椭圆、双曲线地离心率取值范围求解方法

1、椭圆、双曲线的离心率取值X围求解方法一、利用三角形三边的关系建立不等关系但要注意可以取到等号成立2 20的两个焦点为F,F2，假如P为其上一点，且|PFJ 2 PF2I，如此双曲线离双曲线x2121 a 0,ba b心率的取值X围为A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,【解析】6a 2cPFPF23,又ePFPF22a ,1 e 1,3 ,选 BPFPF2 阡2当且仅当P，R，F2三点共线等号成立1 a b 0上存在一点P,使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆2 2例2、如果椭圆x_y_a b的离心率的取值X围为A. (0, 21B. 21,1)C. (0, 31D.

2、 3 1,1)解析设/ PF,PF2PFm，由题意与椭圆第二定义可知PFmePF |PR| m(e 1) 2a2a|F1 F2 当且仅当P， F，F2三点共线等号成立 m me 2c，空代入化简可得e 1互1e 1二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系2c e2 2e 10 e .21 又 e 1 e 21,1 ,选 B2 2例1:双曲线笃 -y2a b线离心率的取值 X围是a. (1,3) B. (1,3 c. (3,) D. 3,)1(a 0, b 0)的两个焦点为F2，假如P为其上一点，且PF|2PF2 ，如此双曲【解析】设pf2e空后(2m)2EcOS 2am三、利用曲线的几何

3、性质数形结合建立不等关系m，F1PF2(0)，当P点在右顶点处/ 11, e (1,3.2例1 :双曲线务a2每 1 a 0, b 0的两个焦点为bF, F2，假如P为其上一点，且 PF2 PR，如此双曲线离心率的取值X围为)D.3,解：|PF1PF22a ,IPF2I 2a，即曲线右支上恒存在点P使得IPF2I 2a可知AF2 PF2 ,例2.双曲线OF2OA ca 2a， c3a1 e 1,3 ,选 B2 x 2 a2七1(ab0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2,P是双曲线右支上一点,P到右准线的距离为d，假如d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列,求双曲线的离心率的取值 X围。解：

4、由题意得d =RI。片底2得勿 吐 7 即-Ie-11 <2 + 1所以I.-，从而又因为p在右支上，所以2 2例3 椭圆笃 y2 i(a ba b又|pfJ |PF 2a(e 1)， (e 1) PF22a，PF22ae 12ae 1a，即e 1，得 e2 2e 1由双曲线性质知 PF2(1, -2 1) 例5、设椭圆21(a b 0)的左右焦点分别为 R、F2，如果椭圆上存在点P,使/ F.( PF2 =900,求离心率 be的取值X围。解析:P 点满足/ F1 PF2=90 点P在以F1F2为直径的圆上又T P是椭圆上一点，二以F1F2为直径的圆与)的右焦点F，其右准线与x轴的交点

5、为A,在椭圆上存在点 P满足线段AP的垂直平分线过点F，如此椭圆离心率的取值X围是a0丑B0,丄OJ21,1D丄,12 222. 2ab解析：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点 F，即F点到P点与A点的距离相等而| FA = c c cc12222accaca又e1 PF a- c, a+ c于是 a- c, a + c即 acc < b < ac+ c 二c2 a2 cac2 cc1或-1aa2(0,1)故 e1,1 答案：D22x例4、双曲线2vb21(a0,b0)的左、右焦点分别为£( c,0), F2(c,0)假如双曲线上存在点asinPF1F2

6、a如此该双曲线的离心率的取值X围是.sinPF2F1c【解析】sin PF| F2IPF2I由正弦定理得，IPF2Ia 1,e PF2pf1 .sin PF2F1lPFJ|PFjc e1椭圆有公共点2 2X vF、F2是椭圆 P 勺 1(a b 0)的焦点.以F1F2为直径的圆的半径 r满足：r=c > b,两边平方,a b得c2 > b2即c2> a2-c2由此可得e四、利用圆锥曲线中 X、v的X围建立不等关系X围是A.(1,、2B.、2,)c.(1,.21D.L 21,)【解析】+- ex0 a2 a2 aa2Xo(e1)x0a 丁Xoa,a (e1)a,ccce 1 1

