数字电路课件电子学第二章

1、 第二章第二章 逻辑代数基础逻辑代数基础2.1 概述n基本概念基本概念逻辑：事物的因果关系逻辑：事物的因果关系逻辑运算的数学基础：逻辑代数逻辑运算的数学基础：逻辑代数在二值逻辑中的变量取值：在二值逻辑中的变量取值： 0/10/12.2 逻辑代数中的三种基本运算 与与（AND） 或或（OR） 非非( (NOT）以以A=1表示开关表示开关A合上，合上，A=0 0表示开关表示开关A断开；断开；以以Y=1 1表示灯亮，表示灯亮，Y=0 0表示灯不亮；表示灯不亮；三种电路的因果关系不同：三种电路的因果关系不同：与n条件同时具备，结果发生条件同时具备，结果发生nY=A AND B = A&B=AB

2、=ABA BY0 000 101 001 11或n条件之一具备，结果发生条件之一具备，结果发生nY= A OR B = A+BA BY0 000 111 011 11非n条件不具备，结果发生n ANOTYAA Y0 110几种常用的复合逻辑运算n与非与非 或非或非 与或非与或非几种常用的复合逻辑运算n异或nY= A BA BY0 000 111 011 10几种常用的复合逻辑运算n同或nY= A BA BY0 010 101 001 11一、一、公理公理(常量之间关系常量之间关系): 00=0 1+1=1 01=0 1+0=1 11=1 0+0=0 0=1 1=0 若A1则A=0 若A0则A=

3、12.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式二、二、 基本公式基本公式证明方法：推演 真值表等幂律：AAAAAA 互补律： 0 1AAAA反演律（摩根定律）：BABABABA .证明方法：推演 真值表(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等幂率等幂率AA=AAA=A=A(1+B+C)+BC分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+BC0-10-1率率A+1=1A+1=1证明分配率：证明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)证明：证明：ABCBCA+BCA+BA+

4、C（A+B）(A+C)0000000 00 00 00 00 00010010 00 00 01 10 00100100 00 01 10 00 00110111 11 11 11 11 11001000 01 11 11 11 11011010 01 11 11 11 11101100 01 11 11 11 11111111 11 11 11 11 1证明分配率：证明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)2.3.2 若干常用公式若干常用公式序 号公 式21A + A B = A22A +A B = A + B23A B + A B = A24A ( A + B) = A25A B + A

5、C + B C = A B + A CA B A C + B CD = A B + A C26A (AB) = A B ; A (AB) = A 2.4 逻辑代数的基本定理n2.4.1 代入定理代入定理 -在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。2.4.1 代入定理代入定理n应用举例： 式（17） A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD)= (A+B)(A+C)(A+D)2.4.1 代入定理代入定理n应用举例： 式 （8）CBABCACBABCBBABA)()()(代入以2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理

6、n2.4.2 反演定理反演定理 -对任一逻辑式原变量反变量反变量原变量，0110YY2.4.2 反演定理反演定理n应用举例：DCBDACBCADCCBAYCDCBAY)()(：在运用反演规则时，必须按照逻辑运：在运用反演规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。后或运算，最后非运算，否则容易出错。2.4.2 反演定理反演定理n应用举例：在运用反演规则时，：在运用反演规则时，不是一个变量上的不是一个变量上的反号不能变动。反号不能变动。)(EDCBAYEDCBAYEDCBAYEDCBAY2.4.2

7、对偶定理对偶定理n若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。n对偶式变化规律：+ +0 11 0 与反演规则的区别是：函数中的原变量、反变量不进行变换。【例】求下列函数的对偶式【例】求下列函数的对偶式YDEDCBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY对偶规则的意义在于对偶规则的意义在于：利用对偶式来证明两逻辑式相等。利用对偶规则，可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。：在对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。)(CABABCAABABAABABA)()(证明证明对偶对偶n逻辑函数逻辑函数nY=F(A,B,C,) -若以逻辑变

8、量为输入，运算结果为输出，若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入而定。输入/输出之间是一种函数关系。输出之间是一种函数关系。 注：在二值逻辑中，输入注：在二值逻辑中，输入/输出都只有两种取值输出都只有两种取值0/1。2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法n真值表真值表n逻辑式逻辑式n逻辑图逻辑图n波形图波形图n卡诺图卡诺图n计算机软件中的描述方式计算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换各种表示方法之间可以相互转换真值表真值表输入变量A B C输

9、出Y1 Y2 遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值n逻辑式逻辑式 将输入将输入/输出之间的逻辑关系用输出之间的逻辑关系用与与/ /或或/ /非非的运算式表的运算式表示就得到逻辑式。示就得到逻辑式。n逻辑图逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。现相对应。n波形图波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。起来画成时间波形。n卡诺图卡诺图nEDA中的描述方式中的描述方式 HDL (Hardware Description Language) V

10、HDL (Very High Speed Integrated Circuit ) Verilog HDL EDIF DTIF 。 举例：举重裁判电路举例：举重裁判电路A B CY0 0 00 0 00 00 0 10 0 10 00 1 00 1 00 00 1 10 1 10 01 0 01 0 00 01 0 11 0 11 11 1 01 1 01 11 1 11 1 11 1)(CBAY 各种表现形式的相互转换：各种表现形式的相互转换：n真值表真值表 逻辑式逻辑式例：奇偶判别函数的真值表nA=0,B=1,C=1使 ABC=1nA=1,B=0,C=1使 ABC=1nA=1,B=1,C=

11、0使 ABC=1这三种取值的任何一种都使Y=1,所以 Y= ? ABCY00000010010001111000101111011110n真值表真值表 逻辑式：逻辑式：1.找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。2.写出每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。3.将这些变量相加即得 Y。4.把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表n逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图n 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。)(CBAYn逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图n 从输入到输出从输入到输出逐级逐级写出每个图形符号对应写出每个图形符号

12、对应的逻辑运算式。的逻辑运算式。 )( BAB)(BAA) )()(BABABABABABABABABA)() )()(最小项最小项 m：nm是乘积项是乘积项n包含包含n个因子个因子nn个变量均以原变量和反变量的形式在个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现一中出现一次次2.5.3 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 最小项最小项之和之和 最大项最大项之积之积最小项举例：最小项举例：n两变量两变量A, B的最小项的最小项n三变量三变量A,B,C的最小项的最小项n推广推广）4个（22ABBABABA,）8个（ 32ABCCABCBACBABCACBACBACBA,最小项的编号：最小项的

13、编号：最小项 取值对应编号A B C十进制数0 0 0 0m00 0 1 1m10 1 0 2m20 1 1 3m31 0 0 4m41 0 1 5m51 1 0 6m61 1 1 7m7ABCCABCBACBABCACBACBACBA最小项的性质最小项的性质n在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为为1。n全体最小项之和为全体最小项之和为1 。n任何两个最小项之积为任何两个最小项之积为0 。n两个两个相邻相邻的最小项之和可以的最小项之和可以合并合并，消去一对因子，消去一对因子，只留下公共因子。只留下公共因子。 -相邻相邻：仅一个变量不同的最小

14、项：仅一个变量不同的最小项 如如 BACCBABCACBABCACBA)(与逻辑函数最小项之和的形式：逻辑函数最小项之和的形式：n例：),()(),(763mBCAABCCABAABCCABBCCABCBAY利用公式利用公式可将任何一个函数化为可将任何一个函数化为1 AA im逻辑函数最小项之和的形式：逻辑函数最小项之和的形式：n例：DCBAACDBAADCBCDBDDCBDBCAADCBACBDBCDCBADCBAY)()(.)()(),(逻辑函数最小项之和的形式：逻辑函数最小项之和的形式：n例：DCBAACDBAADCBCDBDDCBDBCAADCBACBDBCDCBADCBAY)()(.

15、)()(),(逻辑函数最小项之和的形式：逻辑函数最小项之和的形式：n例：DCBAACDBAADCBCDBDDCBDBCAADCBACBDBCDCBADCBAY)()(.)()(),(逻辑函数最小项之和的形式：逻辑函数最小项之和的形式：n例：DCBAACDBAADCBCDBDDCBDBCAADCBACBDBCDCBADCBAY)()(.)()(),(最大项：最大项：nM是相加项；n包含n个因子。nn个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次。n如：两变量A, B的最大项）4个（22BABABABA,最大项的编号：最大项的编号：原变量为原变量为0，反变量为，反变量为1最大项取值对应编号A B C

16、 十进制数1 1 1 7M71 1 0 6M61 0 1 5M51 0 0 4M40 1 1 3M30 1 0 2M20 0 1 1M10 0 0 0M0CBACBACBACBACBACBACBACBA最大项的性质最大项的性质n在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为为0 0；n全体最大项之积为全体最大项之积为0 0；n任何两个最大项之和为任何两个最大项之和为1 1；n只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。之和。2.6 逻辑函数的化简法逻辑函数的化简法n逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式

17、 1、最简、最简与或与或 -包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的最少，称为最简的与与- -或或逻辑式。逻辑式。CABACBCABADCBCBECACABAEBAY最简与或表达式最简与或表达式2 2、最简或与表达式最简或与表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。的或与表达式。CABAYACBACBACBACABACABAY)()(CABAY求出反函数的求出反函数的最简与或表达式最简与或表达式利用反演规则写出函利用反演规则写出函数的最简或与表达式数的最简或与表达式逻辑函数的公式化

18、简法逻辑函数的公式化简法1 1、并项法、并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。利用公式1，将两项合并为一项，并消去一个变量。BCCBCBBCCBBCAACBBCAABCY)()(1ABCBCABCAABCCBAABCCABAABCY)()(22 2、吸收法、吸收法BAFEBCDABAY)(1利用公式，消去多余的项。利用公式，消去多余的项。BABCDBADABADBCDABADCDBAY)()(2、配项法、配项法（1）利用公式，为某项配上其所能合并的项。）利用公式，为某项配上其所能合并的项。()()()YABCABCABCABCABCABCABCABCA

