2017中考数学圆最值问题含答案

1、数学组卷圆的最值问题选择题（共7小题）1 . （2014春？兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3, 0）,点B为y轴正半轴上的一点，点 C为第一象限内一点，且 AC=2，设tan / BOC=m,则m的取值范围是（A. m> OB.C.2. （2013?武汉模拟）如图/ BAC=60 ° ,年修检0与/ BAC勺两边相切，P为。0上一动点，以 P为圆心,PA长为半径的。P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE,则线段DE长度的最大值为（）A. 3 B. 6C.D. 333. （2014?武汉模拟）如图，P为。0内的一个定点，A为。0上的一个动点，射线 AP、AO分别

2、与。0交于B、C两点.若。0 的半径长为3, OP= V5,则弦BC的最大值为（）A. 2V3 B. 3 C.加 D. 3&4. （ 2015?黄陂区校级模拟）如图，扇形 AOD中，/ AOD=90 ° QA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点 A和D重合），PQLOD于Q,点I为 OPQ勺内心，过 O, I和D三点的圆的半径为r.则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（A. 0vrv3 B. r=3 C. 3vrv3& D. r=3 &5. （2010?苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2, 0）、（0, 2）, OC的圆心坐J,小标为（-1 , 0）,

3、半径为1 .若D是GK 上的一个动点，线段DA与y轴交于点E,则4 ABE面积的最小值是（）A. 2 B. 1 C. 2- D. 2-点26. （2013?市中区模拟）如图，已知 A、B两点的坐标分别为（8, 0）、（0, -6）, 0c的圆心坐标为（0, 7）,半径为5.若P是GK上的一个动点，线段 PB与x轴交于点D,则 AB面积的最大值是（）A. 63 B. 31 - C. 32 D. 3027. （2013?枣庄）如图，已知线段 OA交。0于点B,且OB=AB，点P是。0上的一个动点，那么/OAP最大值是（）A. 90 ° B. 60 ° C. 45 °

4、D. 30.填空题（共12小题）BE交AG于点H.若正方形的边长为 2,则线段DH长度的最小值是8. （ 2013?武汉）如图，E, F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足 AE=DF .连接CF交BD于点G,连接9. （ 2015?黄陂区校级模拟）如图，在 Rt AB（CP, A ACB=90 AC=4 , BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2 , M为BD的中点，在 D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是10. （2012?宁波）如图，MBC BAC=60,/ ABC=45B=2,旧，D是线段BC上的一个动点，以 AD为直径画。0分别交AB, AC于E, F,连接EF,则线

5、段EF长度的最小值为 11 . （ 2015?峨眉山市一模）如图，已知直线 l与。0相离， OAL干点A, OA=10 , OA与。0相交于点P, AB与。0相切于点B, BP的延长线交直线l于点C.若。0上存在点Q,使 QAC以AC为底边的等腰三角形，则半彳仝r的取值范围是:13. （2013?陕西）如图，AB是。0的一条弦，点 C是。0上一动点，且/ ACB=30 ° E、点分别是 AC、BC的中点，直线EF与。0交于G、H两点.若。0 的半径为7,则GE+FH的最大值为 .14. （2013?咸宁）如图，在Rt AO时,OA=OB=3 近,00的半径为1,点P是AB边上的动点，

6、 过点P作。0 的一条切线PQ （点Q为切点），则切线PQ的最小值为 15. （2013?内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点。为圆心的圆过点 A （13, 0）,直线y=kx - 3k+4与。0交于B、C两点，则弦 BC的长的最小值为 .OP是。0是16. （ 2011?苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画。动点且P在第一象限内，过P作。0切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.则线段AB的最小值是 17. （2015秋？江阴市校级期中）如图，00 与正方形 ABCD的两边AB、AD相切，且DE与。0相切于E点.若正方形 ABCD的周长为28 ,且DE=4

7、 ,贝U sin / ODE=18. （2014春？兴化市校级月考）如图所示，已知 A （1, y1），B （2, y2）为反比例函数y二1图象上的两点，动点XP （x, 0）在x轴正半轴上运动，当线段 AP与线段BP之差达到最大时，点 P的坐标是 .19 . （ 2015?泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的。0 上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点 C作CP, AB于点P,若CD=3 , AB=8 , PM=l ,则l的最大值是三.解答题（共5小题）20. （ 2013?武汉模拟）如图，在边长为1的等边OAB以边AB为直径作。O为圆心OA长为半彳5作圆 O, C

