小波分析之泛函分析赋范内积空间.

1、赋范线性空间,内积空间范数与赋范线性空间X是实(或复)线性空间，如果对于X中每个元素x，按照一定的法则对应于实数|x|，且满足：|x|0，|x|=0当且仅当x=0;|ax|=|a|x|，a是实(或复)数;|x+y|x| + |y|.则称X是实(或复)赋范线性空间，|x|称为x的范数.范数、距离之间的关系 由每一范数可以导出一距离： 当距离空间满足 (1)是线性空间,(2)(3)时,才可用距离定义范数： ( , ).x yxy),0 ,(),(yxyx(,0)( ,0)axax( ,0).xxCa,b的距离与范数 Ca,b 的约定的距离是由范数决定的.( , )max( )( )a x bf g

2、f xg x max( )a x bff x Lpa,b的距离与范数 对于任实数 Lpa,b表示区间a,b上绝对值的p次幂L可积函数的全体，并把几乎处处相等的函数看成是同一个函数,即 Lpa,b上的距离为其特例为La,b , L2a,b.1 , ( , )( )( ).ppa bf gf xg xdx.)(,)(,dxxfbaLxfbapp, 1pLpa,b的距离与范数 Lpa,b上的距离是由范数决定的.其特例La,b , L2a,b亦然.1 , ( , )( )( ).ppa bf gf xg xdx1 , ( ).pppa bff xdx的距离与范数 表示满足 的实数列(即平方可和数列)

3、的全体， 上的距离是由范数决定的。2l2l21iix ix2l1 22i=1( , )().iix yxy1 22i=1( )ixxBanach空间 若赋范线性空间按距离是完备的，则称为Banach空间. n维Euclid空间Rn是Banach空间. Ca,b是Banach空间. Lpa,b (p1)是Banach空间. 是Banach空间.( , ).x yxy2l按范数收敛(强收敛) 按范数收敛即按范数决定的距离的收敛，又称强收敛.不同范数的等价性 是同一线性空间上的两种不同的范数,若则称 21,21200,nxx12.比强122112若比强，比强，称与等价.线性空间的维数 若线性空间X

4、中存在n 个线性无关的元素e1,e2,en,使得任意的xX都可以唯一的表示为则称e1,e2,en是x的基底，数组x1,x2,xn是x关于基底的坐标，n是线性空间的维数.ni ii=1x =x e ,线性空间的维数 有限维线性空间与Euclid空间是线性同构的. 有限维赋范线性空间上的范数定义是等价的. 有限维赋范线性空间是完备，可分的. 例子：Cka,b是Banach空间Cka,b表示定义在区间a,b上k阶连续可导的函数全体. Cka,b上的范数为. )(max0)(kjjbxaxff赋范线性空间上的算子 T是由赋范线性空间X中的某个子集D到赋范线性空间X1中的一个映射,则称T 是算子. D是

5、T 的定义域，记为D(T)， 像集y | y=Tx, xD是T 的值域,记为N(T). 若T满足可可性：T(x+y)=Tx+Ty次性：T(ax)=aT(x)则称T为线性算子线性算子. 若存在正数M使得对于一切xD(T)，有|Tx| M|x|，则T是有界算子有界算子.线性算子的性质 线性算子若在某一点处连续，则也在定义域上处处连续. T是有界线性算子等价于T是连续线性算子. T有界的充要条件是T把任一有界集映成有界集. 有界线性算子空间 X 和X1都是赋范线性空间,所有从X到X1的有界线性算子形成的集合记为B(X, X1). 在B(X, X1)上定义可法和数乘运算： (T1+T2)x=T1x+T

6、2x (T1,T2 B(X, X1)，xX). (aT)x=a(Tx) (TB(X, X1)，a是实数).有界线性算子空间 定理： B(X, X1)按照以上定义的线性运算是一个线性空间,且在如下定义的算子范数下构成赋范线性空间. TxxTxTxx10supsup有界线性算子空间 定理： 若X是Banach空间，则B(X, X1)也是Banach空间. T为线性算子，则T有界的充要条件为有界.T共鸣定理 X 和X1都是赋范线性空间, 且X是Banach 空间. Tn是从X 到X1的线性算子序列, 则对任意xX，Tnx有界的充要条件为 有界。(证明从略) 此定理又称为一致有界定理. 共鸣定理的意义

7、即:对于线性算子序列，若代入每一个值都有界，则有界线性算子序列本身有界。 nT有界线性算子空间 定理： 可逆有界线性算子的逆算子仍是线性算子. 有限维赋范线性空间的一切线性算子都有界(连续).泛函 当算子的像集为实（或复）数域时，称算子为泛函泛函. 类似有线性泛函线性泛函、连续泛函连续泛函、有界线性泛有界线性泛函函等. 泛函的例： 赋范线性空间上的范数是一个泛函,且是连续泛函,但不是线性泛函,其算子范数为1,故为 有界泛函.泛函的例 在Ca,b上,对每一函数取定积分的运算是一有界线性泛函. badxxfxfC)()(泛函的性质 f是线性泛函, f有界的充要条件是f的零空间为完备子空间 . 对于

8、Rn 上的任一有界线性泛函f，必存在唯一的 使得对任何都有0)(xx f),(21nyyyy12( ,),nxx xx1122( ).nnxx yx yx yf泛函的性质(延拓定理) E为赋范线性空间，L为E的线性子空间，则L上的任一有界线性泛函f都可以延拓到全空间E上，且保持范数不变.元素序列的不同的收敛方式 按范数收敛即按范数决定的距离的收敛，又称强收敛,记为 称元素序列 xn弱收敛于元素x，若对任一有界线性泛函f 都有且记为.)(强或强xxxxnn. 或弱弱nnxxxx ()(nf(x )f x),算子的不同收敛方式 Tn,TB(X, X1) (n=1,2,) 若|Tn-T|0,称Tn按

9、算子范数收敛于T (或称Tn一致收敛于T),记为 若对于任意的x，均有|Tnx-Tx|0，则称Tn强收敛于T ,记为 . 一致nTT. 强nTT算子的不同收敛方式 Tn,TB(X, X) (n=1,2,) 若对每个xX及X上的任一有界线性泛函f，都有 则称算子序列弱收敛于T ,记为(nf(T x)f x),. 弱nTT不同收敛方式的性质 (1)上述各种收敛序列的极限都是唯一的. (2)各种序列若强收敛则必弱收敛，反之不一定. (3)算子序列若一致收敛(依范数收敛)，则必强收敛.共轭空间 若X1是实数（或复数）域R，则B(X, X1)称为共轭空间，记为X*X*是定义在X上的所有有界线性泛函所构成

10、的赋范线性空间，泛函f X*的范数是算子范数.实数（或复数）域R是完备的，因此共轭空间必定是Banach空间.内积空间 X 是定义在实(或复)数域K上的线性空间，若对于X中中 任意一对有序元素x,y, 恒对应数域K的值(x, y)，且满足: (x, x)0，且(x, x)=0的充要条件是x=0; (ax, y) = a(x, y); (x+y, z) = (x, z) + (x, z).则称X为内积空间，(x, y)称为x, y的内积. ;x)(y,y)(x,内积、范数、距离之间的关系 由内积导出的范数,距离： 注：有的范数并没有导出它的内积。( , );( , )(,).xx xx yxy

11、xyHilbert空间 完备的内积空间称为希尔伯特希尔伯特(Hilbert)空间空间. Hilbert空间必为Banach空间内积空间的性质 定理(Cauchy-Schwarz不等式) 在内积空间X上，证明 当 时，欲证不等式显然成立。当 时,因 故对任何实数 有 特别地,取 代入上式即得2,( , )( ,)( , ) .u vu vu uv v任，有X20(,)( , )( , )( , )( , ).uv uvu uu vu vv v( , ) ( , )u vv v 0v( , )0,v v 0v n 维实(或复)Euclid空间Rn 全体n 维实向量的集合在向量可法、数乘下为n维线性

12、空间. Rn且且为距离空间,赋范线性空间,内积空间, Hilbert空间. Rn的的内积为:., 2 , 1,),(21niRaaaaRinn12121 122(,),( ,),( , ).nnnnxa aayb bbx ya ba ba bCa,b没有导出其上范数的内积 Ca,b 的约定的范数没有内积可以导出, 故Ca,b 不为内积空间.max( )a x bff x Lpa,b上的范数与内积 对p2, Lpa,b上的范数没有内积可以导出, 故p2时, Lpa,b不为内积空间. 仅当p=2时,L2a,b上的范数是由内积导出的, 故L2a,b是内积空间, Hilbert空间.1 222 , (

13、 ).a bff xdx , ( , )( )( )a bf gf xg x dx的导出其上范数的内积 的范数 是由范数导出的, 故 是内积空间, Hilbert空间.2l2l1 22i=1( )ixxi=1( , )iiiixyxy2l内积空间上的平行四边形公式与极化恒等式 赋范线性空间成为内积空间的充要条件是它的范数满足平行四边形公式 实赋范线性空间的范数若满足平行四边形公式,则其成为内积空间,有如下由范数导出内积的极化恒等式:22222.xyxyxy221( , ).4x yxyxy内积空间的性质 定理 为内积空间，格拉姆(Gram)矩阵非奇异当且仅当 线性无关.),(),(),(),(

14、),(),(),(),(),(212222111211nnnnnnuuuuuuuuuuuuuuuuuuG12,nu uuXX12,nu uu定理证明证明 首先,1111,0,1,2, .,00.njjkjnnjjjjjjnjjjuuknuuu定理证明又110,0,1,2, .njjjnjjkjuuukn定理证明故,11,0,1,2, .0.njjkjnjjjuuknu定理证明 G非奇异当且仅当次方程组只有零解,即只有零解,即 只有零解,即 线性无关.1(,)0,1,2, .njkjjuukn1(,)0,1,2, .njjkjuukn10njjju12,nu uu定理证明故G非奇异当且仅当只有零

15、解即G非奇异当且仅当 线性无关.01njjju120.n1,2,nu uu内积空间上内积的连续性内积空间上，内积关于两个变元都是连续的. 内积空间上的正交 在在内积空间X上, 元素元素正交正交: 若(x, y)=0,称x与y正交,记为 元素与子集元素与子集正交正交: 若x与M中一切元素正交，则称x与M正交，记为 子集与子集子集与子集正交正交: 若 则称M与N正交，记为 . yx ,x,yX,M,NX.xM, yxN,yM,x有.MN内积空间上的正交补与正交分解 在在内积空间X上, 子集的子集的正交补正交补: X中与中与M正交的所有元素的全体称为正交的所有元素的全体称为M的正交补，记为的正交补，

16、记为 元素在子集的元素在子集的投影投影: 若则称 在M上的投影。上式称为 关于M的正交分解.M = x xM .,xX,MX0为xx,1010 xxxMxM,x使得x内积空间有关正交的性质 在内积空间上，若 则该式称为内积空间的“商高定理” 若x与内积空间的某个稠密子集正交,则x=0. 内积空间上子集的正交补为闭线性子空间.222x+y= x+ yxy,内积空间的极小化向量定理 在内积空间X上,若M为完备子空间，x0为 x在M上的投影( ),则且x0是M中使上式成立的唯一的点, 注: M为X的非空凸集,有限维线性子空间(因而完备)时极小化向量定理 即成立.0inf.yyMx-xx-0() x-

17、xM内积空间的投影定理 (投影定理) M是内积空间X的闭(或完备)子空间,则即, !,. 使得0101xXxM,xMxxx.XMM内积空间的正交系、规范正交系 若内积空间中的一组非零元素 中任何两个不同元素都正交,则称它们为正交系正交系. 若内积空间的一个正交系中的每个元素的范数都为1，则称它们为规规范正交系范正交系,或正交系标准或正交系标准即12,e e 0,(,)1,.ijije eij12,e e 内积空间的完全规范正交系 若内积空间X中的一组规范正交系 满足则称 为完全规范正交系完全规范正交系 .12,span e eX12,e e 12,e e 规范正交系下的投影 为规范正交系,则x

18、在M上的投影为且12,.nspan e eeM01( ,) ,niiixx e e12,ne ee2201( ,) .niixx eBessel不等式 为Hilbert空间X上的规范正交系,则12,ne ee221( ,).niix ex有X,xHilbert空间的正交和分解 内积空间中任一组线性无关元素系都可以规范正交化. 若M为Hilbert空间的闭子空间，则存在正交和分解,即直和分解.X = MM广义Fourier级数 若 为完全规范正交系,则 称 的广义Fourier级数,称的广义Fourier系数.12,e e 1,( ,) .iiixxx e e X121( ,),iiix e exe e为 关于12( ,),ix exe e 为 关于有限维子空间的最佳逼近即投影 因有限维线性子空间都是完备的,故在有限维子空间上的由内积导出的范数下的最佳逼近在 为规范正交系时即为投影 12,nnspan e eeM0minn