不定积分的计算(二)

1、2. 不定积分的计算不定积分的计算(二二)三、分部积分法三、分部积分法四、有理函数积分法四、有理函数积分法三、分部积分法三、分部积分法( )( ),u xv x对于可微函数与有,)(vuvuuv.)(vuuvvu作不定积分运算, 即得,dxuvuvdxvuor,vduuvudv称之为称之为 分部积分公式分部积分公式.注注1. 不能直接求不能直接求uv dxvdu求 ,u vvduudv 选则的原则是 要比 简单易求,从而达到化繁为简的目的.,vu dx求 udv改写改写转化转化sinxxdx求解：解：(1),sin( cos ),uxdvxdxdx令 dxxxxxd)cos(cos)cos(则

2、原式.sincosCxxx2(2)sin ,(),2xuxdvxdxd令 则).(sin2sin2)2(sinsin222xdxxxxxdxdxxsinxxdx比 更繁.例例11.例例12.arctan xdx求解：解：2arctan1xxxdxx原式21arctanln(1).2xxxC例例13.dxexx3232()3xex d2323333222()333399xxxxxxexxexdeee dx233233xxxexe dx2322().3927xxxeC例例14. 求求dxax22解：解：222222xxxaxdxxaxa dx 2222222ax xaxa dxdxxa222222

3、2ln |.22xaxa dxxaxxaC2222222ln(2.)2xaxa dxxaxxaC22222212ln |x xaaxxaCxa dx22aa例例15.cossin.axaxebxdxebxdx求 及解：解：,sincos1cosbxdxeabbxeabxdxeaxaxax1sinsincos,axaxaxbebxdxebxebxdxaa联立联立, 解之得：解之得：22sincoscos,axaxbbxabxebxdxeCab22sincossin,axaxabxbbxebxdxeCab注注2. 类似的类似的, 下列函数下列函数sin,cos,ln,arctan ,( )sin,

4、( )cos,( )ln ,(sin )kkkaxkmkaxxbxxbxx exxxxp xmxp xmxp xxpx e等等.的不定积分常可用分部积分法可得.cos1cossin101sinsinsin?xxdxdxdxxxx 注注3. 使用分部积分法，有时须连续使用若干次；有时使用若 干次之后，常会重新出现原来所求的那个积分，从而成 为求积分的方程式，解之可得所求积分；有时应特别注 意如下情形： 将不定积分视为一个数进行运算是错误的将不定积分视为一个数进行运算是错误的, 不定积分是不定积分是原函数的集合原函数的集合. 此时此时, .|sin|lnsinsinsincosCxxxddxxx

5、使用分部积分公式还可得到一些有用的使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式递推公式, 例如例如：(ln),nnIxdxdxxxnxxxdxxInnnn1)(ln)(ln)(ln1,)(ln)(ln)(ln11nnnnnIxxdxxnxx.lnln1CxxxxdxI其中， 初等函数的导数仍是初等函数初等函数的导数仍是初等函数, 但求不定积分却不那么但求不定积分却不那么简单简单, 有些不定积分不能用初等函数来表示有些不定积分不能用初等函数来表示, 如如,sin,sin,22dxxdxxxdxex是非初等函数是非初等函数, 即即初等函数的原函数不一定是初等函数初等函数的原函数不一定是初等函数.(

6、)( )( )( )( )( )( )( )P xP xQ xQ xP xP xQ xQ x若的次数的次数，称 为有理假分式；若的次数的次数，称 为有理真分式.( )( )( )( )( )P xF xT xQ xQ x多项式除法有理假分式有理真分式（多项式）（多项式）.1264321232224xxxxxxxx四、有理函数积分法四、有理函数积分法1. 代数的预备知识代数的预备知识 设设P(x)与与Q(x)都是多项式都是多项式, 则有理函数的一般形式是则有理函数的一般形式是.( )( )P xQ x例如：( )( )( ).( )( )T x dxP xF xdxdxQ xQ x由于易求, 因