8、为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线00 于点 E, BC=a , AC=b .（1）求证：AE=b+ 娟a;（2）求a+b的最大值;(3)若m是关于x的方程：x2+ V5ax=b 2+Vab的一个根，求 m的取值范围.21 . (2014春？泰兴市校级期中)如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足 AE=DF .连接CF交BD于G,连接BE交AG于H .已知正方形 ABCD的边长为4cm ,解决下列问题:(1 )求证：BEX AG;(2)求线段DH的长度的最小值.22 .已知：如图，AB是。0的直径，在 AB的两侧有定点 C和动点P, AB=5 , AC=3 .点P在AB上

9、运动(点P不与A, B重合)，CP交AB于点D,过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点 Q .(1)求/P的正切值；(2)当CP± AB时，求 CD和CQ的长；(3)当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时 CQ的长.23 . ( 2013?日照)问题背景:如图(a),点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B',连接AB'与直线l交于点C,则点C即为所求. B(1)实践运用:如图(b),已知，00 的直径CD为4,点A在。0ACD=30 °B，为弧AD的中点,P为直径CD上一动点,则B

10、P+AP的最小值为(2)知识拓展:AB左侧半圆上的动点，过点 P作直线l的垂线，垂足为 C, PC与。0交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x (2vx<4).(1)当x=3时，求弦PA、PB的长度;2(2)当x为何值时，PD?CD值最大？最大值是多少?25、如图，在等腰 RtAABC中，/ C=90 AC=BC=4 , D是AB的中点，点 E在AB边上运动(点 E不与点 A重 合)，过A、D、E三点作。O,。交AC于另一点F,在此运动变化的过程中， 线段EF长度的最小值为 .26、如图，线段 AB=4 , C为线段AB上的一个动点，以 AC、BC为边作等边 ACD和等边ABCE,。外

11、接于CDE,则。半径的最小值为（）.D. 2A.4B空C.旅3227、如图，已知直角 AOB中，直角顶点 O在半彳5为1的圆心上，斜边与圆相切，延长 AO, BO分别与圆交于 C, D.试求四边形 ABCD面积的最小值.初中数学组卷圆的最值问题参考答案与试题解析选择题（共7小题）C为第1 . （2014春？兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3, 0）,点B为y轴正半轴上的一点，点一象限内一点，且 AC=2，设tan / BOC=m,则m的取值范围是（A. m> OB.C.【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义.根据勾【分析】C在以A为圆心，以2为半径的

12、圆周上，只有当 OC与圆A相切（即到C点）时，/ BOC、,即可求股定理求出此时的 OC,求出/ BOC=Z CAO,根据解直角三角形求出此时的值，根据tan / BOC勺增减性,出答案.【解答】解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当 OC与圆A相切（即到C点）时，/BOC、,AC=2 , OA=3 ,由勾股定理得：OC=。,. / BOA=/ ACO=90 ° , ./ BOC+Z AOC=90 ° , / CAO+Z AOC=90 ./ BOC=/ OAC, tan / BOC=tan /随着C的移动，/BO»越大, c在第一象限, .C不到x轴点,即

13、/ BOCv 90 ° ,tan / BOCS,2故选B.的变化范围是解此题OC【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定/关键，题型比较好，但是有一定的难度.2. （ 2013?武汉模拟）如图/BAC=60，年修检0与/ BAC勺两边相切，P为。0上一动点，以P为圆心,切线的性质.【考点】D、E两点，连接DE,则线段DE长度的最大值为（计算题.连接OM连接AO并延长，与圆O交于P点，当AF垂直于ED时，线段DE长最大，设圆,PD,由对称性得到 AF为角平分线，得到/芳居D度，根据切线的性质得到O与AB相切于点M ,OM垂直于AD ,在直角三角形AOM

