多面体和旋转体的表面积

1、多面体和旋转体的表面积多面体和旋转体的表面积1 、 棱柱棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱棱柱。 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面棱柱的底面，其余各叫做棱柱的侧面棱柱的侧面。两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱棱柱的侧棱。侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高棱柱的高。如图所示：不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线。两个底面的距离叫做棱柱的高。HH1棱柱的表示法；1 .用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱A

2、BCDE- A1B1C1D1E12 .用表示一条对角线端点的两个字母表示，如：棱柱A C1 ABCDA1A1A1B1B1B1C1C1C1D1D1 E1ABCABCDE1. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱斜棱柱。2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱直棱柱。3. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱正棱柱。棱柱的底面可以是三角形、四边形、棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、五边形、我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱四棱柱、五棱柱、三棱柱四棱柱五棱柱棱柱的分类1. 按侧棱与底面位置关系分类可分为斜棱柱、直棱柱、正棱柱。2. 按底面多边形的边数分类可分为三棱柱、

3、四棱柱、五棱柱等等。斜三棱柱直四棱柱正五棱柱棱柱的性质：棱柱的性质：侧棱都相等，侧侧棱都相等，侧面是平行四边形；面是平行四边形；两个底面与平行两个底面与平行于底面的截面是全于底面的截面是全等的多边形；等的多边形；练习：1.求证：直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。ABCDE A1 B1 C1 D1E1证明思路：1 . 可证侧棱与高互相平行且垂直于底面，它们都夹在两个平行平面内。2. 可证侧棱平行且相等。2. 有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱?有两个相邻侧面是矩形的棱柱呢?为什么?ABCA1 B1 C1分析：右图：AA1AB且A A1与底面不垂直时，棱柱为斜棱柱。

4、左图：两个相邻侧面与底面垂时，它们的交线也与底面垂直。3. 斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、侧面各有什么特点？1. 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。正棱柱的底面为正多边形。2. 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱的侧面为矩 形。正棱柱的各个侧面为全等的矩形。4.棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、正棱柱集合之间存在怎样的包含关系？棱柱集合斜棱柱集合直棱柱集合直棱柱集合正棱柱正棱柱集合集合5. 正四棱柱中，求A C1与DC所成角的取值范围。ABCD A1 B1C1D16. 看图说出在底面正方形边长为a时，正四棱柱中点B到面AC B1 距离的取值范围。 B1 C1 D1 A1分析:底面正方形为固定图形

5、，但是棱柱的高在变化，在这个变化过程中，当棱柱的高逼近零和逼近无穷进时，所求距离的取值变化情况如何?平行六面体平行六面体直平行六面体直平行六面体长方体长方体正方体正方体问问:长方体是正四棱柱吗长方体是正四棱柱吗?正四棱柱是长方体吗正四棱柱是长方体吗?ch如果直棱柱的底面周长是如果直棱柱的底面周长是c，高是，高是h，那么，那么它的侧面积是它的侧面积是 S直棱柱侧直棱柱侧=ch求证：斜棱柱的侧面积等于它的求证：斜棱柱的侧面积等于它的直直截面截面（垂直于侧棱并与每条侧棱（垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面）的周长与侧棱长的都相交的截面）的周长与侧棱长的乘积。乘积。 HKLMN例例1：已知长方体的高是

6、：已知长方体的高是h，底面面积是，底面面积是Q，对角面面积是对角面面积是M，求长方体的侧面积，求长方体的侧面积hQM例例2：在斜三棱柱：在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，已知底面是中，已知底面是边长为边长为a的正三角形，侧棱长为的正三角形，侧棱长为b，一条侧棱与，一条侧棱与底面内相邻两边所夹的角都为底面内相邻两边所夹的角都为45 ，求它的侧面，求它的侧面积和体积。积和体积。ABCA1B1C1abOMN例例2：在斜三棱柱：在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，已知底面是中，已知底面是边长为边长为a的正三角形，侧棱长为的正三角形，侧棱长为b，一条侧棱与，一条侧棱与底面内相邻两边所夹的角都为底面内相邻两

7、边所夹的角都为45 ，求它的侧面，求它的侧面积和体积。积和体积。ABCA1B1C1abOE长方体对角线的性质长方体对角线的性质长方体对角线的长度长方体对角线的长度特点特点:线段线段AB、BC、CC1两两垂直。两两垂直。结论：结论：AC12=AB2+BC2+CC12长方体对角线的长度长方体对角线的长度123cos21+cos22+cos23=1sin21+sin22+sin23=2问问:当长方体的当长方体的对角线与相邻对角线与相邻三个面的夹角三个面的夹角分别为分别为,时时,结论如何结论如何?例：平行六面体例：平行六面体ABCD-A B C D 的底面的底面ABCD是菱形，且是菱形，且A B= A

8、 D，求证：（，求证：（1）截面）截面A A C C 平面平面A BD，（，（2）截面）截面BB D D是矩是矩形。形。 O例：已知正四棱柱例：已知正四棱柱ABCD-A B C D 中，中， A B与截面与截面A B CD所成的角为所成的角为3 0 ，求证求证此正四棱柱为正方体。此正四棱柱为正方体。O3. S直棱柱侧直棱柱侧=Ch S棱柱侧棱柱侧=C直截面直截面l 4.求棱柱的侧面积求棱柱的侧面积,还可各个侧面逐个分析计算还可各个侧面逐个分析计算,然然后求和后求和.小结小结1.直棱柱的侧面展开图是一个直棱柱的侧面展开图是一个矩形矩形,而斜棱柱而斜棱柱的侧面展开图是由一个个平行四边形拼成的的侧面

9、展开图是由一个个平行四边形拼成的平面图形平面图形.2.转化法与割补法数学思想的运用转化法与割补法数学思想的运用.：如图，在三棱柱：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AB= a，BC=CA=AA1=a，A1在底面在底面ABC上的射影上的射影O在在AC上，（上，（1）求）求AB与侧面与侧面AC1所成的角；（所成的角；（2）若）若O恰为恰为AC中点，求此三棱柱的侧面积。中点，求此三棱柱的侧面积。2 ABCA1B1C1O例3M例例3：如图，在三棱柱：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AB= a，BC=CA=AA1=a，A1在底面在底面ABC上的射影上的射影O在在AC上，（上，（1）求）

10、求AB与侧面与侧面AC1所成的角；（所成的角；（2）若）若O恰为恰为AC中点，求此三棱柱的侧面积。中点，求此三棱柱的侧面积。2 ABCA1B1C1O例3N如图：在斜三棱柱如图：在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AA1=AC=BC=a， A1AC= C1CB=60 ，二面角，二面角A-C1C-B=120 ，求三棱柱的侧面积和体积。，求三棱柱的侧面积和体积。ABCA1B1C1DAA1C1B1BCD例：例：在各棱长均为在各棱长均为1 1的正三棱柱的正三棱柱ABC-A B C 中，（中，（1）求求B C 与侧面与侧面AB B A 所成角的正切值。（所成角的正切值。（2）如果如果M点为点为CC 的中点，求截面的中点，求截面AB M与底面所与底面所成角的大小。成角的大小。DMN例：例：在各棱长均为在各棱长均为1 1的正三棱柱的正三棱柱ABC-A B C 中，（中，（1）求求B C 与侧面与侧面AB B A 所成角的正切值。（