线性非齐次常系数方程待定系数法

1、考虑常系数非齐次线性方程考虑常系数非齐次线性方程 111 ( )nnnnnd xdxL xaa xf tdtdt (4.3.1) (4.3.1)当当 是一些特殊函数，如指数函数，正余弦是一些特殊函数，如指数函数，正余弦( )f t函数，及多项式时，通常利用待定系数法来求解。函数，及多项式时，通常利用待定系数法来求解。 一、非齐次项是多项式一、非齐次项是多项式（）（） 可取特解形式为可取特解形式为01( )nntBBB t（4.3.3） 其中其中 是待定常数是待定常数. . 01,nB BB把把 代入方程代入方程（4.3.2）左端为左端为( ) t11011 ( )()(2)nnnnnLtqB

2、tqBnpB tqBpBB考虑方程考虑方程 .1022nntbtbbqxdtdxpdtxdxL比较方程比较方程 110120,2nnnnnqBbqBnpBbqBpBBb（4.3.4）当当 时时, , 0q 待定常数待定常数 01,nB BB可以从可以从（）（）得出得出. . nntbtbbtL10)(两边两边t 的同次幂的系数得到方程组的同次幂的系数得到方程组当当 时时, , 0q 零零为方程的特征根，令为方程的特征根，令 01( )()nntt BBB t代入代入（）（）比较比较 11100(1)(1)2nnnnnnpBbn nBnpBbBpBb(4.3.6)当当 时时, , 对上面的方程直

3、接积分可得出方程的特解对上面的方程直接积分可得出方程的特解: 0, 0pq(4.3.6) 中的待定常数可以从上中的待定常数可以从上面的方程组得出惟一解面的方程组得出惟一解, 从而得出方程的特解从而得出方程的特解.当当 时时, , 0, 0pq(4.3.2) 变为变为.1022nntbtbbdtxd.)2() 1(3221)(102nntbtbbttnn综上综上, 我们得到我们得到 (4.3.2) 有下面形式的特解有下面形式的特解:, 0, 0),(, 0, 0),(, 0,)(1021010pqtBtBBtpqtBtBBtqtBtBBtnnnnnn其中是其中是 待定的常数待定的常数, 可以通过

4、上面介可以通过上面介绍的比较系数法惟一的来确定绍的比较系数法惟一的来确定.nBBB,10例例1 求方程求方程 的一个特解的一个特解.22282txdtdxdtxd解解: 对应的齐次方程的特征根为对应的齐次方程的特征根为因此因此, 该方程特解的形式为该方程特解的形式为01( )nntBBB t将将 代入方程得代入方程得)(t.82)(22222212012ttBtBBBBB比较上式两端的系数比较上式两端的系数, 可得可得. 1, 221. 2, 4, 4012BBB因此因此, 原方程的一个特解为原方程的一个特解为.442)(2ttt例例2 求方程求方程 的通解的通解.3224tdtdxdtxd因

5、此因此, 齐次方程通解为齐次方程通解为解解: 对应的齐次方程的特征根为对应的齐次方程的特征根为. 1, 021.)(21tecctx再求非齐次方程的一个特解再求非齐次方程的一个特解, 这里这里.4)(3ttf因为因为 是特征方程的单根是特征方程的单根, 故特解形式为故特解形式为0将将 代入方程得代入方程得)(t),()(332210tBtBtBBtt.24,12, 4, 10123BBBB因此因此, 原方程的特解为原方程的特解为).24124()(23ttttt因此因此, 原方程的通解为原方程的通解为).24124()(2321ttttecctxt二、非齐次项是多项式与指数函数之积二、非齐次项

6、是多项式与指数函数之积（4.3.7） 做变换做变换则方程则方程（4.3.7）变为）变为 由方程由方程（4.3.2）的结果）的结果, 我们有我们有(4.3.8) 有如下的有如下的考虑方程考虑方程 .)(1022tnnetbtbbqxdtdxpdtxdxL),()(tyetxt.)()2(10222nntbtbbyqpdtdypdtyd特解特解., 02 , 0),(, 02 , 0),(, 0,)(2102210210pqptBtBBtpqptBtBBtqptBtBBtnnnnnn又因为方程又因为方程 (4.3.7) 对应的齐次方程的特征方程为对应的齐次方程的特征方程为. 02qp因此方程因此方

