直线与平面垂直的判定(典型)p

1、编辑课件12.3.1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定编辑课件2 生活中有很多生活中有很多直线与平面垂直的直线与平面垂直的实例，你能举出实例，你能举出几个吗？几个吗？旗杆与底面垂直旗杆与底面垂直编辑课件3思考思考. .阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系有何位置关系. .AB1.1.旗杆所在的直线始终与旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直影子所在的直线垂直.C1B1C 2. 2. 直线直线ABAB垂直于平面垂直于平面内的任意一条直线内的任意一条直线编辑课件4lP 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的内的任意一条直线任意一条直线都垂

2、直，都垂直，我们说我们说直线直线 l 与平面与平面 互相垂直互相垂直，记作记作 l平面平面 的垂线的垂线直线直线 l 的垂面的垂面垂足垂足编辑课件5l线面垂直线面垂直的定义常这样使用的定义常这样使用laa简记：线面垂直，则简记：线面垂直，则线线垂直线线垂直l a编辑课件6 如果一条直线垂直于一个如果一条直线垂直于一个平面内的平面内的一条一条直线，那么直线，那么这条这条直线是否与这个平面垂直？直线是否与这个平面垂直？不一定不一定两条呢？两条呢？ 无数条呢？编辑课件7lP 除定义外，如何除定义外，如何判断判断一条直线与平面垂直一条直线与平面垂直呢？呢？编辑课件8准备一块三角形纸片准备一块三角形纸片

3、, ,过过ABCABC的顶点的顶点A A翻折纸片，翻折纸片，得到得到折痕折痕ADAD，将翻折后的纸片，将翻折后的纸片竖起竖起放置在桌上放置在桌上（BDBD、DCDC与桌面接触与桌面接触）. .A ABCD思考思考 (1)(1)折痕折痕ADAD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？(2)(2)如何翻折才能保证折痕如何翻折才能保证折痕ADAD与桌面所在平面垂直？与桌面所在平面垂直？编辑课件9BDCABD,CDBD,CD都在桌面内，都在桌面内，ADCD,ADBDADCD,ADBD, , BDCD=D，直线直线ADAD所在的直线与桌面垂直所在的直线与桌面垂直lmnP编辑课件10一条直线与一个平面内的两条相交直线

4、都垂一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直直，则该直线与此平面垂直balAal bl abAbal作用：作用：判定直线与平面垂直判定直线与平面垂直简记为：简记为：线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直编辑课件11例例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 已知：已知：a/b，a 求证求证: b a ab b证明：证明：设设m m是是 内的任意一条内的任意一条直线直线m mmamambba/bm可作定理使用可作定理使用编辑课件12 如图，如图，直四棱柱直四棱柱 （侧

5、棱与底面垂直（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条满足什么条件时，件时， ？ABCDDCBAABCDDBCAAABBCCDD 底面四边形底面四边形 对角对角线相互垂直线相互垂直ABCD编辑课件13线面垂直判定定理的应用例 1：已知：如图 1，空间四边形 ABCD 中，ABAC，DBDC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，求证：BC平面 AED.图 1证明：ABAC，DBDC，E 为BC 中点，AEBC，DEBC.又AE DE =E，BC平面AED.编辑课件14PABCO2.如图，圆如图，圆O所在一平面为所在一平面为 ，AB是圆是圆O 的

6、直径，的直径，C 在圆周上在圆周上, 且且PA AC, PA AB,求证：（求证：（1）PA BC （2）BC 平面平面PAC ,解：（1）且又ABACABACAPAAC PAABPABCPABC PACBCAACPAPABCACBC，ABOC面又得由为直径上一点为圆,1)2(编辑课件15证明：PA O 所在平面，BCO 所在平面，PA BC，AB 为O 直径， ACBC，又 PA ACA， BC平面 PAC，又 AE平面 PAC，BCAE，AEPC, PCBCC，AE平面 PBC.例 3：如图 6，已知 PA O 所在平面，AB 为 O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AEPC 于

7、E，求证：AE平面 PBC. 图 6编辑课件16VABC.DVA= VC，AB=BC,ABCV求证求证: : VB AC. .中，中，在三棱锥在三棱锥1. 1. 如图，如图，提示：提示：找找ACAC中点中点D,D,连接连接VD,BDVD,BD编辑课件17 2. 2. 已知：正方体中，已知：正方体中，ACAC是面对角线，是面对角线，BDBD是与是与AC AC 异面的体对角线异面的体对角线. .求证：求证：ACBDACBDABDCA B CD编辑课件18正方体正方体ABCD-ABCD ABCD-ABCD DDDD正方形正方形ABCD ABCD DDAC证明：连接证明：连接BDBDABDCABCDA