14、中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO的长，由AO+OP求出AP的长，即为圆P的半径，由三角形AED为等边三角形，得到DP为角平分线，在直角三角形PFD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出 PF的长，再利用勾股定理求出 FD的长，由DE=2FD求出DE的长，即为DE的最大值.【解答】 解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆。交于P点，此时线段ED最大，连接OM , PD,可得F为ED的中点，. / BAC=60 AE=AD ,. AED等边三角形，A西角平分线，即/FAD=30。，在 Rt AOM中,OM=1 , / OAM=30 ° ,OA=2 ,PD=PA=

15、AO+OP=3 ,在 Rt PDFp, / FDP=30 PD=3 ,_ 3pf£,2根据勾股定理得：FD= ,贝U DE=2FD=3 Vs.故选D【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.3. （2014?武汉模拟）如图，P为。0内的一个定点，A为。0上的一个动点，射线 AP、AO分别与。0交于B、C两点.若。0 的半径长为3, OP= VS,则弦BC的最大值为（A. 2V3 B. 3 C.遥 D. 3&【考点】 垂径定理；三角形中位线定理.【分析】当OP，AB时，弦BC最长，根据三角形相似可

16、以确定答案.【解答】 解：当OPLAC时，弦BC最长,又 AC1直径， ./ CBA=90 ° ,所以 APOA ABC,AO OP 1 1-=AC BC 2又 op=，,BC=2日.【点评】本题考查了直径所对的圆周角是90 0这一性质的应用，以及如何取线段最值问题的做法，用好三角形相似是解答本题的关键.4.（ 2015?黄陂区校级模拟）如图，扇形 AOD中，/ AOD=90 ° QA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点 A和D重合），PQ，OD于Q,点I为 OPQ勺内心，过 O, I和D三点的圆的半径为r,则当点PA. 0<r<3 B. r=3 C. 3vrv

17、3& D. r=3 花【考点】三角形的内切圆与内心.【分析】 连 OI, PI, DI,由 OP的内心为 I,可得到/PIO=180 ° -Z IPO -Z IOP= 1(80 H OP+Z OPH)2=135 ° ,并且易证OPI ODI ,得到/ DIO= / PIO=13施以O眈物薇，并且所对的圆周角为135 °的O=180段劣弧上；过 D、I、O三点作。 O',如图，OD,O'O,在优AO取点P',加'D,P'O,可得/DP'-135 ° =45 ° ,得/ DO' O=9

18、0 ° 吏O' O=3【解答】 解：如图，连 OI, PI, DI ,. OPH1内心为I, ./ IOP= / IOD , / IPO= / IPH , ./ PIO=180。-/ IPO -Z IOP=1延 HOP+Z OPH)而 PH± OD,即/ PHO=90 ° , ./ PIO=180 J(/ HOP+Z OPH) =180180 ° - 90 ° )=135 ° ,ww在 OPIOD 中，10=10，ZP0.I=ZDPI,QDWP . OPIOAISX, ./ DIO= / PIO=135所以点I在以OD为弦，并

19、且所对的圆周角为135。的一段劣弧上;过D、k O三点作。 O',如图，电 D, O' O,在优弧DO取点P',加'D, P' 0, . / DIO=135 ° , ./ DP' O=180- 135 ° =45 ° ,/ DO' O=90 ° OD=6 ,OO，=DO,甫，的值为3近.故选：D.A 一【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键.5. （2010?苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为 （2, 0）、（0, 2）, OC的圆心坐标为

20、（-1, 0）,半径为1.若D是GK上的一个动点，线段 DA与y轴交于点E,则 ABE积的最小值是（）A. 2B. 1 C. 2- D. 2-22切线的性质；坐标与图形性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质.压轴题；动点型.由于OA的长为定值，若 AB的面积最小，则BE的长最短，此时AD与。0相切；可连接CD ,在Rt ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到4ADCR；易证得AEOA ACD,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出白饮OE,进而可得出禾及OBAOE勺面积差，由此得解.AB轴积最小，则 AD与GK 相切，连接 CD,则CD± AD;Rt AC砰,CD=1

21、,AC=OC+OA=3由勾股定理，得：AD=2 二;.Saac= -AD?CD=花;2易证得 AOEA ADC,2_2=.1=2'.SAA0ESAADC L 42即 Sa aoe= Sa adc=三；2X2当=2号22Sa abeS aob- Sa ao= x另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单!故选：C.面积【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出 最小时AD与GK的位置关系是解答此题的关键.6. （2013?市中区模拟）如图，已知 A、B两点的坐标分别为（8, 0）、（0, -6）, OC的圆心坐标为（0, 7）,半径为5.

