信号与线性系统

1、第第5 5章章 续系统的复频域分析续系统的复频域分析 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 线性系统的拉氏变换分析法线性系统的拉氏变换分析法 连续时间系统函数与系统特性连续时间系统函数与系统特性5.1 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 在前一章中,用傅里叶变换可以将信号映射至频率域,引出了信号与系统的频域分析法。信号如果满足狄里赫莱条件,即信号绝对可积,则信号的傅里叶变换存在。( )f t dt（5 2） 5.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号f(t)之所以不满足绝对可积的条件,是由于当t或t-时,f(t)不收敛,即 lim

2、( )0tf t（52） 0( )0btatetf tet()()1() ( )( )( )()( )1( ) ()()21( )()2ttj tjtjttj tjtF f t ef t eedtf t edtFjf t edtf t eFFjFjedf tFjed它是+j的函数,可以写成F(+j)的傅里叶反变换为将上式两边乘以et得到（53） （54） （55） （56） 可见式（54）和式（56）构成一对积分变换。为了使表述更为简洁,令s=+j为复频率,从而ds=jd,当=时,s=j,于是式（54）可改写为( )( )1( )( )2ststjF sf t edtf tF s e dtj

3、式（56）可改写为 （57） （58） ( )( )Lf tF s（59） 由于实际物理系统中的信号都是有始信号,即t0是必要的,因为f(t)为有始信号,若a0的规定对单边拉氏变换是必要的,因为若t00,b0,则（524） 例52 设f(t)=sin0t,因而 ,若t00,试求下列信号的拉氏变换: （1）f(t-t0)=sin0(t-t0); （2）f(t-t0)u(t)=sin 0(t- t0)u(t); （3）f(t)u(t-t0)=sin 0 tu(t- t0); （4）f(t-t0)u(t-t0)=sin 0(t- t0)u(t- t0)。 解 四种信号如图5.2(a)、(b)、(c)

4、、(d)所示。 0020( )sinF sLts 图5.2 例5-2图 0tt0)(sin00tt (a)0tt0)()(sin00tutt(b)0tt0(c)0tt0(d)(sin00ttut)()(sin000ttutt 对于（1）和（2）两种信号t0的波形相同,因此它们的拉氏变换也相同,即120000 000 000 00 0220( )( )sin()sincoscossincossinF sF sLttLtttttsts 对于信号（3）,它的拉氏变换是0000000003000()()()()0000 00 0220( )sin()sin1212cossinsttsjtsjttsjt

5、sjtstF sLt u ttt edteedtjeejsjsjtstes 对于信号（4）,它的拉氏变换是000000 0000 0000004000()()()()00022000( )sin()()121212jt tjt tsttjtsjtjtsjtstststF sLttu tteeedtjeeeejsjsjeeej sjsjs 例53 求图5.3所示锯齿波f(t)的拉氏变换。 解 首先写出f(t)的时域函数表达式 图5.3 例53图 ( ) ( )()( )()Ef tt u tu tTTEEt u tt u tTTT0ETtf (t)应用拉氏变换的时移特性,有222( ) ( )(

6、 )()( )()()( )()()()11()1(1)sTsTsTEEF sL f tL t u tL t u tTTTEEL t u tL tTTu tTTTEEEL t u tL tTu tTL T u tTTTTETeeTsssEsT eTs 例54 试求图5.4(a)所示单个正弦半波信号f(t)的拉氏变换。 图5.4 例54图 0Etf (t)0tT2TEE2T0tTEE2Tfa(t)fb(t) 解 把单个正弦半波信号f(t)分解成如图5.4(b)所示的单边正弦信号fa(t)和如图5.4(c)所示的延时T/2的单边正弦信号fb(t)之和,即 应用拉氏变换的时移特性,有22( )( )

7、( )sin()( )sin()()22abTTf tftf tEt u tEtu tTT( ) ( )( )( )22sin()( )sin()()22abF sL f tL ftL f tTTL Et u tL Etu tTT2222222222()()22()()2()(1)2()sTsTEETTessTTETesT 例55 试求图5.5所示的正弦半波周期信号的拉氏变换。 解 在例54中我们已求得从t=0开始的单个正弦半波（亦即本题第一个周期的波形）的拉氏变换为 图5.5例 55图 21222()1( ) ( )(1)21()sTTsETF sL f teesT0tE2Tf (t)T2T

8、因此,利用式（525）可直接解出22222222222()1( ) ( )(1)21()2()(1)2()(1)2()12()(1)sTTssTsTsTETF sL f teesTEeTseTETseT 例56 试求图5.6所示信号 f(t)=e-2tu(t-2)-u(t-4)的拉氏变换。 解为了正确应用拉氏变换的时移特性,有时必须对时域信号f(t)进行恒等变形,大家对此应熟练掌握。 图5.6 例5-6图 0tf (t)241222(2)42(4)8( )(2)(4)(2)(4)ttttf teu teu teeu teeu t于是 4228242(2)4(2)( ) ( )2tstsssF

9、sL f te L eee L eeees(526） 例57 求f(t)=e-tcos0tu(t)的拉氏变换。 解 因为 0122001220cos( )( )cos( )()()sTsLt u tF sssaL et u tF sasa利用拉氏变换的频移特性 可见,利用性质求解信号的拉普拉斯变换比直接求解简单得多。 5. 时域微分 若12(1) ( )( )( )( )(0 )( )( )(0 )(0 )(0 )nnnnnnL f tF sdf tLsF sfdtd f tLs F ssfsffdt（527） （528） 式中f(0-)及f(n)(0-)分别表示f(t)及f(t)的n阶微分f

10、(n)(t)在t=0-时的值。 证明:根据拉氏变换定义0( )( )stdf tdf tLedtdtdt 积分下限取0-是把f(t)中可能存在的冲激信号也包含在积分中。应用分部积分法,则有 00( )( )()( )( )(0 )ststd tLef ts ef t dtsF sfdt式（527）得证。 同理可得22220002( )( )( )( )( )(0 )( )(0 )(0 )ststtd f td f td df tLedtedtdtdtdtdtdf tsF sfdts F sff 依此类推,可得式（528）。 若f(t)为单边信号,则式（527）中由于f(0-)=0而简化为 (

11、)( )( )d f t u tLsF sdt 例58 已知 分别如题图5.7(a)、(b)所示,试求f1(t)与f2(t)的拉氏变换。 120( )( ),( )10atatetf teu tf tt图5.7 例58中两信号的波形 01tf1(t)(a)01tf2(t)1(b) 解 因为111212( )( )( )1( )( )2 ( )( )2( )21( )(0 )ststdfteu tdtdLf tsF sdtssdf tteu tdtdsLf tsF sfdtsss 式中, 211( )( ),(0 )1.F sF sfs 例59 利用时域微分性质,重求例53（图5.3）所示锯齿波

12、的拉氏变换。 解 因为 ( ) ( )()Ef tt u tu tTT( )( )( )()()( )()()( )()()EEEEf tttu tttTu tTTTTTEEEu tTtTu tTTTTEEu tEtTu tTTT( )( )()()EEfttEtTtTTT( )(1()(1(1)sTsTsTsTsTEEEL ftE s eeTseeTTTEsT eT 由时域微分性质,又因f(0-)=f(0-)=0,有 Lf(t)=s2F(s),故得2(1(1)( )sTEsT eF sFs 6. 时域积分 若0( 1)0( 1)0 ( )( )1( )( )11( )( )(0 )(0 )(

13、 )( )LtLtttL f tF sfdF ssfdF sfssffdfd 证明: 根据拉氏变换的定义0000000( )( )1( )( )( )ttststttstLfdfdedteLfdfdf t edtss 应用分部积分法可得 当t或t=0-时,上式右边第一项为零,所以 01( )( )LtfdF ss 例510试通过阶跃信号u(t)的积分求斜坡信号tu(t)及tnu(t)的拉氏变换。 解 因为 0211( ) ( )( )( )1 11( )( )!( )tnnF sL u tstu tudL t u ts ssnL t u ns而奇异信号之间的微积分关系有重复应用时域积分,可得

14、5.2.2 拉氏变换的卷积及初、终值定理 和傅氏变换类似,拉氏变换除了上述的基本特性之外,在时域和复频域之间卷积积分,信号乘积、初值和终值的计算也存在着一些重要的映射关系,它们在系统分析中具有重要的作用。下面逐一介绍。 1.时域卷积 若 11221212( )( );( )( )( )( )( )( )L f tF sL f tF tL f tf tF s F t（532） 例511 已知某LTI系统的冲激响应h(t)=e-tu(t),试用时域卷积定理求解输入信号f(t)=u(t)时的零状态响应yf(t)。( )( )( )( )( )( )ffytf th tYsF s H s根据时域卷积定

15、理有 式中H(s)=Lh(t)称为系统函数。由于 1( )( )1( )( )1LLf tF ssh tH ss 2.时域乘积 若 故 1111( )( )( )(1)1( )( )( )(1)( )fttfYsF s H sssssYtu te u teu t对上式取拉普拉斯逆变换,得 11221212( )( ); ( )( )1( )( )( )( )2L f tF s L f tF sL f tf tF sF sj（533） 式（533）表明,两个信号时域乘积对应到复频域为复卷积,复卷积的定义是1212( )( )( )()jjF sF sF u F su du （534） 3. 复频