7、 a 112 e2e1 01 ,2e1 2,而双曲线的离心率e 1，e (1,、21,1(a0,b0)的右支上存在一点，它到右焦点与左准线的距离相等，如此双曲线离心率的取值2例2、设点P在双曲线2x2ab21(a0,b0)的左支上，双曲线两焦点为FF2，| PF1 |是点P到左准线I的距离d和| PF2 |的比例中项，求双曲线离心率的取值X围|PFi |解析：由题设| PF, |2 d | PF2 |得：d|PF2|IPF1 |。由双曲线第二定义|PFi|e得:|PFH|PF |由焦半径公式得：-_ex e,如此xa ex(1 e)a2e ea，即e2 2e 1解得1归纳：求双曲线离心率取值

8、X围时可先求岀双曲线上一点的坐标,再利用性质:假如点P在双曲线2x2a2 y b21的左支上2x 如此x a ；假如点p在双曲线右 a21的右支上如此b22 2例2.设椭圆务笃 1(aa b0)的左右焦点分别为F-|> F2，如果椭圆上存在点P,使/ F-i PF2 =900，求离心率e的取值X围。解析1:设Px，y，又知，如此将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得解析2:由焦半径公式得x2v2例3椭圆 p 丄2=1 a>b>0的左、右顶点分别为 A、B如果椭圆上存在点 P,使得/ APB12O0,求椭圆的离心率 e的a b取值X围.解：设 PX。，yo，由椭圆的对称性，

9、不妨令 owxova,0<y。<b. v Aa ,0，Ba,0，二kPA=V0,kPB = Vo.2yo一2. 3,而2 2 2Xoyo aXo aXo aT/ APBl2oo，二 tan / APB- 73 ,又 tan / AP序 一 =一21 kPB k pa Xoy o a点p在椭圆上，二bx+ay=a b由、得2ab2 3(a2 b2)T 0< yoW b,二 0 <2ab2.3(a2 b2)t a>b> 0，二 2atW. 3 ab,即 4 a?6w 3 c ,整理得，3e"+4e'4> 0.考虑0< e<1,

10、可解得w e< 1.3四、利用判别式建立不等关系2 2例1、设椭圆告 1(a b 0)的左右焦点分别为FF2,如果椭圆上存在点P,使/F1PF2 =900 ,求离心率ea b的取值x围。解：由椭圆定义知2X2例2、双曲线 y 1(a 0)与直线| : x y 1交于p、q两个不同的点，求双曲线离心率的取值X围。a解析：把双曲线方程和直线方程联立消去不同的交点如此0 ，x得：(1 a2)y2 2y 1 a20,1 a20时，直线与双曲线有两个4 4(1 a2)24a2(2 a2) 0 ，即 a2 2 且 a 1 ，所以a21a2-，即 e 且 e -.2。 五、利用均值不等式建立不等关系2

11、 22 2X y例1、椭圆1 (a > b> 0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，/ F1PR=60°如此椭圆离心率 e的取值 a bX围；解：设|PF1|=m，|PF2|=n如此根据椭圆的定义，得m+n=2a又FFF中，/ F1PF=60°由余弦定理，得m+n2-mn=4c2.联解，得mn=4(a2 C2)3m n 2 2 (-T)=a4(a2 c2)31x2化简整理，得 a2< 4c2，解之得丄w ev 1例2、点P在双曲线 a2占1(ab0,b0)的右支上，双曲线两焦点为2R、F2， | PF |最小值是8a，如此双曲线离心率的取值X围。|P

12、F2| PF |2解析：|PF|2(|PF2|2a)吓|PFd小值8a，又| PF2 |c a所以2a4a24a8a，由均值定理知：当且仅当| PF2 | 2a时取得最c a，如此 1 e 3。2X例3、设椭圆 2a0)的左右焦点分别为印F2，如果椭圆上存在点 P,使/ F.)PF2 =900，如此离心率e的取值X围。解析：由椭圆定义，有平方后得六、利用二次函数的性质建立不等关系2_y(a2X设a 1，如此双曲线2aa. ( 2,2)B.1)2(2, . 5)1的离心率e的取值c.X围是(2,5)d. (2, . 5)【解析】e(a 1)22a七、利用非负数性质(11)2 1 . a1,根据二

13、次函数值域可得2 e 5 .2X例过双曲线pa2y1(a0, b 0)左焦点F1的直线I交双曲线于p、Q两点，且OP OQ O为原点，b如此双曲线离心率的取值X围。解析：设P(x1, y1)> Q(x2, y2)，过左焦点F1的直线I方程:ty c,代入双曲线方程得：(b2t2 a2)y2 2b2tcy b40,由韦达定理得:y1y22b2tc 2 ab2t2b4y1y2 航 a,X1X2(ty1c)(ty2 c)2y2ct(y1y2)，由OP丄OQ得X1X2y*20,42b (t 1) b2t2a22,2 22b t cab2t2c2o,解得:t2b42 2 a c 2 2 a b2因

