第四章正态分布与中心极限定理

1、1第四章第四章 正态分布与中心极限定理正态分布与中心极限定理v正态分布正态分布v中心极限定理中心极限定理24.1 正态分布正态分布3正态分布正态分布密度函数密度函数22()221( ),2(0).( ,).xXf xexXXN 若连续型随机变量 的概率密度函数为其中 ，为常数则称 服从参数为 ， 的正态分布，或高斯(Gauss)分布. 记为4正态分布正态分布密度函数图密度函数图)( xfx o性质(1)曲线关于x=对称. (2)当x=时取到最大值. (3)固定,改变，曲线沿Ox轴平移；固定,改变,曲线变得越尖，因而X落在附近的概率越大.5正态分布正态分布分布函数分布函数分布函数分布函数22()

2、21( ),.2txF xedtxR )( xFx o15 .06标准正态分布标准正态分布N(0,1) 221,.2xxex 密密度度函函数数 221,.2xtxedtx 分分布布函函数数 1,.xxxR 性性质质7正态分布与标准正态分布的关系正态分布与标准正态分布的关系2222()22( ,)(0,1).1,21( ),2(0,1).txuxXXNZNZXP ZxPXxP XxedttuP ZxeduxZXN 定理1若，则证的分布函数为令，得由此可知8标准正态分布标准正态分布期望与方差期望与方差 22222222222220,1 ,0,1.110,2212111.22tttttXNE XD

3、XE Ztt dttedteD ZE Ztt dtt edtteedt设则因为9正态分布正态分布期望与方差期望与方差2222,.0,1 ,0,1.,.XNE XD XZXNE ZD ZXZE XEZD XDZD Z 设则事实上，随机变量所以由得10标准正态分布标准正态分布上上分位点分位点 0,1 .01zXNP Xzx dxz 设设对对于于给给定定的的数数 ( () ), ,称称满满足足条条件件的的点点为为标标准准正正态态分分布布的的上上分分位位点点. .常用的分位点常用的分位点1.2821.6451.9602.3262.5763.090 0.10 0.050.025 0.010.0050.0

4、01 z11标准正态分布标准正态分布上上 分位点分位点-2-1120.10.20.30.4z -2-1120.10.20.30.4z/2/2 /2 -z/212标准正态分布标准正态分布上上分位点的性质分位点的性质121211.(2),.（）zzzzz 11111,11.事实上，又因为，由的单调性知：zP XzP XzzzP XzP Xzxzz 212.同理可证：zz13正态分布正态分布有关概率的计算问题有关概率的计算问题2,XN 若12,xx(3)对任意的区间(12xxXP12PxXx21xx ， (1).XxxF xP XxP 1(2).xfxFx则14例例1()50060.(1)560 ,

5、(2)500200 ,(3)0.1,.某种器件的寿命以小时计 服从，的正态分布求求若求XP XPXP Xxx(1)560156050056050016060560500160解P XP XXP 15 111 0.84130.1587. (2)500200150020012005002002005002001606060PXPXPXXP20020016060200101212 16032 10.99960.0008. 16(3)0.1,10.1,50010.1,605000.91.282 ,60要求即要求即需P XxP Xxxx 5001.282,60576.92.676.920.1.由的单调性

6、知，即即当时，才能使xxxxP Xx17例例2 将一温度调节器放置在存储着某种液体的容将一温度调节器放置在存储着某种液体的容器内，调节器定在器内，调节器定在d d，液体的温度，液体的温度X X（以（以计）计）是一个随机变量，且是一个随机变量，且X XN N( (d d,0.5,0.52 2).).(1)(1)若若d d=90=90，求，求X X8989的概率；的概率；(2)(2)若要求保持液体的温度至少为若要求保持液体的温度至少为8080的概率不低于的概率不低于0.990.99，问，问d d至少为多少？至少为多少？19089908990890.50.50.5解 （）所求概率为XP XP 18(

7、 2)1(2)10.97720.0228. (2)800.99800.50.58080110.50.50.58010.991(2.327)( 2.327)0.5802.3270.581.1635.dXddP XPXdddPddd 按题意需求 满足即，亦即，故需19例例3设设X XN N( ( , , 2 2) )， 由(x)的函数表得到：P P- X+=(1)-(-1)=2(1)-1=68.26，P P-2 X+2=(2)-(-2)=2(2)-1=95.44，P P-3 X1.64533.6,NiiNNiiiiNNPXXNNPXPNNNNNNNNN 设能对 位顾客服务，求使得然而，又因，由得，

8、于是即最多只能为33位顾客服务，才能使总服务时间不超过1小时的概率大于0.95. 42例例4.24 加法器在进行加法运算时，根据“四舍五入”的原则对每个加数取整后进行计算.(1)求500个数相加时误差总和的绝对值不超过10的概率.(2)多少个数相加时，可使误差总和的绝对值不超过10的概率大于0.95? (1,2, )0.5,0.5 ,解 以表示第 个加数的取整误差，显然有独立同分布，服从iiXiX inU430,1 12.(1)500,由独立同分布中心极限定理，有iiE XD Xn50050011500150011010101010500 1 12500 1 12500 1 121.550.1

9、551.551.551.5521.5510.8788.iiiiiiiiPXPXXPPX 441(2)100.95.个数相加时，由题意有niinPX11110101012121220 32 320 3由中心极限定理，有nniiiiniiXPXPnnnPnnXn20 320 3220 31. nnn 4520 310.95,20 30.975,20 31.96,312.nnnn 要使2即使也即使从而有故312个数相加时，可使误差总和的绝对值不超过10的概率大于0.95. 46德莫佛德莫佛拉普拉斯定理拉普拉斯定理22(1,2,),(01)1lim,(1)20,1 .(1)ntxnnnnn ppxXn

10、pPxedtnppnXnpNnpp设随机变量X服从参数为的二项分布，则对于任意 ，有即，当 充分大时，随机变量47概率计算公式概率计算公式121221(1)(1)(1).(1)(1)nnnP mXmXnpmnpmnpPnppnppnppmnpmnpnppnpp充分大时，有48近似计算公式近似计算公式12211122.11nP mXmmnpmnpnppnpp 49近似计算公式近似计算公式221112.1121.1nnmnpP XmnppmnpP Xmnpp 50例例4.250.9,1008495 ,90 .某种难度很大的心脏手术的成功率为对个病人进行这种手术，以 记手术成功的人数. 求XPXP X(1)100,0.9 ,849595 1 2 100 0.984 1 2 100 0.9100 0.9 0.1100 0.9 0.1解则XBPX1.832.170.9514. 5190 1 2 100 0.9(2)901100 0.9 0.110.170.5675.P X 52例例4.26 某电视机厂每周生产10000台电视机.它的显像管车间的正品率为0.8，为了能以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品显像管，该车间每周应生产多少只显像管？1,0,解 设随机变量第 只显像管是正品；第 只显像管是次品.nnXn5310.8.且npP X1.,100