22、若P是GK 上的一个动点，线段 PB与x轴交于点D,则 ABD积的最大值是（）【考点】一次函数综合题.【分析】当直线BP与圆相切时，ABD积最大，易证OBDs PBC,根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OD的长，则AD的长度可以求得，最后利用三角形的面积公式即可求解.【解答】解：当直线BP与圆相切时，ABD积最大.连接 PC,贝U/ CPB=90 ° ,在直角BCP, BP= :-_ p -展自一 5工=12 . . / CPB=90 ° . ./ DOB=Z CPB=90 °又. / DBP=Z CBP, . OBDA PBC,.0D_ 0B_ 6 1.；=

23、 P= I：="5OD=zPC=.22621AD=OD+OA=q+8=今,22 .Szab=±AD?OB= AW* 6=31士.22 22故选B.的面积最大的条网 关键.【点评】本题考查了切线的性质，以及相似三角形的判定与性质，理解7. （ 2013?枣庄）如图，已知线段 OA交。0于点B,且OB=AB，点P是。0上的一个动点，那么/值是（）A. 90 ° B. 60 ° C. 45 ° D. 30 °【考点】切线的性质；含30度角的直角三角形.OA=2OP ,【分析】当AP与。0相切时，/ OAP有最大值，连结OP,根据切线的性质得

24、 OP，AP,由OB=AB然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到此时/的度数.OAP【解答】 解：当AP与。0相切时，/OAP最大值，连结 OP,如图，贝U OP± AP, OB=AB,OA=2OP , ./ PAO=30 ° .故选D.30度的直角三角形三边的关系.【点评】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了含.填空题（共12小题）8. （ 2013?武汉）如图，E, F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足 AE=DF .连接CF交BD于点G,连接【考点】正方形的性质.2,则线段DH长度的最小值是 A 1【专题】压轴题.【分析】 根据正

25、方形的性质可得 AB=AD=CD , / BAD=/ CDA, / ADG=Z CDG,然后利用“边角边”证明A和 DC全等，根据全等三角形对应角相等可得/1=/ 2,利用“SA和公证CDGT等ADG居全等三角形对应角相等可得/ 2=/ 3,从而得到/1=/ 3,然后求出/AAHB=90TQ,联接OH、OD ,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH= AB=1 ,利用勾股定理列式求出OD,然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小.【解答】解：在正方形 ABCD 中，AB=AD=CD , / BAD= / CDA, / ADG=Z CDG,在 ABED DCF

26、ABXD士 NBAD=/CDA,廉二DF . ABEA DCFS 返，1= Z 2, 在 ADG 口 CDGKADXD，ZADG=ZCDG , t DGRG . ADGA CDAS）,./ 2= Z 3,，/ 1= Z 3 , / BAH+ Z 3= Z BAD=90 ° , . / 1+ / BAH=90 ° , ./ AHB=180- 90 ° =90 ° ,取AB的中点O ,连接OH、OD , 贝U OH=AO= -AB=1 ,2在 Rt AO邛，OD= 7aO+AD=y+22=娓， 根据三角形的三边关系，OH+DH >OD, 当O、D、H三

27、点共线时，DH的长度最小，最小值=OD - OH=巫1T.（解法二：可以理解为点 H是在Rt AHB,AB直径的半圆 藤上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小） 故答案为：V5- 1 .【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,三角形的三边关系，确定出 DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点.9. （ 2015?黄陂区校级模拟）如图，在 Rt AB（CP, A ACB=90 AC=4 , BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2 , M为BD的中点，在 D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是售VCM工2L【考点】轨迹

28、.【分析】作AB的中点E,连接EM、CE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在CEM据三边关系即可求解.【解答】解：作AB的中点E,连接EM、CE.在直角 ABC, ab= qac?+bc 2= Jq2+3 2=5，.E是直角ABC边AB上的中点,ce4ab=22,M是BD的中点，E是AB的中点，MEAD=1 .2:依' CEM, 上1CM上+1 ,即上v CM V.2222故答案是：-< CM（工.22【点评】 本题考查了轨迹，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.10. （ 2012?宁波）如图，MBC

