高等流体力学-第六讲

1、1北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散本讲主要内容本讲主要内容一、一、描述离散的基本方程描述离散的基本方程二、二、圆管流中的离散圆管流中的离散三、三、宽矩形断面明槽流动中的离散宽矩形断面明槽流动中的离散四、四、非定常剪切流中的离散非定常剪切流中的离散五、五、平面二维流动中的离散平面二维流动中的离散六、六、浓度矩法简介浓度矩法简介2北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散一、描述离散的基本方程一、描述离散的基本方程1 1、离散概念、离散概念离散（弥散离散（弥散 Dispersion）：

2、由剪切流中流速分布（对紊流指时均速）：由剪切流中流速分布（对紊流指时均速度分布）不均产生含有物质随流散开的作用。度分布）不均产生含有物质随流散开的作用。2 2、离散发展过程、离散发展过程3 3、离散过程参数表示、离散过程参数表示uuVuuua离散初始阶段离散初始阶段离散发展稳定过程离散发展稳定过程（1）速度：）速度：（2）浓度：）浓度：其中：速度时均值其中：速度时均值TudtTu01断面平均值：断面平均值：AadAuAV1断面平均偏离值：断面平均偏离值：aVuu紊流脉动值：紊流脉动值：uuuCCCCCCa平均值与偏差值平均值与偏差值3北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第

3、六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散4 4、移流离散、分子扩散与紊动扩散作用大小比较、移流离散、分子扩散与紊动扩散作用大小比较（1）两质点的移流离散）两质点的移流离散管流：一质点在管中心，一质点在管壁处。管流：一质点在管中心，一质点在管壁处。（2）沿横断面的分子扩散）沿横断面的分子扩散随机运动，格态遍历特性。随机运动，格态遍历特性。（3）作用大小）作用大小移流作用移流作用紊动扩散紊动扩散分子扩散。分子扩散。（4）径向分子扩散与纵向移流离散的平衡）径向分子扩散与纵向移流离散的平衡在扩散初期，纵向离散的作用很强，远大于分子扩散和紊动在扩散初期，纵向离散的作用很强，远大于分子扩散和紊动扩散；随着扩散纵

4、向浓度梯度的减小，纵向离散作用不断减弱，扩散；随着扩散纵向浓度梯度的减小，纵向离散作用不断减弱，而分子径向扩散作用却始终保持着。这是因为纵向离散维持着径而分子径向扩散作用却始终保持着。这是因为纵向离散维持着径向浓度梯度之故。向浓度梯度之故。当扩散时间增大到某一程度，两种作用将保持平衡。当扩散时间增大到某一程度，两种作用将保持平衡。达到平衡所需时间是多少？（达到平衡所需时间是多少？（Chatwin 1970）纵径扩散平衡图纵径扩散平衡图4北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散5 5、一维纵向移流平均浓度扩散方程、一维纵向移流平均浓度扩散方程

5、CuCCuVCCCuuVuCaaaa)()(CuCuCVdACuCCuVAdAuCAAaAaaA)(11dACuACuA1dACuACuA1；0 ; ;CuCCVVaaaa式中：式中：（2 2）速度浓度乘积时均值的断面平均值）速度浓度乘积时均值的断面平均值（1 1）速度浓度乘积时均值）速度浓度乘积时均值5北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散 ;)()(dxdtxAVdttAdxa )( xAVtAa体积变化图示体积变化图示质量守恒图示质量守恒图示 )(dxdtdAuCxdttAdxCAa )()(CuCuACAVxtACaaa )(1C

6、uCuAxAxCVtCaaa（4 4）断面平均浓度离散方程）断面平均浓度离散方程（3 3）体积变化关系）体积变化关系6北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散速度与浓度乘积的断面偏差及紊动时均的断面平均进行模式化处理，有：速度与浓度乘积的断面偏差及紊动时均的断面平均进行模式化处理，有：其中其中 ：Dt为紊动扩散系数为紊动扩散系数； DL为纵向移流离散系数为纵向移流离散系数（Longitudinal advertion dispertion coefficient）。）。代入后可得：代入后可得：当面积当面积A为常数，令为常数，令K=DL+Dt

7、，称为综合扩散系数，称为综合扩散系数（Mixing Coefficient）得面积平均浓度离散方程：得面积平均浓度离散方程： 1xCDdACuACuatA 1xCDdACuACuaLA )(1xCDDAxAxCVtCatLaaa 22xCKxCVtCaaaa7北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散6 6、浓度偏差方程（平面层流）、浓度偏差方程（平面层流） 2222yCxCDxCutCm速度及平均速度偏差分布图速度及平均速度偏差分布图uVuaCCCattVxa ; )()()(2222yCCCDCCuCCamaa （1） 22yCDCuCu

