高二数学圆锥曲线试题及答案解析(共25页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上椭圆1. 椭圆上有两点P、Q ,O为原点,若OP、OQ斜率之积为,则 为（ ） A . 4 B. 64 C. 20 D. 不确定 答案: C 解析: 设直线方程为 ,解出,写出2. 过椭圆的焦点F(c, 0)的弦中最短弦长是 ( ) A. B. C. D. 答案: A 3. 过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 答案: D4. 过原点的直线与曲线C:相交,若直线被曲线C所截得的线段长不大于,则直线的倾斜角的取值范围是 ( ) A B C D. 答案: D 解析: 用弦长公式5. 如图所示,椭圆中心在原点,F

2、是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( ) A B C D 答案: B6. 椭圆上离顶点A(0,)最远点为 (0,成立的充要条件为( )A B C D.答案: C 解析: 构造二次函数.7. 若椭圆和圆为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率的取值范围是 ( ) A B C D 答案: A 解析: 解齐次不等式:,变形两边平方.8. 已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是 ( ) A (1, +) B C D 答案: D解析: 焦三角形AFO,如图: 为锐角.转化为三角函数问题.9. P是椭圆上一定点,是椭圆的两个焦点,若,则 解析: 正弦定理、合比定理、更比定理.10.(2

3、000全国高考) 椭圆的焦点为,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是 解析: 焦半径公式.11. 圆心在轴的正半轴上,过椭圆的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为 12. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 解析: 同填空(1)13. 已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此椭圆离心率为 解析: 求 14. 如果满足则的最大值为 解析: 三角代换.16. 设椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程. 解:设椭圆方程为, 为椭圆上的点,由得 若,则当时最大,即, ,故矛盾

4、. 若时,时, 所求方程为 17.已知曲线按向量平移后得到曲线C. 求曲线C的方程;过点D(0, 2)的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间,设,求实数的取值范围.解: 由已知设点P(满足,点P的对应点Q( 则 . 当直线的斜率不存在时,此时; 当直线的斜率存在时,设:代入椭圆方程得: 得设,则 , 又 则 . .又由 ,得,即即,又综上:双曲线1. 已知是双曲线的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过,且倾斜角为,则的值为 ( ) A. B. 8 C. D. 随的大小变化 答案: A 解析: 用双曲线定义列方程可解2. 过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点,若则这样

5、的直线存在( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条答案: D解析: x轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条; 过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条.3. 直线与曲线的交点个数是 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个. 答案: D 解析: (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交于两点.4. P为双曲线上一点,为一个焦点,以为直径的圆与圆的位置关系为 ( )A. 内切 B. 外切 C. 内切或外切 D. 无公共点或相交.答案: C 解析: 用两圆内切或外切的条件判断5. 已

6、知是双曲线的离心率,则该双曲线两条准线间的距离为( ) A. 2 B. C. 1 D. 答案: C 解析:6. 设,则二次曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 答案: C 解析: 7. 设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足, 则的面积为 ( ) A. 1 B. C. 2 D. 答案: A 解析: 勾股定理,双曲线定义联立方程组. 8. 设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上,当的面积为1时, 的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. D. 2答案: A 解析: 不妨设由, , ,9.设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离为 10.

7、双曲线两条渐进线方程为,一条准线方程为,则双曲线方程为 解析: 可设双曲线方程为: ( 11. 设双曲线的半焦距为,直线过点,两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为 2 解析: 由12. 已知双曲线中心在原点,以坐标轴为对称轴且与圆相交于A(4, -1),若此圆在点A的切线与双曲线的一条渐进线平行,则双曲线的方程为 解析:设双曲线方程为: ,再用待定系数法. 13. 直线和双曲线的左支交于不同两点,则的取值范围是 解析: 用判别式和韦达定理 14. 是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足, 则 解析: 列方程组解.15. 以圆锥曲线的焦点弦AB为直径作圆,与相应准线有两个不同的交点

8、,求证: 这圆锥曲线一定是双曲线;对于同一双曲线, 截得圆弧的度数为定值.解:如图:, ， 所以圆锥曲线为双曲线.为定值所以弧ST的度数为定值.16. M为双曲线上异于顶点的任一点,双曲线的焦点为,设,求的值.解: , 17.(2000全国高考)已知梯形ABCD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点,当时,求双曲线离心率的取值范围. 解:如图建系:设双曲线方程为: 则B(c,0), C(,A(-c,0),代入双曲线方程得:, 抛物线1. 过点(0, 2)与抛物线只有一个公共点的直线有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条. 答案: C 解析:

9、相切与相交均能产生一个公共点.2. 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为 ,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径的范围为 ( ) A. B. C. D. 答案: C 解析: 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出转化为二次函数问题.3. 抛物线 的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是 ( ) (A) (B) (C) (D) 答案: D解析: 可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短. 4. 直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则( ) A. 4 B. 2 C. D. 答案: A解析: 所截线段长恰为通径5. (2000全国

10、高考)过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于( ) A. B. C. D. 答案: C解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,6. 设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),则与的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 不确定 答案: C 解析: 向量解法: 由A、F、B共线得(重要结论),进而得出7. 已知抛物线上一定点和两动点P、Q ,当P点在抛物线上运动时,则点Q的横坐标的取值范围是 ( ) A. B. C. -3, -1 D. 答案: D 解析: 均值不等式8. 过抛物线焦点F

11、的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( ) A. B. C. D. 答案: C 解析: 如图, 因为A、F、B三点共线 所以 9. 一动点到轴距离比到点(2, 0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为 解析: 用抛物线定义. 10. 过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为 解析: 考虑两种可能. 11. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测量水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度为 米 解析: 坐标法 12. 以椭圆的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点,则 解析: 略 13. 设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线必过的

12、定点坐标为 解析: 设直线方程为 ,解出A点坐标,再写出B点坐标;写出直线方程.14. 抛物线的焦点弦AB,求的值.解:由 得 15.设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为, P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程，并说明该轨迹是什么图形.解析: 设, , 由得 -又代入式得-由得 代入式得:由得或, 又由式知关于是减函数且, 且所以Q点轨迹为一线段(抠去一点): (且) 16. 已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且 ,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0) 求抛物线方程;求面积的最大值.解析: 设, AB中点 由得

13、又 得所以 依题意, 抛物线方程为 由及, 令得 又由和得: 轨迹与轨迹方程1. 与圆x2+y2-4y=0外切, 又与x轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ). A. y2=8x B. y2=8x (x0) 和 y=0 C. x2=8y (y0) D. x2=8y (y0) 和 x=0 (y0) 答案: D 解析: 设所求圆的圆心为, 已知圆圆心, 半径为2, 则或点在轴负半轴. 2. 点M(x,y)与定点F(1,0)的距离比它到直线x=8的距离大1, 则动点M的轨迹方程为 ( ). A. y2=16(x-5) B. x2=16(y-5) C. x2=-16(y-5) D. y2=-16(x-5)

14、 答案: D 解析: 点M(x,y)与定点F(1,0)的距离等于它到直线x=9的距离. 所以动点M的轨迹是以点F(1,0)为焦点, 直线x=9为准线的的抛物线. 3. 已知, A、B分别在y轴和x轴上运动, O为原点, 则动点P的轨迹方程是( ). A. B. C. D. 答案: A 解析: 由知: P点是AB的三等分点(靠近B), 设P(x,y), 则, 又, 由距离公式即得.4. A、B、C是不共线的三点, O是空间中任意一点, 向量, 则动点P的轨迹一定经过ABC的( ). A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 答案: C 解析: 向量与边中线的向量是平行向量, , 则点P在边

15、中线上. 5. 已知两定点F1(-1,0) 、F2(1,0), 且是与的等差中项,则动点P的轨迹是( ). A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段 答案: D 解析: 作图可知点P的轨迹为线段. 6. 已知点P(x,y)对应的复数z满足, 则点Q(x+y,xy)的轨迹是 ( ). A. 圆 B. 抛物线的一部分 C. 椭圆 D. 双曲线的一部分 答案: B 解析: 设, 则, , 轨迹为抛物线的一部分. 7. 已知ABC的两个顶点A、B分别是椭圆 的左、右焦点, 三个内角A、B、C满足, 则顶点C的轨迹方程是( ). A. B. (x0) C. (x.-2 ) D. 答案: C 解

16、析: , 点C 的轨迹是以A、B为焦点长轴长为8的双曲线的右支且点C与A、B不共线. 8. 抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1的焦点的轨迹是 ( ). A. 抛物线 B. 直线 C. 圆 D. 线段 答案: B 解析: 设焦点坐标为M(x,y), 顶点, . 9. 点P在以F1、F2为焦点的椭圆上运动, 则PF1F2的重心G的轨迹方程是 解析:设, 代入即得, 再注意三角形三顶点不共线. 10. 过椭圆内一点M(2,0) 引椭圆的动弦AB, 则弦AB的中点N的轨迹方程是 解析: 设N(x,y), 动弦AB方程为, 与联立, 消去y得: , 消参即得.11. 直线l1: x-2y+3=0,

17、 l2: 2x-y-3=0, 动圆C与l1、l2都相交, 并且l1、l2被圆截得的线段长分别是20和16, 则圆心C的轨迹方程是 解析: 设C(x,y), 点C到距离分别为, , 化简即得.12. 点P是曲线f(x , y)=0上的动点, 定点Q(1,1), ,则点M的轨迹方程是 解析: 设则:, 代入f(x , y)=0即得.13. 已知圆的方程为x2+y2=4, 动抛物线过点A(-1,0), B(1,0), 且以圆的切线为准线, 则抛物线的焦点的轨迹方程是 解析: 设抛物线焦点为F, 过A、B、O作准线的垂线, 则, 由抛物线定义得: , , 故F点的轨迹是以A、B为焦点, 长轴长为4的椭

18、圆(去掉长轴两端点)14. 设为坐标原点, 为直线上动点, , , 求点的轨迹方程. 解: 设, 则由 得: , 即 , 由得: , 将代入得: , 且.所求点的轨迹方程为: .15. 半径为R的圆过原点O, 圆与x轴的另一个交点为A, 构造平行四边形OABC, 其中BC为圆在x轴上方的一条切线, C为切点, 当圆心运动时, 求B点的轨迹方程. 解: 设圆心为M(x0, y0), B(x,y), 则 又 BC为圆的切线, 得: , , 直线与圆锥曲线（1）1若倾角为的直线通过抛物线的焦点且与抛物线相交于、两点，则线段的长为（ ）（A） （B）（C）（D）（目的：掌握抛物线的焦点弦长的求法）【答

19、案】（B）【解析】由条件，过焦点的直线为代入抛物线方程，并由抛物线的定义求得2直线与实轴在轴上的双曲线的交点在以原点为中心，边长为2且边平行于坐标轴的正方形内部，那么的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）（目的：利用不等式判断直线与双曲线的交点的位置）【答案】（D）【解析】将直线代入双曲线求得，则有同理亦得，又对实轴在轴上的双曲线有，故。3过点可作条直线与双曲线有且只有一个公共点。（目的：掌握直线与双曲线交点的特殊性-与其渐近线的关系）【答案】4条【解析】设过点的直线为代入双曲线，求出有一个解的的值。或讨论与渐进线的斜率的关系。5已知抛物线的过焦点的弦为，且，又，则（目的：利用定义理解抛物

20、线的焦点弦的特殊性质）【答案】2【解析】利用抛物线的定义，焦点弦，所以6椭圆长轴上的一个顶点为，以为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是。（目的：椭圆的对称性在解题中的运用）【答案】【解析】设内接于椭圆的等腰直角三角形为，则，直线 求得，7已知抛物线与直线（1） 求证：抛物线与直线相交；（2） 求当抛物线的顶点在直线的下方时，的取值范围；（3） 当在的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值。（目的：熟练掌握综合运用判别式、不等式讨论直线与圆锥曲线的位置关系、直线与曲线相交弦长等问题）【解析】（1）由直线与抛物线总相交。（2）其顶点为，且顶点在直线 的下方，即。（2）