29、BAC=60 ° , / ABC=45B=2近,D是线段BC上的一个动点，以 AD为直径画。0分别交AB, AC于E, F,连接EF,则线段EF长度的最小值为例 .【考点】 垂径定理；圆周角定理；解直角三角形.【专题】压轴题.【分析】由垂线段的性质可知，当 AD为4 ABC勺边BC上的高时，直径 AD最短，此时线段EF=2EH=20E?sin / EOH=20E?sin60 ° ,因此当OE®短日EF 最短，连接 OE, OF ,过 O 点作 OHI± EF ,垂 足为H,在Rt AD冲，解直角三角形求直径 AD ,由圆周角定理可知/=&OHEO

30、F=/ BAC=60 ° , Rt EOH中，解直角三角形求 EH,由垂径定理可知 EF=2EH .【解答】 解：由垂线段的性质可知，当 AD为/ ABC勺边BC上的高时，直径 AD最短，如图，连接 OE, OF,过O点作OH, EF,垂足为H,.在 Rt AD冲，/ ABC=45 AB=2 /，AD=BD=2 ,即此时圆的直径为 2,由圆周角定理可知/EOH=EOF=/ BAC=60 ° ,2在 RtEOHK EH=OE?sin / EOH=15| =g22由垂径定理可知 EF=2EH= V3.故答案为：加.【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用.

31、关键是根据运动变化，找出满足条件的最 小圆，再解直角三角形.11 . （ 2015?峨眉山市一模）如图，已知直线 l与。0相离，OA，干点A, OA=10 , OA与。0相交于点P, AB与。0相切于点B, BP的延长线交直线l于点C.若。0上存在点Q,使 QAC以AC为底边的等腰三角形，则半彳至r的取值范围是： _2巡& r且0.【考点】 直线与圆的位置关系.【分析】首先证明AB=AC，再根据已知得出 Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线 MN，作OE，MN, 求出OEvr,求出r范围即可.【解答】解：连接OB.如图1 , A阴。0 于 B, OA± AC, .

32、/ OBA=Z OAC=90 ° , ./ OBP+Z ABP=90 ° , / ACP+/ APC=90 ° ,OP=OB, ./ OBP=Z OPB,. / OPB=/ APC,ACP= Z ABC,AB=AC ,作出线段AC的垂直平分线 MN ,作OE± MN,如图 2,. OE=|AC= |AB=1j02 _又圆O与直线MN有交点，OE=17102 二工2V r ,JlO2 _ t " 2r ,即：100 r2< 42,.i220 ,r >/5.OA=10 ,直线l与。0相离，r 40 ,【点评】本题考查了等腰三角形的性质和

33、判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位 置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力.本题综合性比较强，有一定的难度.CA、12 . （ 2013?长春模拟）如图，在4 中，ABC C=90 AC=12 , BC=5 ,经过点 C且与边AB相切的动圆与CB分别相交于点P、Q,则PQ长的最小值为-13一【考点】切线的性质；垂线段最短；勾股定理.【分析】 过C作CD± AB于D ,在 ABC,由勾股定理求出 AB=13 ,由三角形面积公式求出CD噜CD为过C点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是6013,求出PQ为圆的直径即可.【解答】解：过C作

34、CD± AB于D ,在 ABCK / C=90 AC=12 , BC=5 ,由勾股定理得：AB=13 ,由三角形面积公式得:S= -ACX BCABX CD,22CD- 60CD=,13当CD为过C点的圆的直径时，此时圆的直径最短，是13'/ BCA=90PQ为圆的直径,即此时PQ的长是旗,故答案为：骂.【点评】 本题考查了勾股定理，三角形面积，圆周角定理，垂线段最短等知识点的应用，关键是求出圆的直径.13. （2013?陕西）如图，AB是。0的一条弦，点 C是。0上一动点，且/ ACB=30 ° E、点分别是 AC、BC的中点，直线EF与。0交于G、H两点.若。0