14、为t4 2 20，所以b a co,如此c 2 23a c0,e43e20,e2练习1、设F1, F2为椭圆的两个焦点，假如椭圆上存在点A. , 1)2B. V , 1)2C.(0解：设，PX!, yj, F-c , 0，F2 c , 0，c>0 , 二(a exp2 (a曲疋，解得如二2(a eX)(a e)P满足/ FPR=120°,如此椭圆的离心率的取值)D.(02,如此 |PF1|=a+eX1,2 24c 3a2 e2厂-X1 X围是|PF2|=a-ex !.在 PFH 中,0, a2，二 4c2-3a 2>0.且cos120 °e2v 1e 3 , 1

15、)2由余弦定理得2x2、设片、F2分别是椭圆笃ab 0)的左、右焦点，假如在其右准线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，如此椭圆离心率的取值X围是【解析】设假如P为右准线与2aX轴的交点，可知-ca.(0,二 b.(0,、3-31，又3C.吟,"D.J)2c 2c，即 e22aP在右准线上可知-c 2c，所以离3心率的取值X围为丄一，1).X2y23、椭圆 21的焦点为F1,F2，两条准线与a bx轴的交点分别为假如|MN2F1F2，如此该椭圆离心率的取值X围是1A. (0,2B. (0,【解析】因为两准线距离为丝，又因为F1F2c2c，所以有空-c224、双曲线笃与 1(aa

16、 b交点，如此此双曲线离丿0, b 0)的右焦点为【解析】如图h与|2角为60的直线，-tan 60>3 .a2x5、设点P在双曲线 -2a【J1)4c，即 a2 2c2，所以三 e 1 .2C.F，假如过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个要2 y b21(a0, b 0)的右支上，双曲线两焦点R、F2，| PR |4 | PF2 |，求双曲线离心率的取值X围。解析1:由双曲线第一定义得：| PF1 |IPF2 | 2a，与 | PF, | 4|PF2 | 联立解得:|PF I解析2:82-a,| PF2 |-a，由三角形性质3382a, | PF2 | a，点33|PF

17、1 | | PF2 | | F1F2 | 得：8 a32c解得：1|PF |在双曲线右支上由图1可知:|PF1 |2a, a c3a，两式相加得:c，解得：1 e2X6、双曲线一2asinPRF2sinPF2F-ib21(a0,b0)的左、a，如此该双曲线的离心率的取值c右焦点分别为R ( c,0), F2 (c,0).假如双曲线上存在点P使X围是.【解析】因为在PF2PF1PFiF2中，由正弦定理得sin PF”sinPFzR如此由，得pF2RFi,即 apF1cPF 2 且知点p在双曲线的右支上，(xo, y。)由焦点半径公式，得PFia exo, PF2exo a如此a(a exo) c

18、(ex0a)解得Xoa(ce(ca)a)a(e 1)e(e1)由双曲线的几何性质知Xo訓亟二e(e 1)a，整理得e2 2e1°，解得.21 e1,(1,)，故椭圆的离心率(1r.21)7、假如点O和点F (2,0)分别是双曲线1(a>0)的中心和左焦点为双曲线右支上的任意一点，如此op fp的取值X围为()a. 3-2、3,)b. 3 2、.3,C.7卜4,解析：因为F(2,O)是双曲线的左焦点，所以a2 1x2所以双曲线方程为一32y 1，设点p (xo, yo)，如2Xoyo21(xo2yo2XO31(Xo，因为FP(xo 2,yo)，op (Xo, yo)，所以OPfp Xo(Xo 2)Yo2 = Xo(Xo2)4xo22xo 1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为X)因为xo3，所以当xo3时，OPFP取得最小值33 231 3 23，故OP FP的取值X围是32 3,)，选Bo2 27、Fp F?分别是双曲线一21 a O, ba bO的左、右焦点，过 Fi作垂直于x轴的直线交双曲线于 A、b两点,假如 ABF2为锐角三角形，如此双曲线的离心率的X围是A A. 1,1. 2 B.1.2, c. 1 x2,1.2 D.,2, .2