8、CCmaa （2）经量级比较，略去小量，展开上式，可得：经量级比较，略去小量，展开上式，可得：可得：可得：代入上式，且作变换：代入上式，且作变换：将将速度分布如图，对扩散方程速度分布如图，对扩散方程8北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散0 CuCa（3 3） 22yCDCuCuCuCma CCa、考虑考虑变化平稳，且变化平稳，且CCa条件下，有条件下，有0 CuCu amCuyCDC - 22，即：，即： 22yCDCuma 边界条件：边界条件：0 ;0yCh ,y y由此得到泰勒对浓面积平均偏差值的方程（恒定流动）：由此得到泰勒对浓面

9、积平均偏差值的方程（恒定流动）：用（用（1 1）式减（）式减（3 3）式，得：）式，得：对（对（2 2）式作断面平均运算，得：）式作断面平均运算，得：简化运算简化运算9北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散dy CdydyuuCDdACuQhy yamA 00 0)0(1 CdydyuCDyCy yam)()(010 0 1xCDdACuACuaLAdydydy uuhDdACuxCADy yhmAaL0 0011得纵向离散系数：得纵向离散系数：有模式关系：有模式关系：通过断面流入的扩散质的质量为：通过断面流入的扩散质的质量为：积分浓度面

10、积平均差值方程，可求出：积分浓度面积平均差值方程，可求出：7 7、纵向离散系数、纵向离散系数D DL L（或（或K K）的确定方法）的确定方法10北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散dA CuxCAKDAaL1 amCuyCD 22边界条件：边界条件：h y, yyC0 0,及及xCK CuCuAxAxCVtCaaaa22 )(1 1xCDdACuACuatA 1xCDdACuACuaLA；8 8、基本公式小结、基本公式小结（1 1）浓度断面平均值扩散方程）浓度断面平均值扩散方程（3 3）浓度断面平均差值方程）浓度断面平均差值方程（4

11、4）纵向离散（或混合系数）系数计算公式）纵向离散（或混合系数）系数计算公式（2 2）离散系数定义）离散系数定义11北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散二、圆管中的离散二、圆管中的离散)/2/ 1 (2/)/1 ()(22maxmax22maxaruuaruru)()(1)(22rCrrrDxCrxCrrCrrrDxCumma )()2/1 (22maxzCzzxCzzDauam令：令：z=r/az=r/a，有：，有：以柱坐标形式表示以柱坐标形式表示（2 2）浓度偏差值）浓度偏差值1 1、圆管层流中的离散、圆管层流中的离散（1 1）速度分

12、布）速度分布其中：其中：aa圆管半径。圆管半径。)/2/ 1 ()( 22maxaruru12北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散积分解得：积分解得：（3）纵向离散系数）纵向离散系数（4）量级概念）量级概念当当Dm=10-5cm2/s， umax=1cm/s，a=2mm；算得：算得：DL=20cm2/s。1)1 (41)(222maxczzxCDauzCzam 2)2/)(2/1 (810422222maxrdrzzzDaaudACuxCADamAaL)0()2/(8)(422maxCzzxCDauzCammmDaudzzzzzDau1

13、92) 2/)(2/ 1 (422max1042222max13北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散2、圆管紊流中的离散分析步骤、圆管紊流中的离散分析步骤)() 0 ()() 0 ()(*0zfuuzfuru dzdfzauruarrurCqzDrr*0/)( )(*2zCzzdzdfauzCzzzaDxCurra（3 3）浓度断面平均差方程）浓度断面平均差方程（2 2）紊动扩散系数的比拟）紊动扩散系数的比拟（1 1）紊流速度分布）紊流速度分布arz其中：其中：14北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流

14、中的离散剪切流中的离散给定给定f(z)既可求解上述浓度差值方程，泰勒（既可求解上述浓度差值方程，泰勒（1954）给）给出速度分布为：出速度分布为：经数值积分得出结果：经数值积分得出结果：上述结果经实验验证，符合较好。上述结果经实验验证，符合较好。*06.10auDL纵向离散系数：纵向离散系数：*052. 0auDt纵向紊动扩散系数：纵向紊动扩散系数：综合扩散系数：综合扩散系数：*1 .10 auDDKtL).(u uzkukuuzucc7770 );1ln(23)(*其中：其中：15北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散三、宽矩形断面明槽