35、的半径为7,则GE+FH的最大值为10.5【考点】圆周角定理；三角形中位线定理.【专题】压轴题.【分析】由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF=-AB=3.5为定值，则GE+FH=GH -2EF=GH -3.5,所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值.而直径是圆中最长的弦，故当GH为。0的直径时，GE+FH 有最大值 14-3.5=10.5 .【解答】 解：当GH为。0的直径时，GE+FH有最大值.当GH为直径时，E点与O点重合,ACtk是直径，AC=14 .一/ ABC直径上的圆周角， ./ ABC=90 ° , / C=30 ° , 1 AB=

36、AC=7 . 点E、F分别为AC、BC的中点，EF±AB=3.5 ,2GE+FH=GH EF=14 3.5=10.5故答案为：10.5 .GH的位置是解题的关键.【点评】 本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度.确定14. （2013?咸宁）如图，在Rt AO时,OA=OB=3 近,00的半径为1,点P是AB边上的动点， 过点P作。0的一条切线PQ （点Q为切点），则切线PQ的最小值为 2员 .【考点】切线的性质；等腰直角三角形.【专题】压轴题.【分析】首先连接OP、OQ ,根据勾股定理知 PQ2=OP2-OQ2,可得当OP, AB时，即线段PQ最短，然后由勾 股

37、定理即可求得答案.【解答】解：连接OP、OQ .PQOO的切线,OQ± PQ;根据勾股定理知 PQ2=OP 2- OQ2,当PO± AB时，线段PQ最短,.在 R7AO冲,OA=OB=3 近,AB=/2OA=6 ,OP赍3pq=Vop2 - o q 2=梦 - 1 2=2 迎故答案为：2 '：【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO± AB时，线段PQ最短是关键.15. (2013?内江)在平面直角坐标系xOy中，以原点。为圆心的圆过点 A (13, 0),直线y=kx - 3k+4

38、与。0交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为24 .【考点】一次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】 根据直线y=kx - 3k+4必过点D (3, 4),求出最短的弦 CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点 。为圆心的圆过点 A (13, 0),求出OB的长，再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.【解答】 解：,直线 y=kx - 3k+4=k (x 3) +4 , k X - 3) =y - 4 ,k有无数个值，x -3=0 , y 4=0 ,解得 x=3 , y=4 ,，直线必过点D (3, 4),最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，点D的坐标是（3,4）,

39、OD=5,以原点。为圆心的圆过点 A （13, 0）,，圆的半径为13,OB=13 ,BD=12 ,BC勺长的最小值为24 ;【点评】 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置.16. （2011?苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点。为圆心，2为半径画。 OP是。0是一动点且P在第一象PM内，过 P作。0切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.则线段AB的最小值是 4,.【考点】切线的性质；坐标与图形性质.是PCI三角形，有 OPVOC,所以【分析】如图，设AB的中点为C,连接OP,由于AB是圆的切线，故4 当OC与O

40、P重合时，OC最短;【解答】解：（1）线段AB长度的最小值为4, 理由如下: 连接OP, ABUOO 于 P,OP± AB,取AB的中点C,AB=2OC ;当OC=OP 时，OC最短, 即AB最短,此日AB=4 .3【点评】 本题利用了切线的性质，等腰直角三角形的性质求解，属于基础性题目.17. （2015秋？江阴市校级期中）如图，O0 与正方形 ABCD的两边AB、AD相切，且DE与。0相切于E点.若正万形 ABCD的周长为28 ,且DE=4 ,则sin / ODE=_.5AD臼BC【考点】切线的性质；正方形的性质.【分析】先证得四边形 ANOM 是正方形，求出AM长，根据勾股定理

41、求得 OD的长，根据解直角三角形求出即可.【解答】 解：设切线AD的切点为M ,切线AB的切点为N ,连接OM、ON、OE , 四边形ABCD是正方形，正方形 ABCD的周长为28 ,AD=AB=7 , / A=90 ° , 圆。与正方形 ABCD的两边AB、AD相切， ./ OMA=Z ONA=90 ° =/ A,OM=ON,，四边形ANOM是正方形， AD和DE与圆O相切，OE± DE,DM=DE=4 ,AM=7 4=3 ,OM=ON=OE=3 ,在 RTA ODM中，OD= 岛DM% ， OE=OM=5 , .sin / ODEM故答案为丁.AM长和得出【点