7、之求关键在于求( ),( )F xQ x对于有理真分式由代数实系数多项式的因式分解,可设22( )()() ()() ,Q xxax bxpxqxrxs22,( ),( ),abQ xxpxqxrxsQ x 其中，分别是的重实根，都没有实根，有共轭复根，即有重共轭复根；是自然数.根据代数分项分式定理代数分项分式定理, 有)()()()()(221axAaxAaxAxQxF)()()(221bxBbxBbxB1122222211222222()().()()( )C xDC xDC xDxpxqxpxqxpxqE xFE xFE xFxrxsxrxsxrxs,ijkkmmA B CDEF其中，都

8、是常数.求解常数的方法：方法一方法一：将将()式右端通分，得式右端通分，得)()()()()()(xRxForxQxRxQxF方法二：方法二： 使用使用“赋值法赋值法”简化对待定系数的求简化对待定系数的求解解.( )( )F xR x与同次幂的系数相等. 由此得到一次联立 方程组，求解即得.例例16.2222(1)(1)xxx分解 为简单分式之和.解：解：11222222222(1)(1)11(1)B xCB xCxAxxxxx设 43211121121212122()()(2)()().(1)(1)AB xCB xABBC xCCBB xA CCxx1112112121210,0,20,2,

9、2.ABCBABBCCCBBACC11221,1,1,2,0.ABCBC 解方程组,得:比较两端分子的同次幂系数比较两端分子的同次幂系数, 得例例16.2222(1)(1)xxx分解 为简单分式之和.解：解：11222222222.(1)(1)11(1)B xCB xCxAxxxxx设 ).1)() 1)(1)() 1(222221122xCBxxCxBxAx有144 ,1.xAA令 ，有 1211220,2.1,044422.xACCxABCBC 有有22222,2.BCBC得11221,1,1,2,0.ABCBC 联立解之得2222,22() ,xiiBCBCi 有2. 有理函数的不定积分

10、有理函数的不定积分( )( )F xQ x从式，任何有理真分式的不定积分都能归结为（ ）不定积分：求下列四种类型分式的(1)ln |.AdxAxaCxa2222222112.(1)(1)11(1)xxxxxxxx所以 2222(3).22ln()arctan244BxCBCBpxpdxxpxqCxpxqqpqp1(2).(2,3,)()(1)()nnAAdxCnxanxadxqpxxBpCpxBdxqpxxCBx222)2(2224ptxpaq令简 化 ！)4()2()2()2()(22222pqpxpxdBpCqpxxqpxxdB22222ln()arctan.244BCBpxpxpxqCq

11、pqpIn fact,2(2,3,(4)()nnBxCdxxpxq222()()2()2()nnBd xpxqBpdxCxpxqxpxq211(),2 (1)()2nnBBpCIn xpxq422()()24()nnndxppxqdxIxpxq122221111()2(1)()nnIt daantanatdttn)()2)(1(22（分部积分法）（分部积分法）22()ndtta2222221()ntatdtata12222122111,2(1) ()()nnntdtIaa ntata22,(4)2pptxaq令 12221223.2(1)()2(1)nnntnIIa ntaa n因此, nI这

12、是关于 的递推公式. 此时,11221arctan,dttICtaaa1231.nnIIIII由 22222311arctan,22ttICataaa33222 24225,133arctan4()88tttICataataaa1(1)1nI nInn只是针对 中的 而言,应与题设中区别.注注2. 有理函数总存在初等函数的原函数有理函数总存在初等函数的原函数.注注1. 例例16.2222(1)(1)xdxxx求 .解：解：2221211(1)dxxxdxdxxxx原式2222221(1)(1)1211(1)dxd xdxd xxxxx2211ln |1|ln(1)arctan.21xxxCx例

13、例17. 求求 2.1(1)dxx x21(1)dxx x2111(1)1dxxxx2111(1)1dxdxdxxxx.1ln| |ln|(1)|1xxCx解：解：例例18. 求求 解：解：.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 五、其他类型的不定积分五、其他类型的不定积分（一）简单无理函数的不定积分（一）简单无理函数的不定积分原则：原则：简单无理函数简单无理函数变量替换变量替换有理函数有理函数符号符号 R (u, v) 表示以

14、表示以 u 和和 v 为为变量的有理函数变量的有理函数.1. ( ,) 2 0.naxbR xdxnadbccxd型积分，其中且于是则设 ,)( ),( , dttdxtctabdtxtdcxbaxnnn( ,)naxbR xdxcxd( ( ), )( ).Rt tt dt积分积分有理化有理化( )( )tt由于与皆为有理函数，故求这个有理函数的不定积分即可.12( ,)knnnaxbaxbaxbR xdxcxdcxdcxd推广求 型的积分，12 (,)nkaxbtnn nncxd可令其中 为的最小公倍数 使其有有理化求解有理化求解.例例1.7781514.xxdxxx解：解：141314

15、, ,14,xtxtdxt dt设 则有：1114142772131381516151414714()()1414()()ttttt dtt dttttt原式=543211414 (1).1tdtttttdtt 例例2.11.1xdxxx解：解：2222114 , , , 11(1)xtttxdxdtxtt设则 有222222214 =41(1)(1)(1)ttttdtdttttt 原式22.111dtdtdtttt例例3.23(1)(1)dxxx解：解：311 =.11xdxxx原 式32333321126 , 1, , 111(1)xtttxdxdtxttt 设则323323163 2(1

16、)1tttdtdtttt 原式2211dttdtttt 2221(1)(21)ln |1|321(21)3d ttdttttt 2121ln |1|ln(1)3arctan.23ttttC 31().1xtx例例4. 21 23xdxxx解：解：22221(1 23)163411 233()331131ln 1 23arcsin.323 3dxxdxxxxxxxC 222.( ,) 0,40(R xaxbxc dxabac型积分，其中无重根).分以下情况考虑：分以下情况考虑：2(0(1) )MxNdx aaxbxc形如 的积分222()2MxNMd axbxcdxaaxbxcaxbxc2(),

17、2bMdxNaaxbxc2222 .()()24dxdxaxbxcbba xcaa而此积分形式同此积分形式同：22,arcsindxxCaax或或2222.ln|dxxxaCxa例例5.2214xdxxx222(4 )(2)344(2)dxxd xxxx 解：解：22243arcsin.2xxxC 2222 ()(),24bbaxbxcdxa xcdxa而2(2) () (0) MxNaxbxcadx形如的积分2()MxNaxbxcdx22()2Maxbxcd axbxca2(),2MbNaxbxcdxa此积分形式同此积分形式同：22222,arcsin22xaxax dxaxCa或22222

18、22ln|.22xaxa dxxaxxaC例例6.2(1)25xxxdx222125 (25)2(1)42xxd xxxdx原式24ln(125).xxxC 解：解：32221(25)(1)253xxxxx（二）三角函数的不定积分（二）三角函数的不定积分11sincos sec, csc, tan, cossincossinxxxxxctgxxxxx由于 sin cos xx都可化为及的函数，因之，三角函数的不定积分22 tan, () 2arctan , ,21xtxxt dxdtt设则2222222tan1tan2122sin, cos,111tan1tan22xxttxxxxtt (si

19、n ,cos ) Rxx dx只要讨论形如的积分即可.就有就有2222212(sin ,cos )(,)111.ttRxx dxRdtttt 这样就把积分有理化了这样就把积分有理化了. 从而三角函数从而三角函数 R(sinx,cosx) 存存在初等函数的原函数在初等函数的原函数.tan (sin ,cos ) 2xtRxx变量替换 称为关于三角函数的.万能替换例例7.sincos1ctgxdxxx解：解：222221212 .2112111tttdtdttttttt原式2222222 tan, 2arctan , , sin,2111cos1cos, ,1sin2xdtttxt dxxtttx

20、txctgxtxt设则例例8.221 (01, |)12 cosrdxrxrxr解：解：22 tan, 2arctan , , 21xdttxt dxt设则222222222122(1) =11(1)(1)1 21rrdtdtttrrtrrt原式21()1211 ()1rdtrrtrtan2xt 12arctan.1rtCr关于关于 R(sinx,cosx) 具有某种性质时的一些特殊变量替换具有某种性质时的一些特殊变量替换： 1. (sin ,cos ) cos Rxxx若是的奇函数，即(sin , cos )(sin ,cos ), sin .RxxRxxtx 设即可例例9.64tan co

21、ssinxxdxx解：解：6543tan coscos(sin ,cos ) cos sinsinxxxRxxxxx是的奇函数. sin , cos, txdtxdx设则有223(1)tdtt223(1 sin)(sin )sinxdxx32.dtdttdttt43cos cossinxxdxx原式2. (sin ,cos ) sin Rxxx若是的奇函数, 即( sin ,cos)(sin ,cos ), cos .RxRxxtx 设即可例例10.334sincosxdxx解：解：334sin(sin ,cos ) sin cosxRxxxx是的奇函数，cos , sin,tx dtxdx

22、设 则2341 cos ( sin)cosxxdxx 原os.55costtCxCx42233431 tdttdtt dtt 3. (sin ,cos )( sin ,cos ), tan .RxxRxxtx若设即可例例11.2sincossincosxxdxxx解：解：21 tan , , costx dtdxx设有252tancos sincoscosxxdxxxx原式2222tan(1tan )(1tan)cosxdxxxx2222222211(1)(1)(ln |1|2)4121(1)(1)dtdtdtdtttttt222(1)(1)tdttt222111(2

23、)411(1)dtttdtdtttt22111(ln |).411ttCttsinco , s4. nmxx若被积函数是分以下两种情形讨论：(1) 21 (),nmmkkN若 与至少有一个是奇数，不妨设 n 为正数，于是22sincossincoscossin(1sin)sin ,nmnknkxxdxxxxdxxx dx2 (1 sin) kx将按二项式定理展开,逐项积分可解,其形如1sinsinsin.1pPAAxdxxCp例例12.3tancosxdxx解：解：732 cossinxxdx原式7322coscoscoscosxdxxdx51222cos2cos.5xxC dxxx)1213

24、(2) nm若与都是偶数，这时由三角公式221 cos21 cos2sin, cos,22xxxxa) 含有含有 sin2x 或或 cos2x 的奇次幂，此时可由的奇次幂，此时可由(1)求之；求之；将被积函数化简将被积函数化简, 其结果：其结果：b) 含有含有sin2x 或或 cos2x 的偶次幂，用上述三角公式化简的偶次幂，用上述三角公式化简, 化成含化成含 sin4x 与与 cos4x 的函数，依次类推的函数，依次类推.1sin cossin2 ,2xxx例例13.44sincosxxdx解：解：441 sin 22xdx原式66111cos8(12cos4 )222xx dxdx1sin

25、8(3sin 4).1288xxxC2411cos4()22xdx5. sincos ( ,)mxnxdxm nR型解：解：sincos mxnxdx11sin()sin()22mn xdxmn xdx: sincos, sinsin, coscos,Exmxnxmxnxmxnx被积函数是利用三角函数的积化和差公式可解.积化和差cos()cos(). ()2()2()mn xmn xCnmmnmn 例例14.cos4 cos7xxdx1(cos11cos3 )2xx dx原式解：解：sin11sin3.226xxC三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的由

26、三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为函数称之一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 1、三角函数有理式的积分五、其它形式的不定积分五、其它形式的不定积分2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式）（万能置换公式）例例7 7 求积分求积分.cossin1s

27、in dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 例例8 8 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd .cot31cot3Cxx 结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法, 便知万能置换不一定便知万能置换不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式