15、流动中的离散三、宽矩形断面明槽流动中的离散1、问题化简、问题化简矩形断面明槽，槽底水平，沿槽纵向时均流速仅是（矩形断面明槽，槽底水平，沿槽纵向时均流速仅是（x,z）的函数，）的函数，横向和竖向时均流速为零。横向和竖向时均流速为零。对三维紊动时均扩散方程对三维紊动时均扩散方程忽略分子扩散，对浓度脉动与速度脉动乘积时均值模式化，有：忽略分子扩散，对浓度脉动与速度脉动乘积时均值模式化，有：考虑横向浓度梯度较小（即浓度分布在横向已达均衡），而纵向考虑横向浓度梯度较小（即浓度分布在横向已达均衡），而纵向紊动扩散作用远小于移流离散作用，紊动扩散仅考虑竖向作用，即有：紊动扩散作用远小于移流离散作用，紊动扩散

16、仅考虑竖向作用，即有：iimiiiuCxCDxxCutCzCDzxCutCtzzCDuC ; yCDuC; xCDuCtztytx32116北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散2、爱尔德（、爱尔德（Elder，1959）的处理方法）的处理方法爱尔德应用泰勒的方法，处理矩形明槽中的扩散爱尔德应用泰勒的方法，处理矩形明槽中的扩散（1）是均速度、浓度的表示）是均速度、浓度的表示（2）坐标变换）坐标变换（3）整理后浓度时均差方程满足）整理后浓度时均差方程满足（4）速度分布假设）速度分布假设（5）紊动扩散系数与运动粘性系数的比拟）紊动扩散系数与运

17、动粘性系数的比拟CCCuVuaa , atzCuhCD2z/h tVxa , kuuu*m1lnk = 0.41 )1 (/*khudzudDttz17北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散3、求解结果、求解结果 dduDChCtza1002 ddduDhdACuCADAtzaL1000211*31023*863. 54041. 0)1ln(1huhukdkhu （2 2）纵向离散系数）纵向离散系数（1 1）浓度时均断面差值）浓度时均断面差值18北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散

18、（3）紊动扩散系数）紊动扩散系数设紊动是各向同性的，即有：设紊动是各向同性的，即有：由定义：由定义：将垂向紊动扩散系数将垂向紊动扩散系数代入，可得：代入，可得： （4）纵向综合扩散系数）纵向综合扩散系数ttxtzDDDdACDdACDdAqatzAatAA )1 (*khuDtz*068. 061hukhuhuDDKtL*93. 510*0*)1 ()1 (1 dkhudzkhuhDht19北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散四、非定常剪切流中的离散四、非定常剪切流中的离散1、问题的提出、问题的提出非定常的运动是普遍存在的。如港口或潮汐

19、河段，非定常的运动是普遍存在的。如港口或潮汐河段，存在周期性的涨潮和退潮；又如风吹动的湖面等，这存在周期性的涨潮和退潮；又如风吹动的湖面等，这类非定常运动下，污染物扩散问题如何研究？类非定常运动下，污染物扩散问题如何研究？2、一维研究模型、一维研究模型对非定常流中的扩散问题，选用周期运动模型如对非定常流中的扩散问题，选用周期运动模型如图。图。一维模型图一维模型图20北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散3、两种极限状况、两种极限状况设定常扩散稳定时间设定常扩散稳定时间为为Tc h2/Dm，T为运动周期时间，两种极限状为运动周期时间，两种极

20、限状况为：况为：扩散现象如图所示，移流纵向离散系数扩散现象如图所示，移流纵向离散系数DL = 0；因变化较为缓慢，可按移流离散方法分析。；因变化较为缓慢，可按移流离散方法分析。4、数学模型、数学模型对浓度断面平均值偏差方程，计入非稳定项，可得问题描述的数学对浓度断面平均值偏差方程，计入非稳定项，可得问题描述的数学模型：模型：扩散过程图示扩散过程图示 - atzCuzCDztC边界条件：边界条件：, h zzC2 0,初始条件：初始条件：0) 0 ,(zCcTT （1 1）cTT （2 2）21北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散5 5、

21、模型的解析解、模型的解析解由模型条件可知：由模型条件可知：令令Dtz为常数（或为层流情况为常数（或为层流情况Dm），则有：），则有：由数理方程的解法，可得：由数理方程的解法，可得：)2sin(2 , 0TtUzuVa TtzCzCDtCam 2sin2U - 22边界条件：边界条件：, h zzC2 0,初始条件：初始条件：0) 0 ,(zC12212212322sin1) 12(2( ) 12sin() 12() 1(2ncnnacTtTTnhynnxCTTDUhC 22北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散纵向离散系数的周期平均值为：