42、评】 本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是求出DE=DM .18. （2014春？兴化市校级月考）如图所示，已知 A （1, yi）, B （2, y2）为反比例函数y=1图象上的两点，动点P （x, 0）在x轴正半轴上运动，当线段 AP与线段BP之差达到最大时，点 P的坐标是（3, 0）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；三角形三边关系.【专题】计算题.【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征确定A点坐标为（1,1）, B点坐标为（2,。），再利用待定系数法确定直线AB的解析式为y= -x+-1,然后根据三角形三边的关系得

43、到 |PA- PB| & AB当点P为直线AB与x轴2 2的交点时，取等号，则线段 AP与线段BP之差达到最大，然后确定直线y=-x+4与x轴的交点坐标即可.【解答】解：把A （1, y1），B （2, y2）代入y=J得y1=1 , y2=£,则A点坐标为（1,1）, B点坐标为（2, J,设直线AB的解析式为y=kx+b ,把 A (1, 1), B (2, J)代入得k+b=l解得.2k+b=-zi 3所以直线AB的解析式为y=-物/ 因为 |PA- PB| 工 AB,所以当点P为直线AB与x轴的交点时，线段 AP与线段BP之差达到最大,把y=0代入y= x+苣得x+=

44、0 ,解得x=3 ,2 22 2所以P点坐标为（3,0）.故答案为（3,0）.【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=- （k为常数，kw0）的图象是双曲线，图象x上的点（x, y）的横纵坐标的积是定值 k,即xy=k .19 . （ 2015?泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的。0 上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点 C作CP, AB于点P,若CD=3 , AB=8 , PM=l ,则l的最大值是4 .【考点】 垂径定理；三角形中位线定理.【分析】 当CD/ AB时，PM长最大，连接 OM , OC,得出矩形 CPOM ,推出PM=OC

45、 ,求出OC长即可.【解答】 解：法：如图：当 CD/ AB时，PM长最大，连接 OM , OC, CD/ AB, CP± CD,CP± AB, M为CD中点，OM过O,OM± CD, ./ OMC=Z PCD=Z CPO=90 ° , 四边形CPOM是矩形，PM=OC,OO 直径 AB=8 ,，半径OC=4 ,即 PM=4 ,故答案为：4 .连接PM ,则法：连接CO, MO ,根据/ CPO=Z CM0=90。，所0 M , O, P,四点共圆，且 CO为直径PM为。E的一条弦，当 PM为直径时PM最大，所以 PM=CO=4 时PM最大.即PMmax

46、=4【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的 目比较好，但是有一定的难度.CD的位置，题三.解答题(共5小题)20. ( 2013?武汉模拟)如图，在边长为1的等边 OAB,以边AB为直径作。D, O为圆心圆O, C为半圆AB上不与 A、B重合的一动点，射线 AC交。0于点E, BC=a , AC=b .(1)求证：AE=b+ J5a;(2)求a+b的最大值；(3)若m是关于x的方程：x2+ V3ax=b 2+ VSab的一个根，求 m的取值范围.OA长为半径作【考点】圆的综合题.【分析】(1)首先连接BE,由 OAB等边三角形，可得/AOB=60

47、 ; 又由圆周角定理，可求得勺度数，又由AB为。D的直径，可求得 CE的长，继而求得 AE=b+、际a ;(2)首先过点 C 作 CH± AB 于 H,在 Rt AB冲,BC=a , AC=b , AB=1 ,可得(a+b )2=a2+b 2+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH< 1+2AD=1+AB=2 ,即可求得答案；(3)由x2+ V5ax=b 2+V3ab ,可得(x-b) (x+b+ V3a) =0 ,则可求得x的值，继而可求得 m的取值范围.【解答】解：(1)连接BE,. OAB等边三角形， ./ AOB=60 ° , ./ AEB=30 &

48、#176; ,AB为直径， ./ ACB=Z BCE=90 ° , BC=a ,BE=2a ,CE= 、a,AC=b ,AE=b+V3a;(2)过点 C 作 CH± AB 于 H ,在 Rt AB,BC=a , AC=b , AB=1 ,a2+b 2=1 ,0 11 Sa ab= jAC?BC= 'AB?CH ,22AC?BC=AB?CH ,(a+b) 2=a2+b 2+2ab=1+2ab=1+2 CH?AB=1+2CH < 1+2AD=1+AB=2,a+b故a+b的最大值为V2,(3) x2+ V3ax=b 2+ V3ab ,x2 - b 2+ V3ax -

