第2章离散时间系统变换域(4)

1、北京航空航天大学204教研室1 2.5 LTI系统幅相特性分析n典型频响的LTI系统有哪几类？n典型频响的LTI有些什么样的具体表现形式？n其特性和作用是什么？n一般一般来说，关于幅度特性的了解并没有给出任何有关相位的信息；来说，关于幅度特性的了解并没有给出任何有关相位的信息；反之亦然。反之亦然。n然而，然而，有理系统有理系统幅度和相位特性间存在制约幅度和相位特性间存在制约n如果频率响应的幅度特性已知，与其有关的相位特性仅有如果频率响应的幅度特性已知，与其有关的相位特性仅有有限种选择有限种选择。n如果零极点个数和相位特性已知（线性相位），除了幅度加权因子外，如果零极点个数和相位特性已知（线性相

2、位），除了幅度加权因子外，也仅有有限个幅度特性可供选取。也仅有有限个幅度特性可供选取。n在某些特殊的条件下（如最小相位），幅度与相位特性在某些特殊的条件下（如最小相位），幅度与相位特性一一对应一一对应。幅度特性约束下的系统函数n给定频率响应的给定频率响应的幅度平方幅度平方特性下特性下n尽量使由幅度平方响应演化出来的尽量使由幅度平方响应演化出来的零、极零、极点在单位圆内外点在单位圆内外皆有皆有n使得总能够选择出一个使得总能够选择出一个物理可实现物理可实现的系统的系统来满足幅度响应的要求。来满足幅度响应的要求。北京航空航天大学204教研室2jezjjjzHzHeHeHeH| )1()()(*)()

3、(*2北京航空航天大学204教研室3 )(zCEx:设由系统幅度响应所引导的设由系统幅度响应所引导的 的零、极点如图所的零、极点如图所示，若系统为常示，若系统为常实实系数线性差分方程所确定的系数线性差分方程所确定的因果稳因果稳定系统定系统，试确定其系统的零、极点。，试确定其系统的零、极点。北京航空航天大学204教研室4n若系统对所有的频率分量的若系统对所有的频率分量的幅度响应幅度响应均为非均为非零恒定值，则该系统即为零恒定值，则该系统即为全通系统全通系统。n幅度响应为：幅度响应为：azazaazazzHap*1*111)(1111| )()(*xxeaeeaeaeaezHeHjjjjjjeza

4、pjapj一、一、 全通系统全通系统北京航空航天大学204教研室5n通常，全通系统就是由上式通常，全通系统就是由上式扩展来的扩展来的：nD(z)为为实系数实系数多项式，所以多项式，所以n全通系统的全通系统的零点与极点呈共轭倒数对关系零点与极点呈共轭倒数对关系。n全通系统是从其幅度响应特性定义，但全通系统是从其幅度响应特性定义，但相位响应却更重要相位响应却更重要。)()(1111)(11*12/ )(11*111111*1zDzDZAzaazzaazzaazAzaazAzHNkkNrNkkkNrkkkNkkkap)()(*jjeDeD)(| )(constAzHjezap实冲激响应系统相位响应n

5、令：令：n群延迟为正值，所以群延迟为正值，所以连续相位具有递减特性。连续相位具有递减特性。北京航空航天大学204教研室6jrea 2)(211)()cos(1)sin(2)(argjjapjaprereHgrdrrarctgeHazazaazazzHap*1*111)(北京航空航天大学204教研室7Zp=0.9Zp=-0.9Zp=0.9Zp=-0.9北京航空航天大学204教研室8n对于高阶因果全通系统而言，由于：对于高阶因果全通系统而言，由于：n同样具有同样具有群延迟为正值群延迟为正值，连续相位，连续相位负递减负递减的特性。的特性。n全通系统在实际中有如下用途：全通系统在实际中有如下用途：n1

6、、用作、用作相位均衡器相位均衡器，对系统相位、群延迟失真进行补偿；，对系统相位、群延迟失真进行补偿；n2、任何因果稳定系统皆可分解为全通系统和最小相位系统任何因果稳定系统皆可分解为全通系统和最小相位系统的级联；的级联； n3、若所设计的系统是非稳定的，可用其交换零、极点，使、若所设计的系统是非稳定的，可用其交换零、极点，使系统系统稳定，稳定，而保证系统的幅度特性不变。而保证系统的幅度特性不变。NijapijapNijapijapeHgrdeHgrdeHeH11)()()(arg)(arg非稳定系统调整为稳定系统北京航空航天大学204教研室9二、 最小相位系统n逆系统：n系统函数为H(z)的LT

7、I系统，其对应的逆系统Hi(z)定义为它与原系统级联后的总系统函数为1，即：Hi(z)=1/H(z)n若原系统是有理系统，则逆系统零极点将分别是原系统极零点；n若原系统和逆系统的频率响应存在，满足北京航空航天大学204教研室10)(/1)(jjieHeH北京航空航天大学204教研室11最小相位系统的由来n对于某些实际问题，要求对于某些实际问题，要求逆系统逆系统也是也是稳稳定和因果定和因果的。的。n对于通信，此要求是合理的，即接收系统对于通信，此要求是合理的，即接收系统是发射系统的逆系统，才能无失真的恢复是发射系统的逆系统，才能无失真的恢复发射信息。发射信息。n系统系统零点和极点都限制在单位圆内

8、零点和极点都限制在单位圆内北京航空航天大学204教研室12nLTI有理系统，其频率响应的幅度特性不能有理系统，其频率响应的幅度特性不能唯一确定该系统。唯一确定该系统。原因何在？原因何在？n稳定、因果性要求并稳定、因果性要求并没有对零点作约束没有对零点作约束n幅度响应平方不能唯一地确定系统函数幅度响应平方不能唯一地确定系统函数n假如某一系统具有给定的幅度特性，则该假如某一系统具有给定的幅度特性，则该系统与任何可系统与任何可选择的全通因子级联将不而不影响它的幅度特性选择的全通因子级联将不而不影响它的幅度特性。n逆向思维逆向思维：n是否任何是否任何因果稳定有理因果稳定有理系统函数都能表示成全通系统函

9、数都能表示成全通系统和某一类基本系统级联的形式？即：系统和某一类基本系统级联的形式？即：)()()(minzHzHzHap北京航空航天大学204教研室13n假设假设H(z)为因果稳定非最小相位系统，为因果稳定非最小相位系统，将有将有r个零点个零点 在单位圆外在单位圆外（ 在单位圆内）在单位圆内）,其余的零、极点其余的零、极点都在单位圆内。都在单位圆内。n在单位圆内的零、极点将构成最小相位在单位圆内的零、极点将构成最小相位系统系统H1(z) ，那么，那么H(z)就能表示成：就能表示成： *1kcz kcrkkczzHzH1*1)1()()(证明：证明：北京航空航天大学204教研室14)(1)()

10、1()()1()()(*1*11*1kkrkkkkrkkczcczczczHczzHzH)()()1 ()()(1)()()1()(1)(min11*11*11*1*1zHzHzcczczczHczczcczczHaprkkkrkkkrkkkkrkkk北京航空航天大学204教研室15n由上面的证明过程可以看出由上面的证明过程可以看出n 1）Hap(z)由单位圆外的零点和其单由单位圆外的零点和其单位圆内的共轭倒数极点组成。位圆内的共轭倒数极点组成。 n 2）Hmin(z)不仅不仅包含包含H(z)中位于单位中位于单位圆内的零、极点，圆内的零、极点，而且而且也包含了与单也包含了与单位圆外那些零点位圆

11、外那些零点镜像镜像到单位圆内的共到单位圆内的共轭倒数零点。轭倒数零点。北京航空航天大学204教研室16n3）可以将最小相位系统位于单位圆内的零）可以将最小相位系统位于单位圆内的零点反射到单位圆外与它们成共轭倒数的位置点反射到单位圆外与它们成共轭倒数的位置上而形成一个非最小相位系统。它们都具有上而形成一个非最小相位系统。它们都具有相同幅度特性。相同幅度特性。北京航空航天大学204教研室17最小相位系统的性质最小相位系统的性质n采用采用“最小相位最小相位”这一术语这一术语专指专指那些不那些不仅仅本身本身是因果和稳定的，并且也有一个是因果和稳定的，并且也有一个因果和稳定因果和稳定的的逆系统逆系统的系

12、统。的系统。n选择这一名词是由于上述定义将导出最选择这一名词是由于上述定义将导出最代表这类系统代表这类系统本质特征本质特征相位性质。相位性质。北京航空航天大学204教研室18n由系统的全通分解知：由系统的全通分解知：n可以进一步得到：可以进一步得到：n全通系统总是使最小相位系统的连续相位减小全通系统总是使最小相位系统的连续相位减小（滞后）（滞后）n对于具有相同幅度响应的所有系统而言，对于具有相同幅度响应的所有系统而言，全部零、全部零、极点在单位圆内的系统实现具有最小的相位滞后极点在单位圆内的系统实现具有最小的相位滞后。 )()()(minzHzHzHap)(arg)(arg)(argminja

13、pjjeHeHeH)(arg)(arg)(arg)(argminminjjjjeHeHeHeH1、最小相位滞后、最小相位滞后北京航空航天大学204教研室19n我们注意到，具有相同幅度响应系统的群延迟为：我们注意到，具有相同幅度响应系统的群延迟为：n由于全通系统的群延迟对于所有的频率皆为正值，由于全通系统的群延迟对于所有的频率皆为正值，所以：所以：n因此在具有相同幅度响应的所有系统中，全部零、因此在具有相同幅度响应的所有系统中，全部零、极点在单位圆内的系统实现具有最小的群延迟。极点在单位圆内的系统实现具有最小的群延迟。)()()(minjapjjeHgrdeHgrdeHgrd)()(minjje

14、HgrdeHgrd2、最小群延迟、最小群延迟北京航空航天大学204教研室20n对于具有相同幅度响应的所有系统，该性质对于具有相同幅度响应的所有系统，该性质包含有两部分内容：包含有两部分内容：n1）初值能量最大，即初值能量延迟最小：）初值能量最大，即初值能量延迟最小：n2）部分能量最大，即部分能量延迟最小：）部分能量最大，即部分能量延迟最小：n最小相位系统的部分能量最集中在最小相位系统的部分能量最集中在n=0周围，周围，也就是说，也就是说，最小相位系统的能量在所有相同最小相位系统的能量在所有相同幅度响应函数的系统中延迟最小，幅度响应函数的系统中延迟最小，也称为最也称为最小能量延迟系统。小能量延迟

15、系统。)0()0(minhhnmnmmhnh02min02)()(3、最小能量延迟、最小能量延迟北京航空航天大学204教研室21)1)()(1minzzzQzHk)()(*1kzzzQzH 1)(*1nqznqzHZnhk 1)(min1minnqznqzHZnhknmnmnmmhmhmhmh022min2020minnmmqjbamqmqjbamq022)( 1 1)(nmmqmqba02222 1)1 (221nkqzjbazk)()1()()()()1()()()()()(1min*11*1minminzQzzzHzzzHzzzzzHzHzHzHkkkkap北京航空航天大学204教研室2

16、2最大能量延迟则发生在全部零点位于单位圆外最大能量延迟则发生在全部零点位于单位圆外的系统，因此该系统也称为的系统，因此该系统也称为最大相位系统最大相位系统。 北京航空航天大学204教研室23信号幅度失真的补偿信号幅度失真的补偿n在信号处理中，若一个信号已经被某个不合要求的在信号处理中，若一个信号已经被某个不合要求的频率响应的频率响应的LTI系统所失真，那么可以用一个系统所失真，那么可以用一个补偿补偿系系统来处理这个统来处理这个失真失真了的信号，如图所示。了的信号，如图所示。n如果能实现如果能实现完全的补偿完全的补偿，就是失真系统的，就是失真系统的逆系统逆系统。n只有当原系统是只有当原系统是最小

17、相位最小相位系统时，系统时，完全的补偿才有可能完全的补偿才有可能。失真失真系统系统补偿补偿系统系统)(ns)(zHd)(nsd)(zHc)(nsc)(zG幅度失真补偿n根据上面的讨论，假定根据上面的讨论，假定Hd(z)是已知的，是已知的，并且近似为一个有理系统函数。并且近似为一个有理系统函数。n选取选取补偿滤波器补偿滤波器为：为：n补偿后总的系统函数：补偿后总的系统函数：n补偿后的系统相当于全通系统，补偿后的系统相当于全通系统，补偿了补偿了幅度的畸变。幅度的畸变。北京航空航天大学204教研室24)()()(minzHzHzHapdd)(1)(minzHzHdc)()()()(zHzHzHzGa

18、pcd作业n5.12n5.14n5.18n5.22北京航空航天大学204教研室25n1.求单位冲激响应n2 共轭反对称序列的幅度和相位特性n3、求h(n-a)的DTFT 北京航空航天大学204教研室26ccjjLPeeH0)(北京航空航天大学204教研室27三、三、 线性相位系统线性相位系统n在设计滤波器和其它系统中，往往希望在设计滤波器和其它系统中，往往希望系统在某一频带范围内具有近似系统在某一频带范围内具有近似恒定的恒定的幅度幅度和和零相位零相位特性，以使信号通过时该特性，以使信号通过时该频带信号频带信号不失真不失真。n但是：但是： n1）对因果系统而言，零相位是几乎是奢）对因果系统而言，

19、零相位是几乎是奢望。望。n2）相位响应使信号在形状上有很大的畸）相位响应使信号在形状上有很大的畸变，即使幅度响应为恒定时亦是如此。变，即使幅度响应为恒定时亦是如此。北京航空航天大学204教研室28Example1:相位响应对信号的影响n双频信号经过实LTI系统)(cos()(cos()()cos()cos()(; 0, 1, 1)(:sup)cos()(),cos()(221121212122221111nnnynnnxAAeHposenAnxnAnxjx1(n)+x2(n)H(jw)y(n)x1(n)H(jw)x2(n)H(jw)y(n)北京航空航天大学204教研室29Example1:相位

20、对信号的影响2*)(70*)(2211w1=0.03w2=0.0570*)(70*)(2211020406080100120140160180200-2-1.5-1-0.500.511.52020406080100120140160180200-2-1.5-1-0.500.511.52北京航空航天大学204教研室30非线性相位响应使信号有很大的波形畸变，即使幅度响应为恒定时亦是如此;线性相位响应在时域上表现的是整个信号的时间平移，信号的波形不发生失真.不考虑幅度响应条件下，线性相位系统即是所要寻找的物理可实现的无失真传输系统n下一步？n如何寻找适合实用要求的线性相位系统？初步认知：北京航空航天

21、大学204教研室31n基本定义：基本定义：n相位响应相位响应n群延迟群延迟n线性相位线性相位-群延迟为常数群延迟为常数deHdeHgrdeHeeHeHjjjjjj)(arg)()()(arg)()()(),()(const一、基本定义一、基本定义北京航空航天大学204教研室32n考虑一个LTI系统，其频率响应为：n相位和群延迟分别如下：n 单位冲激响应为： jjideeH)()()(argjidjideHgrdeHnnnnSanhid)()(sin)()(二、线性相位系统的时域特征二、线性相位系统的时域特征北京航空航天大学204教研室33n对任意输入对任意输入 ,系统的输出为：系统的输出为：n

22、1）若）若 为为整数整数，则有：，则有：n2）若）若 为为非整数非整数实数实数?kknSakxnhnxny)()()(*)()(dn)()(didnnnh)()(*)()(ddnnxnnnxnynnnnSanhid)()(sin)()(群延迟为非整数n系统输出系统输出n相当于对如下模拟信号在相当于对如下模拟信号在nT的采样序列：的采样序列：北京航空航天大学204教研室34)(*)()(*/)()(/)()()(thtxTtTkTtSakTxTkTTtSakxtycckckckknSakxnhnxny)()()(*)()(北京航空航天大学204教研室35北京航空航天大学204教研室36 容易看出

23、，容易看出， 正是序列正是序列 的的重构信号重构信号， 是是频率响应为：频率响应为： 系统的单位冲激响应。系统的单位冲激响应。)(thcTjjceeH)()(nx)(txc 由上面的讨论可以看出，由上面的讨论可以看出，若若LTILTI系统具有随输系统具有随输入频率而相位呈线性变化的特性，那么它将是一入频率而相位呈线性变化的特性，那么它将是一个理想的延迟系统，其中的个理想的延迟系统，其中的 代表了延迟量代表了延迟量。nTtcTtxny| )()(D/CC/DTT)(txc)(nx)(jceH)(ny)(tyc北京航空航天大学204教研室37n上面讨论的是具有全通特性的上面讨论的是具有全通特性的L

24、TI线性相位系统，对线性相位系统，对于更为于更为一般一般的情况：的情况：n如对于线性相位的低通滤波器而言：如对于线性相位的低通滤波器而言：nn n相应的单位冲激响应为：相应的单位冲激响应为：jjjeeHeH)()(ccjjLPeeH0)(nnnnSanhcccLP)()(sin)()(北京航空航天大学204教研室38 由单位冲激响应：由单位冲激响应： 可以得到：可以得到： 如果如果 为整数，则单位冲激响应关于为整数，则单位冲激响应关于 偶对称偶对称；若；若 不为整数，则单位冲激响应关于不为整数，则单位冲激响应关于 不是不是严格意义严格意义上的上的对称，对称，但是仍然是线性相位和恒定群延迟但是仍

25、然是线性相位和恒定群延迟。 nnnnSanhid)()(sin)()()()2()()(nhnhnhnhidididid22北京航空航天大学204教研室39n线性相位的线性相位的概念加以推广概念加以推广是有意义的。是有意义的。n线性相位系统具有许多优点，但是其范畴较窄。线性相位系统具有许多优点，但是其范畴较窄。n现实当中的许多系统不一定满足上面的定义，如现实当中的许多系统不一定满足上面的定义，如滑动平均系统、微分系统等，但均有信号相位不滑动平均系统、微分系统等，但均有信号相位不失真的特性。失真的特性。n广义线性相位系统广义线性相位系统)()()(jjjeeAeH广义线性相位广义线性相位)(je

26、An如果不顾及由如果不顾及由 的正、负交替带来的的正、负交替带来的相位突变相位突变及及 带入的带入的固定相位固定相位，则系统具有恒定群延迟。，则系统具有恒定群延迟。北京航空航天大学204教研室40n线性相位系统的单位冲激响应线性相位系统的单位冲激响应 偶对称，即：偶对称，即：n既然已经将线性相位系统的定义进行了推广，既然已经将线性相位系统的定义进行了推广，那么单位冲激响应就那么单位冲激响应就不一定不一定必须关于必须关于 偶对称偶对称，也可能是其他形式，如奇对称等。也可能是其他形式，如奇对称等。n我们从我们从 及广义线性相位系及广义线性相位系统的定义入手来进行考察。统的定义入手来进行考察。)()

27、(nhnh和)()(nhnhidid奇对称序列的幅相特性？北京航空航天大学204教研室41)()(, )()()(*)()(*)()()()()(HHeHeHnhnheHeHnhjjjj实条件广义线性相位时频关系jjjjeeHnhDTFTeeHnhDTFT)()()()()()()()()(nhnh2/)()()()()(nhnh北京航空航天大学204教研室42n由广义相位定义和DTFT时移特性知：n若A(w)为奇函数,则h(n)奇对称；n若A(w)为偶函数,则h(n)偶对称。jjjjjjeAeeHnhDTFTeAeeHnhDTFT)()()()()()()()()(jjeAeH广义线性相位时

28、频关系结论：n实对称序列必定是线性相位序列；实对称序列必定是线性相位序列；n线性相位序列未必是实对称序列，也未线性相位序列未必是实对称序列，也未必是对称序列。必是对称序列。n奇偶对称序列均可以满足奇偶对称序列均可以满足广义线性相位广义线性相位的要求，扩展了线性相位的适用范围。的要求，扩展了线性相位的适用范围。北京航空航天大学204教研室43北京航空航天大学204教研室44n对对实系统实系统而言，无论狭义线性相位，还是而言，无论狭义线性相位，还是广义线性相位，都要求单位冲激响应序列广义线性相位，都要求单位冲激响应序列对称对称。n如果再要求系统是如果再要求系统是有理有理、因果因果的，的，对称对称性性将意味着将