22、纵向离散系数的周期平均值为：可见，当可见，当 当当0, D TTc112222242202/2/1)() 12(2() 12()(1nccmThhaTTnnTTDhUdtxChdzCuTD mcDhD TT22U2401, 周期纵向离散系周期纵向离散系数随数随T T的变化图的变化图23北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散五、平面二维流动中的离散五、平面二维流动中的离散对许多环境问题，如港湾、湖泊中的流动，可按平面二维流动对许多环境问题，如港湾、湖泊中的流动，可按平面二维流动分析，其中在分析，其中在x、y方向的速度分量方向的速度分量ux，

23、uy沿水深变化，沿水深平均沿水深变化，沿水深平均后得到的速度平均值仅为（后得到的速度平均值仅为（x，y）的函数，因而构成平面二维流动，）的函数，因而构成平面二维流动，如图所示。如图所示。1、流动量的表示（、流动量的表示（z向平均表示）向平均表示）CCCCCCza二维离散流动图二维离散流动图uuVuuuxvvVvvvyhxdzuhV01hydzvhV01hazdzChC01xVuuyVvvazCCC24北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散2、z向平均浓度扩散方程向平均浓度扩散方程由三维浓度扩散方程：由三维浓度扩散方程：代入二维运动条件，可

24、得：代入二维运动条件，可得：沿沿z做向积分平均运算，经化简后做向积分平均运算，经化简后iimiiiuCxCDxxCutCyCCvVxCCuVtCCazyazxaz)() ()() ()(iiazmiuCxCCDx)(iiazmiazyazxazuCxChDxhyCVxCVtC125北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散将紊动项模式化将紊动项模式化得得z平均值的平面二维扩散方程平均值的平面二维扩散方程其中：其中：K二维方阵二维方阵jazijixChDuCjazijiazyazxazxChKxhyCVxCVtC1yyyxxyxxKKKKK26

25、北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散5、浓度平均值差的方程、浓度平均值差的方程对定常问题，可解得：对定常问题，可解得：按一维方法得到综合离散系数：按一维方法得到综合离散系数：yCvxCuzCDztCazazzz)(dzdzyCvxCuDzCzzazazzz001)(hyyydzCvK0hxxxdzCuK0hxyxdzCvK0hyxydzCuK0yxCC27北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散6、Fischer给出的算例给出的算例Fisher（1978）对）对x方向平行于海岸线，方

26、向平行于海岸线，y方向垂直于海岸线，具有方向垂直于海岸线，具有图示流动模型的浓度扩散问题，给出二维浓度移流离散解。图示流动模型的浓度扩散问题，给出二维浓度移流离散解。算得综合离散系数为：算得综合离散系数为：对给定速度平均值对给定速度平均值Vx = 5cm/s；Vy = 5cm/s，计算结果如图。，计算结果如图。1219251925120yyxyxxzzVVVVVVDhK速度分布图速度分布图计算结果图计算结果图28北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散 六、浓度扩散的浓度矩法（六、浓度扩散的浓度矩法（ArisAris， 19561956）简

27、介）简介1、浓度扩散问题确定的思路、浓度扩散问题确定的思路（1）浓度分布函数与浓度概率分布密度）浓度分布函数与浓度概率分布密度在分子扩散的随机游走分析中已证明：在分子扩散的随机游走分析中已证明：1）浓度分布函数可以用概率密度函数表示；）浓度分布函数可以用概率密度函数表示；2）概率密度与分子扩散系数间存在关系）概率密度与分子扩散系数间存在关系（2）概率统计理论的结论）概率统计理论的结论设概率密度为设概率密度为p（x），对其作傅里叶（），对其作傅里叶（Fourier）变换，所得函数称）变换，所得函数称为开率密度的特征函数：为开率密度的特征函数：概率密度：概率密度：mDdtd221 dxexpzKixz)()(其中：其中：1idzezKxpixz)(21)( 29北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第六讲第六讲 剪切流中的离散剪切流中的离散因概率密度函数是绝对可积的，所以因概率密度函数是绝对可积的，所以K（z）是连续可微的，可作泰）是连续可微的，可作泰勒展开：勒展开：其中在其中在z=0处处K(z)的各级导数为：的各级导数为：其中：其中：如：如：00!)(znnnndzKdnzzKdxxpxidzKdnnznn)(0dxxpxn)(称为称为n n阶统计矩。阶统计矩。 dxxxp)(称为期望值；称为期望值；22)( dxxpx称为方差。称为方差。222)()( dxxpx