微积分课件：3-5 微分的简单应用

1、1小结小结 3.5 微分的简单应用微分的简单应用第第3 3章章 导数与微分导数与微分近似计算近似计算估计误差估计误差2例例解解,2rA 设设,cm10 r05. 0102 ).cm(2 .)(0 xxf yyd , 0)(0 xf. y 用用来来近近似似计计算算.cm05. 0 rrr 2A rAr Ad 一、近似计算一、近似计算1. 计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值半径半径10cm的金属圆片加热后的金属圆片加热后, 半径伸长了半径伸长了0.05cm, 问面积增大了多少问面积增大了多少?,很小时很小时且且 x 3.5 微分的简单应用微分的简单应用所以所以3例例解解,2glT ).s (

2、0002. 0 ,cm01. 0 lT lTl 钟摆的周期原来是钟摆的周期原来是1s. 在冬季在冬季, 摆长缩短了摆长缩短了3.5 微分的简单应用微分的简单应用0.01cm, 问这钟每天大约快多少问这钟每天大约快多少?设单摆的周期为设单摆的周期为T, 摆长为摆长为l,由物理知识由物理知识, 所以所以Td , s1 T由由(g为重力加速度为重力加速度)lgl )01. 0(22 gcmgl24 得得表明表明:由于摆长缩短了由于摆长缩短了0.01cm, 摆的周期也缩短了摆的周期也缩短了大约大约0.0002s, 因此每天大约快因此每天大约快:).s (28.17 0002. 0)606024(T与与

3、l的关系式的关系式:4)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 2. 计算函数的近似值计算函数的近似值)(0 xx x曲线曲线处处在点在点)(,()(00 xfxxfy 的切线的表达式的切线的表达式.通常称为函数通常称为函数 y = f (x)的一次近似或线性近似的一次近似或线性近似.附近的近似值附近的近似值在点在点求求0)()1(xxxf 3.5 微分的简单应用微分的简单应用50360cos0 故故例例.0360cos0的的近近似似值值计计算算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为弧度为弧度xxxf ,30 x令令.

4、,)()(00要很小要很小要容易算要容易算与与xxfxf xxfcos)( 就是函数就是函数360 x.3603处的值处的值在在 x)3603cos( xxfxfxxf )()()(0003.5 微分的简单应用微分的简单应用所以所以63603sin3cos 3602321 .4924. 0 )3603cos(0360cos0 xxfxfxxf )()()(00036030)(cos xxxx 30cosxx3.5 微分的简单应用微分的简单应用所以所以7常用的几个一次近似式常用的几个一次近似式)|(|很小时很小时x附附近近的的近近似似值值在在点点求求0)()2( xxf.)0()0()(xffx

5、f ,)()()(000 xxfxfxxf , 00 x令令. xx );(sin)2(为弧度为弧度xxx );(tan)3(为弧度为弧度xxx .)1ln()5(xx 2. 计算函数的近似值计算函数的近似值;111)1(xnxn ;1e)4(xx 3.5 微分的简单应用微分的简单应用所以所以8021. 01021. 1 证证,)1(1)(11 nxnxf, 1)0( fxffxf)0()0()( .1nx 例例.021. 13的近似值的近似值求求解解33021. 01021. 1 知知021. 0311 xffxf )0()0()(.1)0(nf xnxn111 由公式由公式x,1x n(1

6、)xnxn111)1( )(xf设设.007. 1 )|(|很小时很小时x3.5 微分的简单应用微分的简单应用所以所以9例例解解.e)2(;5 .998)1(03. 03 35 .99830015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 0e .97. 0 xx 1e03. 01 (1)(很小时很小时x35 . 11000 (2)(很小时很小时x)10005 . 11 (1000 3计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值.xnxn111)1( 3.5 微分的简单应用微分的简单应用10由于测量仪器的精度、条件和方法等各种由于测量仪器的精度、条件和方法等各种因素的影响因

7、素的影响, 测得的数据往往带有误差测得的数据往往带有误差,带有误差的数据计算所得的结果也会有误差带有误差的数据计算所得的结果也会有误差,把它称为把它称为|aA |aaA 间接测量误差间接测量误差. .而根据而根据称为称为 a的的绝对误差绝对误差; ;称为称为 a的的相对误差相对误差. .某个量的精度值为某个量的精度值为A, 其近似值为其近似值为a,3.5 微分的简单应用微分的简单应用二、估计误差二、估计误差11问题问题在实际工作中在实际工作中, 绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得办法办法 将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内.,A 又知道它的误差不超过又知道它的误

8、差不超过AaA 即即的的称为测量称为测量AA AaA称为测量称为测量| 绝对误差限绝对误差限 ,的的相对误差限相对误差限 .)()(某个量的精度值为某个量的精度值为A, 测得它的近似值是测得它的近似值是a, 3.5 微分的简单应用微分的简单应用12根据直接测量的根据直接测量的x值按公式值按公式 y = f (x)计算计算y值时值时, 如果已知测量如果已知测量x的绝对误差限是的绝对误差限是,x 即即,|xx 那么那么, ,0时时当当 y y的绝对误差的绝对误差|d|yy 即即y的的绝对误差绝对误差(限限)约为约为;|xyy 即即y的的相对误差相对误差(限限)约为约为一般一般,|xy ,|xy .

9、|xyyyy 3.5 微分的简单应用微分的简单应用13例例,005. 041. 2求出它的面积求出它的面积米米正方形边长为正方形边长为 解解.2xy 则则,41. 2时时当当 x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 ).(0241. 02m %.4 . 0 ,005. 0 x yy y的的绝对误差绝对误差(限限)约为约为xyy |面积面积y的的绝对误差绝对误差(限限)为为面积面积y的的相对误差相对误差(限限)为为8081. 50241. 0 xyy |设正方形边长为设正方形边长为x, 面积为面积为y,边长边长x的绝对误差为的绝对误差为并估计绝对误差与相对误差并估计绝对误差与相对误差. y的的相对误差相对误差(限限)约为约为| yy 005. 082