49、 V3ab=0 ,(x+b ) (x - b) + 近a (x - b) =0 ,(x-b) (x+b+ V3a) =0 ,x=b或 x= - ( b+ V5a),当 m=b 时，m=b=AC < AB=1 ,0<m < 1 ,当 m= ( b+ V3a)时，由(1)知 AE= 一 m ,又 ABv AEW 2AO=2 ,- 1 < - m< 2 ,2 < m v 1 .【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法.此题难度较 大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.21 . (2014春？泰兴市校级期中)如

50、图，E、F是正方形 ABCD的边AD上的两个动点，满足 AE=DF .连接CF交BD于G,连接BE交AG于H .已知正方形 ABCD的边长为4cm ,解决下列问题:(1)求证： BEX AG;(2)求线段DH的长度的最小值.【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.ABE【分析】(1)根据正方形的性质可得 AB=AD=CD , / BAD=Z CDA,/ ADG=Z CDG,然后利用“边角边”证明和 DC全等，根据全等三角形对应角相等可得/利用2迦t边”证明禾ADGCDG:等，根据全等三角形对应角相等可得/2=/ 3,从而得到/1=/ 3,然后求出/AHB=90。，再根据垂直的定义证明即可

51、;(2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取 AB的中点O,连接OH、OD ,然后求出OH=1AB=1 ,2利用勾股定理列式求出 OD,然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小.【解答】(1)证明：在正方形 ABCD 中，AB=AD=CD , / BAD= / CDA, / ADG=Z CDG,在 AB卸 DCFK'AB=CD ZBAD=ZCDA=90" ,”二DF . ABEA DSAS 返，1= / 2,在 ADG 口 CDGKADXD士 NADG=/CDG=450 ,lDG=DG . ADGA CDSAS),2= / 3,，/ 1= Z

52、 3 , / BAH+ Z 3= Z BAD=90 ° ,.1+ Z BAH=90 ° , ./ AHB=180- 90 ° =90 ° , BEX AG;(2)解：如图，取 AB的中点O,连接OH、OD ,贝U OH=AO= -AB=2 ,2在 Rt AO邛，OD= 0A2+AD2=*+产2 在,根据三角形的三边关系，OH+DH >OD,当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，DH的最小值=OD - OH=2 泥 -2 .A E F n【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边

53、关系，确定出 DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点.22 .已知：如图，AB是。0的直径，在 AB的两侧有定点 C和动点P, AB=5 , AC=3 .点P在AB上运动(点P 不与A, B重合)，CP交AB于点D,过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点 Q .(1)求/P的正切值;(2)当CP± AB时，求 CD和CQ的长;(3)当点P运动到什么位置时，【考点】圆的综合题.CQ取到最大值？求此时 CQ的长.Q(1)先根据圆周角定理得出/【分析】OACB=90,由勾股定BCW朕，再根据圆周角定理得出/A=Z P,在锐角三角函数的定义即可得出结论;(2)三角形的面积公式求出/

54、A 的正切值,故可得出 CD的长，再由垂径定理求出 PC的长，由(1)中/P的正切值即可得出CQ的长;(3)由相似三角形的性质可得出ABCA PQ遇茂昭出故可得出 CQ=BC.PCpc 故当pc是。0Be CQAC 3【解答】 解：(1) AtBlOO的直径， ./ ACB=90 ° , AB=5 , AC=3 ,bc=/aB2 - AC2T5, -32=4 ,tan / AH/A与/P是同弧所对的圆周角，tan / P=tantA=(2) Rt ABC AC=3 , BC=4 , AB=5 ,.iACBC 3X4 12 CD=, AB 55CD± AB,的直径时CQ取得最大值，再把 AB的长代入进行计算即可.AB± CD,PC=2CD=2 xl±=i,5 5CQ=PC?tan / 磔x生丝5 3 5(3) PCX CQ,/ PCQ=90 ° ,AB是。0的直径, ./ ACB=90 ° , ./ PCQ=/ ACB=90 . ABCA PQC,BC CQ,cT= Fc, 当PC是。0的直径时CQ最长,“4 L 20 Corn长=