21、设直线与抛物线的交点为，则当8 已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点（I）求双曲线的方程；(II)动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段。试证明你的结论。 （目的：借用中点弦的特性，及三角形的重心的知识讨论双曲线上关于直线对称的两点的存在性）【解析】（I）设所求的双曲线方程为且双曲线经过点，所以所求所求的双曲线方程为。(II)由条件的坐标分别为，点坐标为假设存在直线使平分线段设的坐标分别为 得又即的方程为 由 消去整理得所求直线不存在。9一条斜率为1的直线与离心率为的双曲线交于两点，求直线与双曲线的方程（目的：利用向量的观点和方程的思想，求直线与圆锥曲

22、线的方程及有关性质）【解析】由双曲线方程为设直线则又因为则有： 由（1），（2）得代入（3）得所以，所求的直线与双曲线方程分别是直线与圆锥曲线（2）1过点的直线与双曲线的右支交于两点，则直线的斜率的取值范围是 （ ）（A）（B）（C）（D）（目的：掌握判断直线与双曲线位置关系的基本方法）【答案】（B）【解析】直接法：由题意，点是双曲线的右焦点，过的直线平行于渐进线时，此时与双曲线只有一个交点，若使交点同在右支，则。2已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点，则直线的方程是 （ ） （A）（B）（C）（D）（目的：能够利用直线与圆锥曲线的特殊位置关系求出相关量）

23、【答案】（D）【解析】由题设，设直线方程为则：代入方程检验即可。3过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（ ）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条（目的：掌握判断直线与抛物线位置关系的方法）【答案】（B）【解析】当直线垂直于轴时满足条件，当直线不垂直于轴时，设直线方程为满足条件的直线有两条。5抛物线上不存在关于直线对称的两点，求的范围（目的：学会运用间接、假设的方法解决存在性问题）【答案】【解析】若时，不存在。若时，设有这样的两点，则 上，且消恒成立，故满足条件。6 已知中心在原点的椭圆经过点，则该椭圆的半长轴长的取值范围是。（目的：学会运用函数的观点解决几何问题）【答案】【解析】不妨设椭圆

24、方程为，椭圆经过点，则又根据图有再由8已知双曲线的两条渐进线过坐标原点，且与以点为圆心，为半径的圆相且，双曲线的一个顶点与点关于直线对称，设直线过点，斜率为。（）求双曲线的方程；（）当时，若双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为，求斜率的值和相应的点的坐标。（目的：理解双曲线的渐进线、对称性及等轴双曲线的特征，并运用他们之间的关系解决问题）【解析】（）设双曲线的渐进线方程是与圆相切，渐进线方程为，又双曲线的一个顶点关于的对称点为双曲线的方程为。（）直线 设在上方与平行且相距的直线的直线方程是由的方程是代入，解得（）当时方程只有一组解，符合题意。此时（）当时，由与有且只有一个公共点，得综上所

25、述：圆锥曲线的几何性质1已知点是抛物线上的动点，焦点为，点的坐标是，则的最小值是（ ）（A） （B）（C）（D）（目的：熟练掌握抛物线的定义在解题中的灵活应用。【答案】（C）【解析】由抛物线的定义，三点共线时最小2（2003年全国高考.文）双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，则双曲线的离心率为（ ）（A）（B）（C）（D）（目的：理解焦点三角形中各边之间的关系）【答案】（B）【解析】由条件，利用余弦定理求解。3已知是抛物线上的任意两点，是焦点，是准线，若三点共线，那么以弦为直径的圆与的位置关系是（ ）（A）相交（B）相切（C）相离（D）不确定（目的：加深对椭圆的第二定义的理解，并推广到双曲线和

26、抛物线）【答案】（B）【解析】利用抛物线的定义，将的长转化为到准线的距离即可。4 等轴双曲线的两个顶点分别为，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点，则（目的：理解用向量的方法解决有关夹角的问题有其简便之处）【答案】【解析】写出的坐标，利用向量的坐标运算求解。5 过抛物线焦点的直线交抛物线于A,B两点，已知|AB|=10,O为坐标原点，则OAB的重心的坐标是（目的：运用抛物线焦点弦的性质求重心坐标）【答案】【解析】设则重心，因为直线过焦点，所以又，所以6（2001高考广东、河南卷） 已知椭圆的右准线与轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在右准线上，且轴。求证：直线经过线段的中点。

27、（目的：结合例1，进一步探讨圆锥曲线的共性）【解析】由题设，椭圆的半焦距，由焦点，右准线方程为点的坐标为，的中点为。若垂直于轴，则中点为，即过中点。若直线不垂直于轴，由直线过点，且由轴知点不在轴上，故直线的方程为，记 ，且满足二次方程即又得故直线的斜率分别是故三点共线，所以，直线经过线段的中点7已知：若点满足。（I）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？【解析】设为点的轨迹方程，该曲线是以为焦点，长轴长为4的椭圆。【综合训练】1是任意实数，则方程x2y2sin4的曲线不可能是( )A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆解析：当sin1，0)时，方程x2y2sin4的曲线是双曲线；sin0时，方程的曲

28、线是两条平行直线；sin(0，1)时，方程的曲线是椭圆；sin1时，方程的曲线是圆答案：C2已知椭圆1的一条准线方程为y8，则实数t的值为( )A7或7 B4或12 C1或15 D0解析：由题设yt7，yt78，t1或15答案：C3双曲线1的离心率e(1，2)，则k的取值范围是( )A(，0) B(12，0) C(3，0) D(60，12)解析：a24，b2k，c24ke(1，2)，(1，4)，k(12，0)答案：B4以1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A1 B1 C1 D 1解析：双曲线1的焦点坐标为(0，4)，顶点坐标为(0，)椭圆的顶点坐标为(0，4)，焦点坐标为(0，)在椭圆

29、中a4，c，b24椭圆的方程为1答案：D5过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于( )A2a B C4a D解析：当直线平行于x轴时，由于F点的纵坐标为，因此xP，xQ，4a答案：C6过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则等于( )A4 B4 Cp2 D以上都有可能解析：由已知ABx1x2，(x1x2)2(y1y2)2(x1x2p)2，整理得4x1x22y1y2p20，又2px1y12，2px2y22，4x1x2，2y1y2p20，y1y2p2，x1x2，4答案：B7抛物线yx2

30、到直线 2xy4距离最近的点的坐标是( )A B(1，1) C D(2，4)解析：设P(x，y)为抛物线yx2上任一点，则P到直线的距离d，x1时，d取最小值，此时P(1，1)答案：B8与1(ab0)的渐近线( )A重合B不重合，但关于x轴对称C不重合，但关于y轴对称D不重合，但关于直线yx对称解析：双曲线的渐近线方程为y1的渐近线方程yx、yx与yx关于直线yx对称，yx与yx关于直线yx对称 答案：D9动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过定点( )A(4，0) B(2，0) C(0，2) D(0，2)解析：直线x20为抛物线y28x的准线，由于动圆恒与直线x2

31、0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点(2，0) 答案：B10设P是椭圆1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是( ) A B1 C D解析：设P(x0，y0)，则3x03cosF1PF2当x00时，cosF1PF2最小，最小值为答案：A11已知点A(0，1)是椭圆x24y24上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是_解析：点P在椭圆上，设点P的坐标为(2cos，sin)，则AP当sin时，AP最大，此时P的坐标为() 答案：()12已知F1、F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦如果PF2Q90，则双曲线的离心率是_解析：由PF2QF2，PF2Q90，知PF1F1F2即，e22e10，e1或e1(舍)答案：113已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切，则抛物线的方程为_解析：圆的方程可化为(x3)2y216，抛物线的准线为x，由题设可知34，p2抛物线的方程为y24x答案：y24x14点P(8，1)平分双曲线x24y24的一条弦，则这条弦所在的直线方程是_解析：设弦的两端点分别为A(x