16、域微分 若( )( )( )( )( )( 1)( )Lnnnnf tF sdF sLt f tdsd F sLtf tds（535） （536） 例512 试求信号f(t)=t2e-t u(t)的拉氏变换。 解 令 。由复频域微分,得 1111( )( )( )( )tf teu tF tL f tsa22211223( )2( )()( )()2( ) ( )()Latd F st eu ttf tdssaF sL f tsa 4. 初值定理 若 ( )( )lim( )tL f tF ssF s 存在,则f(t)的初值且 0(0 )lim( )lim( )tsff ts F s（537）

17、 5. 终值定理 若 存在,则f(t)的终值 ( )( ),lim( )tL f tF sf t0( )lim( )lim( )ttff ts F s （538） 例513 已知复频域 中,试求时域中f(t)的初值和终值。 1( )1F ss00(0 )lim( )lim11( )lim( )lim01sssssfs F sssfs F ss 表52 拉氏变换的性质 5.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 5.3.1 部分分式展开法 常见的拉氏变换式是复频域变量s的多项式之比（有理分式）,一般形式是11101110( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbN sF sa sasa saD

18、 s（539） 式中,N(s)和D(s)分别是F(s)的分子多项式和分母多项式,an,bm等是实数。在分解F(s)为许多简单变换式之前,应先检查一下F(s)是否是真分式,即保证nm。若不是真分式,需利用长除法将F(s)化成如下形式。21012( )( )( )( )( )m nm nN sN sF sBB sB sBsD sD s（540） 3222( )32714( )35( )11N sssssF ssD sssss 1. D(s)=0的根都是实根且无重根 D(s)是s的n次多项式,可以分解为n个因子的乘积,即 D(s)=an(s-s1)(s-s2)(s-sk)(s-sn) 这里先假定s1

19、、s2、sn是互不相等的实根,于是F(s)便可以展开为部分分式之和。即121212( )( )( )( )()()()()1nknknnknN sN sF sD sassssssssKKKKassssssss（541） 式中,K1、K2、Kn为n个待定系数。 为了确定系数Kk,可以在式（51）的两边乘以因子(s-sk),再令s=sk,这样式（541）右边只留下Kk项,便有( )()( )( )()( )kkKks snKnks sN sKssD saN sKassD s（542） 求得系数Kk后,则与 对应的时域函数可由表51查得为 kkKss1111111( ) ( )( )111( )()

20、( )kkkks tkkknkknknns ts tkks skknnKLK essD sLF sLD sKLassN sK esseaaD s（543） （544） 例514 求的原函数f(t)。 解 首先将F(s)化为真分式 32322152515( )6116sssF ssss23232123212332233( )26116( )6116(1)(2)(3)1,2,32336116123ssF ssssD ssssssssssssKKKssssss 所以F(s)的真分式可展成部分分式 系数K1、K2、K3可由式（542）求得为113121212222223( )()( )(233)1 (

21、1)(1)(2)(3)(233)1(2)(3)(233)1 (2)(1)(2)(3)(233)1(1)(3)(233)1 (3)(1)(2)(3)s sssssN sKassD sssssssssssssKssssssssssKssss 323(233)6(1)(2)ssssss 于是F(s)可展开为 1111123156( )2123156( ) ( )21232 ( )56(0)tttF ssssf tLF sLLLLsssteeet 2. D(s)=0的根有复根且无重根 若 D(s) =an(s-s1)(s-s2)(s-sn-2)(s2+bs+c) =D1(s)(s2+bs+c) 式中,

22、D1(s)=an(s-s1)(s-s2)(s-sn-2),s1,s2,sn-2是(n-2)个D(s)=0的不相等的实根。 二次三项式(s2+bs+c)中若b20,如图5.8所示。 当t0时,圆弧应补在直线左边,如图5.8中的CR1;而当t0的左边,因而CR1与直线所构成的闭合围线包围了F(s)est的所有极点sk,故有 而围线CR2在直线=C0的右边,CR2与直线所构成的围线不包含F(s)est的任何极点,故有 f(t)=0,t0 （553）1( )( )Re ( )02kjststs sjkf tF s e dss F s e dstj （552） 当F(s)为有理函数时,其留数可作如下计算

23、: （1）若sk为F(s)est的单极点,则 11Re ( )() ( )1Re ( )()( )(1)!kkkkststs sks srstrsts sks srs F s ess F s eds F s essF s erds（554） （555） （2）若sk为F(s)est的r重极点,则 例520 试用留数法求 的原函数f(t)。 解 因为s1=-1,s2=-2,s3=-3均为F(s)est的单极点,由式（553）有2233( )(1)(2)(3)ssF ssss12321222233233Re ( )(1)(1)(2)(3)233Re ( )(1)5(1)(2)(3)233Re (

