信号与系统王明泉科学出版社第二章习题解答

1、第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.6本章习题全解2.1如题图2-1所示机械位移系统，质量为的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上，弹簧的刚度系数为。刚体与地面间的摩擦系数为，外加牵引力为，求外加牵引力与刚体运动速度间的关系。题图2-1解：由机械系统元件特性，拉力与位移成正比，即又所以，刚体在光滑表面滑动，摩擦力与速度成正比，即根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理，可得整理得2.2题图2-2所示电路，输入激励是电流源，试列出电流及上电压为输出响应变量的方程式。题图2-2解：由电路的基尔霍夫电流定律可得： （1）根据电容特性， （2）由电路的基尔霍夫电压定律可得： （3）将

2、代入（2）得（4）代入（4）得，整理得， （5）将，即代入（5）得整理得，2.3某连续系统的输入输出方程为 已知，,，试计算和值。解：将输入代入系统方程可得采用冲激函数匹配法求和方程右端的冲激函数项最高阶数为，设，则有：，将其代入原系方程，得所以2.4 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程如下， ，,试求其完全响应。解：（1）求齐次解特征方程为：特征根为：所以，（2）求特解（3）全响应将代入系统方程得 （1）将初始条件代入得：所以全响应为：2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为，当激励为时，系统的完全响应为，。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。解：由全响应得初始条件

3、，（1）求零输入响应特征方程为，特征根为，所以代入初始条件，解得，所以， （2）求零状态响应（3）2.6 已知某线性时不变系统的方程式为试求系统的冲激响应h(t)。 解：方程右端的冲激函数项最高阶数为，设，则有：，将其代入原系方程，得2.7若描述系统的微分方程为试求系统的阶跃响应。解：由题可知：阶跃响应：2.8已知某线性时不变(LTI)系统如题图2.8所示。已知图中，,试求该系统的冲激响应。 题图2.8解：利用系统串联与系统并联的冲激响应求解2.9 设系统的微分方程表示为，求使完全响应为时的系统起始状态和，并确定常数。解：引入微分算子，则原微分方程可变换为：又由原微分方程知特征根为：所以：2.

4、10 已知某连续系统的微分方程为 若系统的初始条件和，输入信号，求系统的零输入响应，零状态响应和完全响应。（1）零输入响应满足方程其值方程特征根，故零输入响应将初始值代入上式及其导数，得由上式解得，所以（2）零状态响应是初始状态为零，且时，原微分方程的解，即满足方程即 及初始状态。先求和，由于上式等号右端含有，令积分(从到)得将、和代入微分方程可求得。对以上三式等号两端从到积分，并考虑到，可求得解上式，得，。对于,微分方程可写为不难求得其齐次解为，其特解为。于是有将初始值代入上式及其导数，得由上式可求得，所以系统的零状态响应为（3）全响应2.11已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为

5、时，其全响应为 ；当激励为时，其全响应为 求：(1)初始条件不变，当激励为 时的全响应，为大于零的实常数。 (2)初始条件增大1倍，当激励为时的全响应。解：系统的全响应是由零输入响应和零状态响应组成的，零输入响应与系统的状态呈线性关系，零状态响应与系统的输入呈线性时不变关系。设 （1）则根据零状态响应线性可得 （2）联立（1）、（2）得（1）初始条件不变，激励为 时，则（2）初始条件增大1倍，当激励为时2.12 求下列各函数和的卷积（1） 和 （2） 和 （3） 和 （4） 和 （5） 和 （6）,解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）当即时，当即时，故有2.13已知某线性时不变系统数学模型

6、为且，试用卷积积分法求当输入激励为的零状态响应。解：冲激响应满足不难求得其值分别为特征方程为其特征根，。故系统的冲激响应将初始条件，代入上式，得，所以，由此，故不含。零状态响应是冲激响应与激励的卷积积分，即2.14某LTI连续系统有A、B、C三部分组成，如题图2.14所示。已知子系统A的冲激响应 子系统B和C的阶跃响应分别为，系统输入试求系统的冲激响应、阶跃响应和零状态响应。 题图2.14解：根据LTI系统的微分特性，可得所以系统的单位冲激响应根据LTI系统的积分特性，系统的阶跃响应零状态响应2.15已知某LTI连续系统的冲激响应，输入。 若以为初始观察时刻，试求系统的零输入响应和零状态响应，

7、并画出波形。解：（1）由系统零输入响应的定义可知在之前的激励为可知零输入响应为（2）由系统零输入响应的定义可知在开始的激励为可知零状态响应为2.16已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如题图2.16所示，求该系统对激励的零状态响应。题图2.16解：对激励和响应分别微分一次，得当激励为响应为即当激励为时的零状态响应为2.17 利用卷积的性质证明冲激响应与阶跃响应的关系是微积分的关系。证明：设冲激响应的傅立叶变换为 阶跃响应为 利用卷积定理可知阶跃响应傅理叶变换为由傅立叶变换的积分性质可知冲激响应与阶跃响应的关系是微积分的关系2.18解：（1）由对应 而令得可得（2）状态响应为 （3）由图可知系统的冲击响应为零状态响应