三元一次方程组与其解法

1、流氓兔比加菲猫大流氓兔比加菲猫大1 1岁岁流氓兔年龄的两倍与米老鼠流氓兔年龄的两倍与米老鼠的年龄之和比加菲猫大的年龄之和比加菲猫大1818岁岁求三求三个小个小动物动物的年的年龄龄? ?三个小动物年龄的和是三个小动物年龄的和是2626岁岁x+y+z=26,x+y+z=26, x-y=1x-y=1 2x+z-y=182x+z-y=18 根据题意，设流氓兔、加菲猫、米老鼠的年龄分根据题意，设流氓兔、加菲猫、米老鼠的年龄分别为别为x x、y y、z z 可以列出以下三个方程：可以列出以下三个方程：（一）三元一次方程（一）三元一次方程含有含有三个三个未知数，并且含有未知数的未知数，并且含有未知数的项的次

2、数都是项的次数都是1 1，像这样的，像这样的整式整式方程叫方程叫做三元一次方程做三元一次方程。（二）三元一次方程组（二）三元一次方程组解解: :设流氓兔设流氓兔x x岁，加菲猫岁，加菲猫y y岁，米老鼠岁，米老鼠z z岁，岁，x xy+z=26y+z=26， x-y=1x-y=1， 2x+z-y=182x+z-y=18 组合在组合在一起一起 这样就构成了这样就构成了方程组方程组x+y+z=26 x-y=1 2x+z-y=18 三元一次方程组三元一次方程组2332211xyzxyzxyyz 方程中含有未知数的方程中含有未知数的项的项的次数次数都是都是一次一次 x+y =20 x+y =20 y+

3、z=19 y+z=19 x+z=21 x+z=21 方程组中一共有方程组中一共有三个三个未知数未知数辨辨 析析 代入消元法代入消元法2、解二元一次方程组的基本思路是什么？解二元一次方程组的基本思路是什么？消元消元 一元一次方程一元一次方程 二元一次方程组二元一次方程组消消元元1、解二元一次方程组解二元一次方程组 的方法有哪些的方法有哪些？3223x yx y 加减消元法加减消元法三元一次方程组三元一次方程组 一元一次方程一元一次方程 二元一次方程组二元一次方程组1.1.化化“三元三元”为为“二二元元”总总结结消元消元消元消元三元一次方程组求法步骤：三元一次方程组求法步骤：2.2.化化“二元二元

4、”为为“一元一元” 怎样解三元一次方程组？怎样解三元一次方程组？（也就是消去一个未知数）（也就是消去一个未知数）例例1 1 解方程组解方程组x-z=4. 2x+2z=2，得得1xz1 . 化化“三元三元”为为“二元二元” 考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）2. 2. 化化“二元二元”为为“一元一元” 。x-y+z= 0 x+y+z= 2 x-z = 4 1xz 解法一：消去解法一：消去yx+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.解法二：消去解法二：消去x x由得，由得，x=z+4 x=z+4 把代入、得，把代入、得，2z+y=

5、-2 2z+y=-2 2z-y =-4 2z-y =-4 （z+4)+y+z=2 z+4)+y+z=2 (z+4)-y+z=0 (z+4)-y+z=0 化简得，化简得，x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.解法三：消去解法三：消去z z由得，由得，z=x-4 z=x-4 把代入、得把代入、得 2x+y=6 2x+y=6 4-y=0 4-y=0 x+y+(x-4)=2,x+y+(x-4)=2,x-y+(x-4)=0,x-y+(x-4)=0,化简得，化简得，注：如果三个方程中有一个方程是二元一次注：如果三个方程中有一个方程是二元一次方程（如例方程（如例1 1中的），则可以先通过对另中的），则

6、可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一次方程（如例元中这个二元一次方程（如例1 1中的）中中的）中缺少的那个元。缺某元，消某元。缺少的那个元。缺某元，消某元。x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.在三元化二元时，对于具体方法的选取应在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择该注意选择最恰当最恰当、最简便最简便的方法。的方法。 解：解：，得得2x+2z=2 ,2x+2z=2 ,化简，得化简，得x+z=1x+z=1 + +, ,得得x+y+z=2,x-y+z=0,x-z=4.把把 代入代入，得得x x= =52542z 3

7、2z 2x=5 2x=5 52x x-z=4 x-z=4 x+z= 1 x+z= 1 ,52x 32z 把把代入代入，得得53() 022y y=1所以，原方程组的解是所以，原方程组的解是 52132xyz 课堂练习 x+2y-z=1,2x-y+z=-2,x=y-z.354xyyzzx1 . 1 . 化化“三元三元”为为“二元二元”解：，得解：，得1xy 1x y 3xy2. 2. 化化“二元二元”为为“一元一元” 例例2 2 解方程组解方程组原方程组中原方程组中有哪个方程有哪个方程还没有用到还没有用到？例例2 2 解方程组解方程组354xyyzzx解解: : - - ，得，得 + + ，得，

8、得22x 1x 2,3yz1x y 所以所以, ,原方程组的解是原方程组的解是 123xyz把把 x=1 x=1 代入方程、，分别得代入方程、，分别得1x y 3xy354xyyzzx1 . 1 . 化化“三元三元”为为“二元二元”解 ： ，得1x y 例例2 2 解方程组解方程组原方程组中有原方程组中有哪个方程还没哪个方程还没有用到？有用到？可不可以不用？可不可以不用？1x y 5y z 1x y 4zx在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次一般都至少要用到一次 可不可以只用方程组中的两个就求解出方程的解？可不可以只用方程组中的两个就求解出方程的解？解方程组3x+2y+z=13,x+5y+2z=7,2x+3y-z=12.（一）三元一次方程组的概念是什么