7、程 (4.3.7) 有关特解的结论如下有关特解的结论如下:(4.3.9)(1) 当当 不是不是(4.3.9) 的根时的根时, 方程方程 (4.3.7) 的特解形式为的特解形式为 .)()(10tnnetBtBBt(2) 当当 是是(4.3.9) 的单根时的单根时, 方程方程 (4.3.7) 的特解形式为的特解形式为 .)()(10tnnetBtBBtt(3) 当当 是是(4.3.9) 的重根时的重根时, 方程方程 (4.3.7) 的特解形式为的特解形式为 .)()(102tnnetBtBBtt例例3 求方程求方程 的一个特解的一个特解.解解: 对应的齐次方程的特征根为二重根对应的齐次方程的特征

8、根为二重根因此因此, 该方程特解的形式为该方程特解的形式为将将 代入方程代入方程,)(t可得可得. 112. 0, 0,121012BBBtetxdtdxdtxd2222.)()(22102tetBtBBtt因此因此, 原方程的一个特解为原方程的一个特解为.121)(4tett 例例4 求求 的特解的特解.解解:对上面的方程积分得到一个特解对上面的方程积分得到一个特解tettxdtdxdtxd22722)1 (44因此因此, 原方程的特解为原方程的特解为做变换做变换则原方程变为则原方程变为 ),()(tyetxt27221ttdtvd,29283221)(2732ttttv.29283221)

9、(27322tttett三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数之积之积考虑：考虑： ( )cos( )sintL xxpxqxA ttB tt e由欧拉公式由欧拉公式 ( )cos( )sintA ttB tt e（）（）titietiBtAetiBtA)()(2)()(2)()()()( )( )( )( )22ititA tiB tA tiB txpxqxee则则（4.3.10）变为变为 由解的叠加原理知由解的叠加原理知 ()1( )( )( )2itA tiB txpxqxef t()2( )( )( )2itA tiB txpxqxeft的

10、解之和必为方程（的解之和必为方程（4.3.10.10）的解）的解. . 又又 12( )( )ftft, ,从而若从而若 是解，那么是解，那么 也是解也是解, , 1x1x所以方程的特解所以方程的特解 形式为形式为 ( ) t()()( )( )( )kitkittt D t et D t e) 1 , 0( ,sin)(cos)(kettQttPttk其中其中 为为t 的的m次多项式次多项式,)(tD).(Im2)(),(Re2)(tDtQtDtP当当 不是方程（不是方程（4.3.10.10）对应齐次方程）对应齐次方程 i的特征根时的特征根时, ,取取 . .0k 当当 是方程（是方程（4.

11、3.10.10）对应齐次方程）对应齐次方程 i的特征根时的特征根时, ,取取 . .1k 例例5 5 求求 的通解的通解. .2(cos7sin )txxxett解：先求对应齐次方程解：先求对应齐次方程 的通解的通解 20 xxx特征方程特征方程 220的根为的根为 121,2 所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为 212ttxc ec e不是特征根，故不是特征根，故 ( )(cossin )tte AtBt代入原方程得到代入原方程得到(3)cos(3 )sincos7sinBAtBAttt得得 A=2，B=1，故原方程的特解为，故原方程的特解为 ( )(2cossin )ttett于是通

12、解为于是通解为 221(2cossin )tttxettc ec e再求非齐次方程的一个通解，因为再求非齐次方程的一个通解，因为 1ii 例例7 求方程求方程2225356texdtdxdtxdt的通解的通解.解解: 先求对应齐次方程的先求对应齐次方程的的通解的通解.这里的特征方程这里的特征方程0562有两个解有两个解. 5, 121对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为:.521ttececx再求非齐次方程的一个特解再求非齐次方程的一个特解. 因为方程的右端由因为方程的右端由两项组成两项组成, 根据解的叠加原理根据解的叠加原理, 可先分别求下述可先分别求下述05622xdtdxdtxdtAtet )(1两个方程两个方程texdtdxdtxd35622222556txdtdxdtxd与与的特解的特解, 这两个特解之和为原方程的一个特解这两个特解之和为原方程的一个特解.对于第一个方程对于第一个方程, 有形如有形如的特解的特解,代入第一个方程得代入第一个方程得: