2018年海淀区高三年级第一学期期中数学理科试题评分标准

1、完美WORD格式海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科)2017.11本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分(选择题，共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。(1)若集合 A=x|x_2 <0, B=x| ex>1,则 aAb=()(A) R(B)(3,2)(C) (0,2)(D) (2,收)(2)下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +望)上单调递增的是()(A) f(x)=ln|x|(B) f(x)=2/32(C) f(x)=

2、x(D) f(x) = -x(3)已知向量 a =(1,0), b =(1,1),则()(A) a/ b(B) a_Lb(C) (ab)/ b(D) (a + b)_L a(4)已知数列an满足 a +a2 + +an =2a2(n = 1,2,3,.),则()(A) a1 <0(B) a1A0(C) a1 # a2( D) a2 = 0(5)将y =sin(2x+3)的图象向左平移 三个单位，则所得图象的函数解析式为()66(A) y =sin 2xji(C) y = sin(2x )(6)设a W R ,则“ a是第一象限角”是(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件(B) y =

3、cos2x(D) y = sin(2x -)6since +cosa >1” 的()(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件(7)设f (x )=esinx +e-inx ( xw R),则下列说法不正确的是()(A)"乂必上偶函数(B)冗为f(x )的一个周期(C)n为f (x)的一个极小值点(D) f(x )在区间(0,()上单调递减(8)已知非空集合A,B满足以下两个条件：(i) A|JB =1,2,3,4,5,6 , ACB=0;(ii) A的元素个数不是 A中的元素，B的元素个数不是 B中的元素，则有序集合对(A,B )的个数为()(A) 10(B) 12(C

4、) 14(D) 16范文.范例.指导.参考第二部分(非选择题，共110分)、填空题共6小题，每小题5分，共30分一,、13 -一(9)定积分x3dx的值等于- 1(10)设在海拔x (单位：m处的大气压强 y (单位：kPa), y与x的函数关系可近似表示为y =100eax,已知在海拔1000 m处的大气压强为90 kPa,则根据函数关系式，在海拔2000 m处的大气压强为kPa .，一, 一、，41”、一 ，一(11)能够说明“设 x是实数.若x>1 ,则x + >3 是假命题的一个实数x的值x -1为.(12)已知AABC是边长为2的正三角形，O, D分别为边AB, BC的中

5、点，则T p若OC=xAB + yAD,则 x + y= AD AC =;(其中0 A 0 ,1(13)已知函数f (x)sin( x )的部分图象如图所示，则 8 =,中=(14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 x >0时，f (x) =x2 -ax +a ,其中 as R . f(-1) =; 若f (x)的值域是R ,则a的取值范围是 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程(15)(本小题13分)已知函数 f(x) =2J2cosxsin(x +2) 1. 4(I)求f(E)的值；4(n)求f (x)在区间0,三上的最大值和最小值.2(16)

6、(本小题13分)已知 an是等比数列，满足a2 = 6 , a3 = - 18 ,数列bn满足bi = 2 ,且2bn+ an是公差为2的等差数列.(I)求数列an和bn的通项公式；(n)求数列bn的前n项和.(17)(本小题13分)a已知函数 f (x) =x(a+1)ln x ，其中 a >0 .x(i)当a =2时，求曲线y = f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(n)求f (x)在区间1,e上的最小值.(其中e是自然对数的底数)(18)(本小题13分)1如图，在四边形 ACBD中，cos/CAD =，且AABC为正三角形.7(I)求cos/BAD的值;(n)若 CD=4,

7、BD = J3,求 AB 和 AD 的长.(19)(本小题14分)已知函数 f (x) = J2exsin x (0<x<n), gX)牌巾一 x m ( mw R)(I)求f (x)的单调区间；(n)求证：1是g(x)的唯一极小值点；(出)若存在a, bw(0, n),满足f(a)=g(b),求m的取值范围.(只需写出结论)(20)(本小题14分) * 右数列A ： a1，a2,，an ( n之3)中a = N (1 <i < n )且对任意的2 W k M n-1ak+ak>2ak恒成立，则称数列 A为“ U 数列”.(I)若数列1, x, y, 7为“U 数

8、列”，写出所有可能的x, y；(n)若 “ U 数列” A： a1，a2,，an 中，a1=1, an = 2017 ,求 n 的最大值；(出)设n0为给定的偶数，对所有可能的“U 数列” A： a1，a?,，an0 ,记 M =maxa1，a2,., an0,其中 maxx1，x2,., xs表示 x，x2,，xs这 s个数中最大 的数，求M的最小值.海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案2017.11数学（理科）阅卷须知：1 .评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数2 .其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.题号1234

9、5678选项CADDBCDA、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分.（有两空的小题第一空 3分）9. 010. 8111. 212. (1) 3(2)2冗13. 2 , -314. (1) -1(-«,0 U4,收)三、解答题：本大题共4小题,共44分.15.（本题13分）解：(I)因为f(工)=2&cosEsinE _ 11442分=22 1 122分 =13分(n) f (x) =2 .2cosxsin(x ) -14-2.2cosx 津sinx+Zosx)-122分2，= 2sin xcosx 2cos x -1= sin 2x +cos2x8分(一个公式2分)

10、= T2sin(2x+；) 10分5 二因为 0WxW_,所以 _W2x+_W 112444分2所以 Jwsin 2x + - 1<1 故1 wVsin . 2x+ <722.4.4J JJ1-当2x十彳=2，即x = 8时，f(x)有最大值V2一 二 5二二当2x + =，即x = 一时，f （x）有最小值 1 13442分（函数最大值和最小值结果正确1分，写出取得最大值和最小值时对应自变量的取值1分）16.（本题13分）解：(I)设数列an的公比为q,则a2 二 a1q =62% =a1q = T8解得 a = 一2 , q = 3所以，an = -2 (-3厂令 Cn =2b

11、n +an,则 c = 2“ + a1 = 2Cn =2 (n -1) 2 =2ncn ann 1bn = - =n (-3)/、o n(n 1) 1 -( -3)n1吩（分组求和，每组求对给 2分）(n)Sn = L 2417.（本题13分）解：(I)当 a = 2 时，f (x) =x_3ln x_2 , f'(x)=(x-)(x, 1 分xx此时，f(1) = 1, f'(1)=0,2 分故曲线y = f(x)在点(1, f (1)处的切线方程为 y = 1.3 分a一(n) f (x) =x _(a+1)ln x_的定义域为(0,收)4x分a 1 a (x -1)(x

12、- a)f'(x)=1+=-今-5x x x分令 f '(x) =0得，x=a或 x=16分当0<a41时，对任意的1<x <e, f'(x)>0, f (x)在1, e上单调递增 7分f(x"、=f(1) = 1-a 8x(1,a)a(a, e)f '(x)0+f(x)极小当1ca <©时分当1ca <e时10分f(x)最小=f(a)=a1(a+1)lna 11分当a至e时，对任意的1<x <e, f'(x)<0, f (x)在1, e上单调递减 12分af(x)最小=f( e)

13、 =e-(a+1)- 13 分e1 -a, 0(aW1由、可知，g(a) = a T - (a 1) ln a, 1 ： a :二 ee_(a + 1) a, a e Le18.解：(本题13分)，、， 一- 1(I)因为 cosZCAD = - , /CAD W (0, m-4 3所以 sin . CAD =72分所以 cos ./ BAD（没写角取值范围的扣 1分）= cos(. CAD -1)=cos/CAD cos+sin/CADsin-433分1 1 4.3 .3 I T 7 2721114(n )设AB = AC = BC = x, AD = y，在AACD和AABD中由余弦定理得

14、AC2 AD2 -2AC AD cos CAD =CD2AB2 AD2 -2AB AD cos BAD = BD2分10代入得（每个公式给2分）2xy =16711 o一 一 xy = 37x= 7- x-7 人解得 或(舍)y =、7 y % 719.解：即 AB =、, 7 , AD = , 7分(本题14分)(i) 因为 f'(x) = V2(ex sinx +ex cosx)13x=2e sin(x )令 f '(x) = 0 ,得 sin(x + 二)=04因为0<xcn,所以 x = n 冽4当x变化时，f'(x), f(x)的变化情况如下：x(0名)

15、 43ji4/3、(一 n)4f '(x)+0f(x)n_极大值n5分3 3 二故f (x)的单调递增区间为(0,)，f (x)的单调递减区间为(，町4 4 6分(n)证明：7 g(x) = (x -1)ln x m1-c二 g'(x) =lnx +1(x>0), 7x分1 .，11xx x故g'(x)在(0,也)是单调递增函数， 8分又：g'(1) = 0,故方程g'(x) =0只有唯一实根 x = 1 10设 h(x) = g'(x) =ln x+1 ,则 h (x) = - + >0x(0,1)1Dg '(x)0+g(x

16、)n极小值n分当x变化时，g '(x) , g (x)的变化情况如下：当x变化时，g '(x) , g (x)的变化情况如下:12分故g(x)在x = 1时取得极小值g(1) = m,即1是g (x)的唯一极小值点3： (m)m <e4 14分20.(本题14分)- x = 1 x = 1 ,、x = 2解：(I )/，< 或43 分y=2y=3y=4(n) n的最大值为65,理由如下 4分一方面，注意到：ak 1 - akj 2ak：= a0-ak ak-a”对任意的 1 wi wn-1,令 bi = ai中一句，则 bi w Z 且 bk >bj( 2&l

17、t;k<n-1),故bk之bk+1对任意的2 w k w n 1恒成立.()当 a1 =1 , an =2017 时，注意到 “ =a2 aI >1 -1 = 0 ,得b =(b b)十(bi/一by) + + (b2 b1) +bi 至i 1 ( 2< i < n-1)1此时 anai =bi d， ，bn_012，-n -2 = -(n-1)(n -2)1 ，即 _(n1)(n2) M20171,解得：-62 w n£65,故 n 工65 72分另一方面，取b=i1 (1Wi E64),则对任意的2WkW64, bkbk，故数列an为 “U 数列”，此时

18、a65 =1 +0+1 +2+ - + 63 =2017,即 n = 65符合题意.综上，n的最大值为65.9分2（山）M的最小值为 n -2n0 8,证明如下：810分当 n0 = 2m （ m 22, mc N ）时，一方面：由（）式，bk+ -bk 之1 ,bm /-bk =(bm 半-bmj)十(bm芈一bm 芈二)十一十(bk 中一bk) A m .此时有：(q a2m) -(am - am1)二 (bm 1，bm 2 ,，b2m)-(A，4，bm)二 (bm 1 -bi) (bm 2 飞)gm- bm)_ m m-m=m(m -1)22故 Mai,a2mamamim(m-1) m -m 2 =n0-2n°82228分另一方面，当 bi=1 - m, b2=2-m,，bmj - -1 , bm 0 ,