对勾函数模型(共15页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第十周对勾函数模型重点知识梳理1对勾函数定义对勾函数是指形如：yax(ab>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”2对勾函数yax(a>0，b>0)的性质(1)定义域：(，0)(0，)(2)值域：(，-2ab 2ab，)(3)奇偶性：在定义域内为奇函数(4)单调性：(，)，(，)上是增函数；(，0)，(0，)上是减函数(5)渐近线：y轴与y=ax(或y=-ax)3yax(a>0，b>0)的单调区间的分界点：±.求分界点方法：令ax x±

2、.特殊的，a>0时，yx的单调区间的分界点：±.4对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解5利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若a>0，b>0，则x>0时，ax2.当且仅当ax ，x时取等号在应用这个不等式时，要注意使用的前提条件是“一正、二定、三相等”，即加号两边的项ax和都是正项，且二者乘积为定值，同时ax中等号可取到若等号取不到，则应根据对勾函数单调性求解典型例题剖析例1已知f(x)x，求f(x)在下列区间的最小值(1)1,2; (2)3,4; (3)3，1【解析】如图，f(x)在 (，)，(，)

3、上是增函数，在(，0)，(0，)上是减函数(1)由对勾函数性质可知f(x)在1,2上单调递减，f(x)minf(2)4.(2)因为f(x)在3,4上单调递增，所以f(x)minf(3)4.(3)因为f(x)在3， 上单调递增，在(，1上单调递减，且f(3)4，f(1)6，所以f(x)min 6.变式训练已知函数f(x)，求f(x)的最小值，并求此时x的值【解析】f(x)令t，则t2，yt.yt在2，)单调递增，当t2时，ymin2，此时，2，x0.综上，f(x)的最小值为，此时x的值为0.例2求函数f(x)(0x3)的值域【解析】令tx2，则xt2, 2t5，yt6,2t5.yt6在2， 上单

4、调递减，在， 5上单调递增，当t时，ymin26，且当t2时，y26，当t5时，y56，ymax.综上，f(x)的值域为26，变式训练求函数f(x)，x的值域【解析】f(x)x12，令tx1，则f(t)t2，t1,4结合yt的图象与性质，可知当t1,3时，函数单调递减，当t3,4时，函数单调递增，又f(1)8，f(3)4，f(4)，所以f(x)4,8例3某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)(

5、k>0，k为常数，nZ且n0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【解析】(1)由g(n)，当n0时，由题意，可得k8，所以f(n)(10010n)(10)100n(nZ且n0)(2)由f(n)(10010n)(10)100n1 00080()1 00080×2520，当且仅当，即n8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元变式训练建筑一个容积为800米3，深8米的长方体水池(无盖)池壁，池底造价分别为a元/米2和2a元/ 米2.底面一边长为x米，总造

6、价为y.写出y与x的函数式，问底面边长x为何值时总造价y最低，是多少？【解析】长方体底面积S100米2，地面一边长为x米，因此另一边长为米，池壁总面积为8·(2x)米2， 总造价y100×2a(2x)·8·a200a16a(x)(x>0)函数y200a16a(x)在(0,10上是减函数，在(10，)上是增函数， 当x10时，总造价最低，且ymin520a(元)跟踪训练1下列函数中最小值是4的是()AyxByxCy21x21xDyx23，(x0)2函数yx，x(1,3的值域为()A，5) B4,5)C，4) D(4,5)3函数yx3，x的值域为_4y

7、2x2的最小值是_5已知x>0，则2x的最小值是_6函数yx在区间1,2上的最小值为_7若函数yx(a0)在区间(，)上单调递增，则a_.8建造一个容积为8m3，深为2 m的无盖水池，如果池底与池壁的造价每平方米分别是120元和80元，则水池的最低造价为_元9某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B

8、1C1D1的长和宽应如何设计？10如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD)的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设ABx米，已知围墙(包括EF)的修建费用均为800元每米，设围墙(包括EF)的修建总费用为y元(1)求出y关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，设围墙(包括EF)的的修建总费用y最小？并求出y的最小值11已知函数f(x) (x2，)(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围12已知函数f(x)x，x1，)，a>0.(1) 当a时，求函数f(x)的最小值；(2) 若函数f(x)的最小

9、值为4，求实数a.13为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C(x) (0x10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值参考答案1CA选项，由于x可取负值，显然最小值不是4，排除A；B选项，由于x可取负值，显然最小值也不是4，排除B；C选项，由于y2·2x2(2x)，换元，令

10、t2x，t>0，则y2(t)4，当且仅当t1即x0时，函数有最小值4，D选项，由于yx23x212，换元，令tx21，t>1，则yt2，函数在(1，)上单调递增，因此y>4，排除D选项综上，答案为C.2B由对勾函数性质可知，当x，即x2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3上单调递增， f(1)5，f(3)3，所以值域为4,5)，答案为B.36,7)解析yx31x2，换元，令t1x，则x时t(1,2，yt2，函数在(1,2上单调递减，若t1，则y127，若t2，则y226，故函数值域为6,7)422解析换元，令t1x2，则t1，x2t1，y2(t1)2

11、t2，函数在1，上单调递减，在，)上单调递增，所以当t时，函数有最小值22.56解析由对勾函数性质可知，当x，即x2时，表达式有最小值6.62解析因为yx 在区间1, 上单调递减，在，2上单调递增，所以当x时函数有最小值2.7(0,581 760解析池底面积为4 cm2，设池底宽为x cm，则长为 cm，则水池的造价为4×1202(×2x×2)×80480320x48021 760.9解析(1)设休闲区的宽为a米，则其长为ax米由a2x4 000，得a，则S(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)·16080(2)4

12、 160，即S80(2)4 160.(2)S80(2)4 160160·4 1605 760，当且仅当2，即x2.5时取等号，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米10解析(1)设ADt米，则由题意得xt600，且t>x，故t>x，可得0<x<10，则y800(3x2t)800(3x2×)2 400(x)，所以y关于x的函数解析式为y2 400(x)(0<x<10)(2)y2400(x)2 400×296 000，当且仅当x，即x20时等号成立故当x为20米时，y最小

13、y的最小值为96 000元11解析(1)任取x1，x22，)，且x1<x2，f(x)x2.则f(x1)f(x2)(x1x2) (1)，x1<x2，x1x2<0，又x12，x2>2，x1x2>4,1>0，f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)故f(x)在2，)上是增函数，当x2时，f(x)有最小值f(2).(2)f(x)>a恒成立，只需f(x)min>a.又f(x)min，a<.12解析(1) a时， f(x)x， x1，)令x(x>0)，得x1，)，不能用不等式求最值设1x1<x2，则f(x1)f(x2)

14、(x1x2)() (x1x2)(1)<0，函数 f(x) 在1，)上是单调递增函数，fmin(x)f(1).(2)当0<a<1时，令x，得x<1, 1，) ，类似于(1)可知函数f(x)在1，)上是单调递增函数，fmin(x)f(1)1a4，得a3，与0<a<1不符(舍)；当a1时，1，由不等式知x2，当x，即x时， fmin(x)24，解得a4.综上所述，函数f(x)的最小值为4时，a4.13解析(1)依题意，当x0 时，C8，k40 ，C(x)，f(x)6x6x(0x10)(2)f(x)2(3x5)10，设3x5t，t5,35，y2t1021070，当且仅当2t，即t20时等号成立这时x5 ，因此f(x)的