表：普通型回归系数回归系数估值回归系数置信区间0(1)107.560175.3160 139.80421(1)-37.9283-57.2842 -18.57232(1)-3.0314-3.7862 -2.2767R2=0.9334 F=84.0758 p<0.0001 s2=9.2746豪华型回归系数回归系数估值回归系数置信区间0(2)2

10、9.758316.2864 43.23031(2)-6.7738-14.9774 1.42992(2)-1.6367-1.9680 -1.3054R2=0.9450 F=103.1152 p<0.0001 s2=1.5413可得模型如下：普通型：y=107.5601-37.9283x1-3.0314x2豪华型：y=29.7583-6.7738x1-1.6367x28.3 建立统一模型 建立统一模型y=0+1x1+2x2 +3x3 ，用x3=0表示普通型，x3=1表示豪华型，此时为三元线性回归，可用matlab编写程序如下：y=22.1,15.4,11.7,10.3,11.4,7.5,13

11、.0,12.8,14.6,18.9,19.3,30.1,28.2,25.6,37.5,36.1,39.8,44.3,7.2,5.4,7.6,2.5,2.4,1.7,4.3,3.7,3.9,7.0,6.8,10.1,9.4,7.9,14.1,14.5,14.9,15.6;x1=1.89,1.94,1.95,1.82,1.85,1.78,1.76,1.76,1.75,1.74,1.70,1.70,1.68,1.60,1.61,1.64,1.67,1.68,1.89,1.94,1.95,1.82,1.85,1.78,1.76,1.76,1.75,1.74,1.70,1.70,1.68,1.60,1.

12、61,1.64,1.67,1.68;x2=6.1,6.2,6.3,8.2,9.8,10.3,10.5,8.7,7.4,6.9,5.2,4.9,4.3,3.7,3.6,3.1,1.8,2.3,6.1,6.2,6.3,8.2,9.8,10.3,10.5,8.7,7.4,6.9,5.2,4.9,4.3,3.7,3.6,3.1,1.8,2.3;x3=zeros(1,18),ones(1,18);n=36;m=3;X=ones(n,1),x1',x2',x3'b,bint,r,rint,s=regress(y',X);b,bint,srcoplot(r,rint)输出如下

13、结果：b = 64.5753 -16.1436 -2.3322 -14.4222bint = 33.5007 95.6499 -35.1193 2.8320 -3.0705 -1.5939 -17.6546 -11.1898s = 0.8366 54.6111 0.0000 22.6642回归系数回归系数估值回归系数置信区间064.575333.5007 95.64991-16.1436-35.1193 2.83202-2.3322-3.0705 -1.59393-14.4222-17.6546 -11.1898R2=0.8366 F=54.6111 p<0.0001 s2= 22.66

14、42可得模型为：y=64.5753-16.1436-2.3322x2 -14.4222x3，x3=0表示普通型，x3=1表示豪华型。即：普通型：y=64.5753-16.1436-2.3322x2 豪华型：y=50.1531-16.1436-2.3322x2 可以看出：统一模型相当于将分立模型进行了统一：(1)统一模型的值趋近于给分立模型的“平均”；(2)统一模型的残差较大；(3)统一模型的决定系数较小；(4)统一模型的拒绝概率较小，到达了10的-12次方量级，说明模型更加有效；总体上讲，将两者统一后进行回归分析的结果有其优点，但是仍有许多不理想的成分。8.4 就每种类型汽车分别作x1和x2与

15、残差的散点图y=22.1,15.4,11.7,10.3,11.4,7.5,13.0,12.8,14.6,18.9,19.3,30.1,28.2,25.6,37.5,36.1,39.8,44.3,7.2,5.4,7.6,2.5,2.4,1.7,4.3,3.7,3.9,7.0,6.8,10.1,9.4,7.9,14.1,14.5,14.9,15.6;x1=1.89,1.94,1.95,1.82,1.85,1.78,1.76,1.76,1.75,1.74,1.70,1.70,1.68,1.60,1.61,1.64,1.67,1.68,1.89,1.94,1.95,1.82,1.85,1.78,1.7

16、6,1.76,1.75,1.74,1.70,1.70,1.68,1.60,1.61,1.64,1.67,1.68;x2=6.1,6.2,6.3,8.2,9.8,10.3,10.5,8.7,7.4,6.9,5.2,4.9,4.3,3.7,3.6,3.1,1.8,2.3,6.1,6.2,6.3,8.2,9.8,10.3,10.5,8.7,7.4,6.9,5.2,4.9,4.3,3.7,3.6,3.1,1.8,2.3;x3=zeros(1,18),ones(1,18);n=36;m=3;X=ones(n,1),x1',x2',x3'b,bint,r,rint,s=regres

17、s(y',X);x11=x1(:,1:18);x22=x2(:,1:18);r1=r(1:18,:);r2=r(19:36,:);subplot(2,2,1)plot(x11,r1,'r+')title('ÆÕͨÐÍÆû³µ£º²Ð²îÓëx1µÄÉ¢µãͼ')subplot(2,2,2)plo

18、t(x22,r1,'r+')title('ÆÕͨÐÍÆû³µ£º²Ð²îÓëx2µÄÉ¢µãͼ')subplot(2,2,3)plot(x11,r2,'r+')title('ºÀ»ªÐÍÆû³

19、;µ£º²Ð²îÓëx1µÄÉ¢µãͼ')subplot(2,2,4)plot(x22,r2,'r+')title('ºÀ»ªÐÍÆû³µ£º²Ð²îÓëx2µÄÉ¢µ

20、;ãͼ')得到如下图形对比以上各图，发现针对同一变量（x1或x2），两种类型汽车所得的残差变化趋势不一致，说明x1、x2与x3有交互作用，即模型的缺陷是缺少二次项和交互项。8.5 对统一模型增加二次项和交互相进行回归(1)增加交互项，改用模型：y=0+1x1+2x2+3x3+4x1x2+5x2x3+6x3x1进行回归分析x1=1.89,1.94,1.95,1.82,1.85,1.78,1.76,1.76,1.75,1.74,1.70,1.70,1.68,1.60,1.61,1.64,1.67,1.68;x2=6.1,6.2,6.3,8.2,9.8,10.

21、3,10.5,8.7,7.4,6.9,5.2,4.9,4.3,3.7,3.6,3.1,1.8,2.3;x3 = zeros(1,length(x1),ones(1,length(x2);x1 = x1,x1;x2 = x2,x2;x1x2 = x1.*x2;x1x3 = x1.*x3;x2x3 = x2.*x3;x12 = x1.*x1;x22 = x2.*x2;y1=22.1,15.4,11.7,10.3,11.4,7.5,13,12.8,14.6,18.9,19.3,30.1,28.2,25.6,37.5,36.1,39.8,44.3;y2=7.2,5.4,7.6,2.5,2.4,1.7,

22、4.3,3.7,3.9,7.0,6.8,10.1,9.4,7.9,14.1,14.5,14.9,15.6;X=ones(length(x1),1),x1',x2',x3',x1x2',x2x3',x1x3'Y = y1,y2;b,bint,r,rint,s=regress(Y',X);b,bint,s得到如下结果：b = 141.1004 -57.4368 -12.5875 -65.6343 5.3855 1.7923 23.0304bint = 39.5625 242.6383 -117.0970 2.2235 -30.2968 5.1

23、218 -111.3383 -19.9303 -4.7953 15.5663 0.7050 2.8796 -4.9166 50.9774s = 0.9203 55.8474 0.0000 12.1906发现R2、F和s2都有所改善，模型有效的概率也有所提高，但是x1，x2的置信区间都包含0，这应当是由于引入交互项x1x3和x2x3导致的。（2）增加二次项改用模型：y=0+1x1+2x2+3x3+4x12+5x22这里不增加x32是因为它和x3一样。将程序改为X=ones(length(x1),1),x1',x2',x3',x12',x22'得到如下结果：b = -140.9671 217.3994 -6.0022 -14.4222 -62.6018 0.2625bint = -741.4504 459.5163 -456.1560 890.9548 -9