信息技术整合的一个案例

1、信息技术整合的一个案例（正方形）黄岩中学李柏青金克勤 (318020)主题词：信息技术，案例，数学问题，折纸，数学实验。信息技术作为强有力的工具在问题解决可起到极好的辅助功能，如何在数学内容的教学中更好地体现教学与信息技术、教学与问题解决的有效整合，是十分重要的一个课题。下文是进行这种探索的一个案例。敬请指正。【问题的背景】将边长为a的正方形纸ABCD的一个顶点B“折”到它的对边AD上。从操作过程发现“折”的过程其实就是数学中的“对称”，在几何画板软件中，可选取边AD上任意一点B1，则线段BB1的中垂线MN就是“折线”。如下图所示，拖动点B1，观察图形动态的变化过程。可以发现在这一简单的过程中

2、蕴含着丰富的量的变化和形的运动，你能从中提出哪些数学问题？图1图2【问题的提出及探究】学生从各个不同的角度提出了自己的问题，现摘录几个典型问题如下：问题一 探究所折部分图形BCNM的面积的最值情况。直觉猜想：BCNM的面积取到最值时，B1的位置应在线段AD的两端或中点。实验操作 ：1.度量线段AD、AB1的长度及多边形C/B1MN的面积，拖动点B1，得到一组数据，并利用“制表”功能列成表格。（如图3）2.以AB1的长度为x，以面积C/B1MN为y ，绘制点P（x，y），通过B1在AD上的运动，可得到点P的轨迹。（如图4）图3图4观察分析：当B1在AD的中点位置时，面积取到最小值；当B1在线段A

3、D的两端点时，面积取到最大值。数学论证：如图5所示，设AB1=x，四边形C/B1MN的面积为y，在RtBAB1中，由MB=MB1，可求得过N作NQ/BC，则有NQMBAB1，所以 当 ，即当B点落在AD的中点位置时，使折起部分的面积最小，其最小值为。引申1 若将正方形改为矩形(如图6，设BC=a，AB=b。)呢?实验操作：1.利用作出一个长和宽可以变化的矩形ABCD，B1是AD上的一动点，MN是BB1的中垂线。2. 当ab时， 拖动点B1，所折四边形C/B1MN形状随AB1变化（如图7，图8，图9）。图7图8图9图104. 以AB1的长度为x，以所折的各多边形的面积为y ，绘制点P（x，y），

4、通过B1在AD上的运动，可得到点P的轨迹（如图10）。观察分析：当ab时，所折部分图形的形状随B1不同位置有较大的变化，面积的最小值并非是B点落在AD的中点位置时取到。数学证明：(1)当ab时，可求得可求得当，使折起部分的面积最小，其最小值为。对于求高次函数的最小值，鼓励学生利用TI-92Plus图形计算器的fMin命令或求导命令辅助完成。问题二 探究折线所形成的包络线。学生在折纸过程中发现留在纸上的众多折线看着杂乱无章，又似是有规可寻。将问题推广并加以数学化，即为探求一定点（B）与一直线（AD）上的动点（B1）的连线段的中垂线MN的运动区域。实验操作：1.运动边AD上的点B1，追踪中垂线MN

5、，形成一个平面区域（如图11）;2.运动直线AD上的点B1，追踪中垂线MN，得到一个平面区域（如图12）;3.过B1作AD的垂线交直线MN于点P，运动点B1得到点P的轨迹（如图13）。4.分别度量PB与PB1的距离（如图13）。观察发现：（1）这些平面区域的轮廓(包络线)是抛物线，其中B为抛物线的焦点，AD为准线；（2）所有的中垂线MN都抛物线相切，即抛物线的焦点与准线上的点的连线段的中垂线必与抛物线相切;（3）切点P即为过B1与直线AD的垂线B1P与中垂线MN的交点。（4）当B1在AD上运动时，始终有PB=PB1，点P的轨迹为该抛物线。数学论证：可以采用代数的方法求得中垂线MN所经过的区域满

6、足的条件：以AD所在直线为x轴，过B垂直于AD的直线为y轴建立直角坐标系。设B（0，a），B1（t，0），其中a为非零常数，t为任意实数，则线段BB1的中垂线MN方程为：因为t为任意实数，则必有： = 显然中垂线MN上的任意一点（x，y）都在抛物线上或其外部。引申2 将问题二中的直线AD换成一个圆，探究定点B与定圆C上一动点B1连线段BB1的中垂线j的包络线。实验：1.运动圆上的点B1，追踪中垂线，观察中垂线扫过的平面区域（如图14）;2.构造圆心C与点B1的直线交中垂线j的交点P，运动点B1，得到点P的轨迹，观察轨迹的形状及其与区域的关系（如图15）。3.移动定点B与定圆C的相对位置，再进行

7、上述操作（如图16，图17）。发现：(1)当定点B在定圆C外时，包络线是双曲线，点B和点C恰好是双曲线的两焦点;当点B在圆C内时，包络线是椭圆，点B和点C恰好是椭圆的两焦点。(2)线段BB1的中垂线j与双曲线(或椭圆)的切点即为中垂线j与直线CB1的交点。上述结论得用双曲线及椭圆的定义容易得到证明。而且得到椭圆或双曲线共有的一个性质：【性质】以椭圆（或双曲线）的其中一个焦点为圆心，以长轴（或实轴）长为半径的圆上任一点与另一个焦点连线段的中垂线，必与该椭圆（或双曲线）相切。【反思与评价】通过以及图形计算器等信息技术工具，在教师适当的引导下，学生有条件和能力进行自主的探究和拓展，可以实现对一个问题进行自主的操作实验、观察发现、理解领悟，体验问题的发现、提出、探究与解决以及再发现的全过程，不