8、CAC、BD BD 为对角线为对角线ACBDACBDDDDDBD=DBD=D ACAC平面平面DDBDDB 且且BDBD面面DDBDDB ACBDACBD 编辑课件19OPA斜线斜线斜足斜足线面所成角线面所成角（锐角（锐角PAOPAO）射影射影关键：关键：过斜线上一点作平面的过斜线上一点作平面的垂线垂线线面所成的角线面所成的角编辑课件201 1、直线和平面垂直直线和平面垂直 直线和平面所成的角是直线和平面所成的角是直角直角 直线和平面平行或在平面内直线和平面平行或在平面内 直线和平面所直线和平面所成的角是成的角是0 02 2、直线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围是：的取值范围是：_

9、 _ 20编辑课件211.如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:A1C1与面与面BB1D1D所成的角。所成的角。A1D1C1B1ADCB45o编辑课件222、在正方体、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线中，求直线A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角O编辑课件23111111111111111111111111111111111111,.,.22 ,21,30 .2BCBCOAOABBCABB BABBCC BABBCBCBCBCABCDAOABABCDBAOABABCDaRt ABOABa BOaBOABBAOABAB解：连接交于点连接，平面又平面

10、为斜线在平面内的射影，为与平面所成的角.设正方体的棱长为在中，直线和平面130 .CD所成的角为编辑课件24求直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角，当直线和平面斜交时，当直线和平面斜交时，常有以下步骤：常有以下步骤：作作作出或找到斜线与射影所成的角；作出或找到斜线与射影所成的角；证证论证所作或找到的角为所求的角；论证所作或找到的角为所求的角；算算常用解三角常用解三角形的方法求角；形的方法求角；结论结论说明斜线和平面所成的角值说明斜线和平面所成的角值编辑课件25图图 51.如图如图 5，在长方体，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，中， ABBC2，AA11，则，则 AC1 与平面与平面

11、 A1B1C1D1 所成角的正弦值为所成角的正弦值为( )编辑课件26A2.若斜线段若斜线段 AB 是它在平面是它在平面内的射影长的内的射影长的 2 倍，则倍，则 AB与与所成的角为所成的角为()A60B45C30D120答案：答案：D解析：解析：如图如图22 ，连接，连接 A1C1 ，则，则AC1A1 为为 AC1 与平面与平面A1B1C1D1 所成角所成角图图 22编辑课件27 (1) (1)若两直线若两直线a a与与b b异面，则过异面，则过a a且与且与b b垂直的平垂直的平面（面（ ）A A有且只有一个有且只有一个 B B可能存在也可能不存在可能存在也可能不存在 C C有无数多个有无

12、数多个 D D定不存在定不存在 (2)(2)正方形正方形ABCDABCD，P P是正方形平面外的一点，且是正方形平面外的一点，且PAPA平面平面ABCDABCD，则在，则在PABPAB、 PBCPBC、PCDPCD、PADPAD、 PACPAC及及PBDPBD中，中， 为直角三角形有为直角三角形有_个个B 5 编辑课件281 1直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念（1 1）利用定义；）利用定义；（2 2）利用判定定理）利用判定定理3 3数学思想方法：转化的思想数学思想方法：转化的思想空间问题空间问题平面问题平面问题2 2直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定线线垂直线线垂直线面垂直线面垂

13、直垂直与平面内任意一条直线垂直与平面内任意一条直线（3 3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面么另一条也垂直于同一个平面4 4直线与平面所成的角直线与平面所成的角. .90,0范围：编辑课件29P 为ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的射影(2)若 PA PBPC，则 O 是ABC 的_；(3)若 PA BC，PBAC，则 O 是ABC 的_；(4)若 P 到ABC 三边的距离相等，且 O 在ABC 内部，则O 是ABC 的_；(5)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是ABC 的_外心垂

14、心内心垂心0(1).,90 ,_.PAPBPCCOAB若则 是边的点中中编辑课件30解析：(2)如图 23，PO平面 ABC，PA 、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC.又PA PBPC，OAOBOC. O 是 ABC 的外心图 23图 24(3)如图 24，PO平面 ABC，PA 在平面 ABC 上的射影是 OA.BCPA ，BCOA. 同理可证 ACOB，O是 ABC 的垂心编辑课件31(4)如图 25，图 25P到 ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF，则 PDPEPF.PO平面 ABC，PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影分别是 OD、OE、OF.ODOEOF，且 ODAB，OEBC，OFAC.O是 ABC 的内心编辑课件32PO平面 ABC，OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影又PA PB，PA PC，PA 平面 PBC.又BC平面 PBC，PA BC.OABC.同理可证 OBAC.O是 ABC 的垂心(5)如图 26，图 26编辑课件33例 1：如图 ，在四面体 PABC 中，若 PA BC，PBAC，