19、BCABCABACBC（2）利用公式（），为某一项配上其所缺的变）利用公式（），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。量，以便用其它方法进行化简。CACBBABBCAACBCBACBABCACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBAY)()1 ()1 ()()(、消项法、消项法利用冗余律，利用冗余律，将冗余项消去。将冗余项消去。DCACBAADEDCACBADCADEACBAY)(1CBABFGDEACCBABY)(2在化简时，要灵活运用上述方法。n例 化简逻辑函数解：EFBEFBABDCAABDAADYEFBEFBABDCAABAYEFBBDCAAEFBBDCA

20、（利用 ）（利用A+AB=A）（利用 ）BABAA1 AAn例 化简逻辑函数解：)(GFADEBDDBBCCBCAABY)(GFADEBDDBBCCBCBAY)(GFADEBDDBBCCBABDDBBCCBA)()(CCBDDBBCDDCBACBDBCDDBBCDCBCDBABCDDBBCDCBADBBCBBDCA)(DBBCDCA（利用反演律 ） （利用 ） （配项法） BABAA（利用A+AB=A）（利用A+AB=A）（利用 ）1 AA2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法n相邻性相邻性 如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。例如，最

21、小项ABC和 就是相邻最小项。 如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。如()ABCABCAC BBACABCn卡诺图 用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。 变量大于等于变量大于等于5时，几何上的相邻性已经不能时，几何上的相邻性已经不能完全表示逻辑上的相邻性。完全表示逻辑上的相邻性。仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：1. 直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。2. 对边相邻性，即与中心

22、轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。m0ABCD ABCDm1ABCDm3mABCD2m567mmABCDABCDmABCD4ABCDABCDmm13ABCD ABCD1412m15mABCDABCD ABCDmABCD8m1011m9mABCDABCD0132765413141512981110ABCD0000010111111010(b)用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数1.将函数表示为最小项之和的形式将函数表示为最小项之和的形式 。2.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1，其，其余地方添余地方添0。 注：注： 如表达式不是最小项

23、表达式，但是如表达式不是最小项表达式，但是“与或表达与或表达式式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入。图。也可直接填入。 im用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数( , ,)()()(1,4,6,8,9,10,11)Y A B C DA B C DA BDABA B C DCC A BDABCDC DCDCDm 例：00 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数n依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。 n在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。n合并最小项的原则：合并最小项的原则：q两个相邻最小项可合并为一项，两个相邻

24、最小项可合并为一项，消去消去1个取值不同个取值不同的变量的变量q四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去消去2个取值不同的变量个取值不同的变量q八个相邻最小项可合并为一项，八个相邻最小项可合并为一项，消去消去3个取值不同个取值不同的变量的变量合并规律举例：卡诺图化简的原则卡诺图化简的原则n化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，即即覆盖图中所有的覆盖图中所有的1。n乘积项的数目最少，乘积项的数目最少，即圈成的矩形个数最少即圈成的矩形个数最少。n每个乘积项因子最少，每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大即圈成的矩形最大

25、。n化简步骤： -用卡诺图表示逻辑函数 -找出可合并的最小项 -化简后的乘积项相加（项数最少，每项因子最少） 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数例1：CBCBCACACBAY),( 00 01 1 1 1 001ABC例1：CBCBCACACBAY),( 00 01 1 1 1 00011111101CBCABAABCCBCBCACACBAY),( 00 01 1 1 1 00011111101ABCCBBACA例1：例例1：CBCBCACACBAY),(CBCABACBBACA此例说明： 一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。例2：0001111000011

26、110ABCDDCACBADCDCAABDABCY DCACBADCDCAABDABCY 00011110001001011001111111101111ABCDDAY2 = 例例2：将：将Y2= (m0 m2 m4 m6 m8 m15 )化简为最简与或式。化简为最简与或式。Y2 = ADY2 = AD此例说明，为了使化简结果此例说明，为了使化简结果最简，可以最简，可以重复利用最小项重复利用最小项。=A+DY2ABCD000111100001111011111100001111111111Y2ABCD0001111000011110111100001111注注：若卡诺图中：若卡诺图中1的数目远

27、远的数目远远大于大于0的数目，可用圈的数目，可用圈 0 的方法。的方法。AD+n约束项约束项n任意项任意项n逻辑函数中的无关项无关项：约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。2.7具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简例例: 一个计算机操作码形成电路，一个计算机操作码形成电路，当ABC=000 时，输出停机码00；当只有A=1时，输出加法操作码01；当只有B=1时，输出减法操作码10；当只有C=1时，输出乘法操作码11；其它输入状态不允许出现，其它输入状态不允许出现，?试画电路的逻辑图。试画电路的逻辑图。有三个输入端A B C ，有两个输出端Y1、Y0；1 、 列真值表列真值表ABC+ABC+ABC+ABC=0 （m 3 ，m 5 ，m 6 ，m 7 ）= 01 11 00 1X XX XX XX X0 0A B C Y1 Y00 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 12、约束项、约束项(无关项无关项)的表示的表示当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们对应的最 小项恒等于0来表示。本例的约束项为