24、)(1)6(1)(2)(3)ststts ssststts ssststts sssss F s eseessssss F s eseessssss F s eseesss 3131( ) ( )Re ( )56,(0)stttkf tLF ss F s eeeet故 5.4 线性系统的拉氏变换分析法线性系统的拉氏变换分析法 拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具,它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程,便于运算和求解;同时,它将系统的初始状态自然地含于象函数方程中,既可分别求得零输入响应、零状态响应,也可一举求得系统的全响应。 5.4.1 微分方程的拉氏变换解 设LTI系统的激励为f

25、(t),响应为y(t),描述n阶系统的微分方程的一般形式可写为1110111101( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd y tdy tdy taaaa y tdtdtdtd y tdy tdy tbbbb y tdtdtdt(556) 对上式两边取拉普拉斯变换,并假定f(t)是因果信号（有始信号），即t0时,f(t)=0,因而 (1)(0 )(0 )(0 )(0 )0nffff 利用时域微分性质,有 1(1)2112(2)1111100( )( )(0 )(0 )(0 )( )( )(0 )(0 )( )( )(0 )( )( )nLnnnnnnnnLnn

26、nnnnLLd y taa s Y ssysyydtdy taasY ssyydtdy taa sY sydta y ta Y s （557） 111111100( )( )( )( )( )( )( )( )mLmmmmmLmmmmLLd f tbb s F sdtdf tbbsF sdtdf tbbsF sdtb f tb F s (558) 式（557）中y(i)(0-)表示响应y(t)的i阶导数的初始状态。将式（52）与（523）代入式（556）,可得1110111012112312(2)1(1)() ( ) ( )() (0 )()(0 )()(0 )(0 )n nnnmmmmnnn

27、nnnnnnnnnna sasa sa Y sb sbsbsb F sa sasa ya sasaya saya y（559） 代入式（559）,则得111011101( )0() ( )() ( )( )(0 )nnnnmmmmniiia sasa sa Y sb sbsbsb F sA s y（560） 可见,时域的微分方程通过取拉氏变换化成复频域的代数方程,并且自动地引入了初始状态。响应的拉普拉斯变换为1( )111001111110110( )(0 )( )( )( )( )nimmimminnnnnnnnfsA s yb sbsbsbY sF sa sasa saa sasa saY

28、sY s111011110( )( )( )( )( )mmfmmnnnnYsb sbsbsbN sH sF sa sasa saD s（561） （562） 图5.9 系统的复频域框图 1ansn an1sn1 a1s a0bmsm bm1sm1 b1s b0ansn an1sn1 a1s a0Yx(s)Yf (s)Y(s)F(s)0()()(10iniiYsA初始状态响应激励1111( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )1( )( )( )( )fxfxY sYsY sH s F sT sD sy tyty tLY sLH s F sLT sD s（563）

29、系统响应y(t)为 （564） 例523描述某LTI连续系统的微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t) 已知输入f(t)=u(t),初始状态y(0-)=2,y(0-)=1。试求系统的零输入响 解 对微分方程取拉普拉斯变换,可得 s2Y(s)-sy(0-)-y(0-)+3sY(s)-3y(0-)+2Y(s)=2sF(s)+6F(s)即 (s2+3s+2)Y(s)-sy(0-)+y(0-)+3y(0-)=2(s+3)F(s) 可解得22( )( )( )2(3)(0 )(0 )3 (0 )( )3232fxY sYsY sssyyyF sssss 将 和各初始值代入上式

30、,得1( ) ( )F sL u ts222(3)12(3)( )32(1)(2)341122727( )32(1)(2)5312fxssYtssss sssssssY tssssss 对以上二式取逆变换,得零状态响应和零输入响应分别为1212212( )( )(34)( )( )( )53,0( )( )( )32,0( ) ( )32,0ttffttxxttfxttytLYseeu ty tLY seeety tyty teety tLY seet系统的全响应 或直接对Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应。 直接求全响应时,零状态响应分量和零输入响应分量已经叠加在一起,看不出不同原因引起的

31、各个响应分量的具体情况。这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引入了初始状态。简化了微分方程的求解。 例524如图5.10所示电路中,已知C= 1/ 2 F,R1=2,R2=2,L=2H,激励iS(t)为单位阶跃电流u(t)A,电阻R1上电压的初始状态u1(0-)=1V,u1(0-)=2V,试求该电路的响应电压u1(t)。 图5.10 例524图 u1(t)iL(t)iS(t)CR1R2L 解 先列写该电路的数学模型 由KCL111112( )( )( )( )( )( )0LSLLdu tu tCii tdtRdi tu tR i tdt由KVL 代入元件值,消去中间参量iL(t)可得微分方程2

32、11122111111( )( )( )22 ( )22 ( )( )(0 )(0 )2( )(0 )2( )2( )2( )SSSSd u tdu tdi tu ti tdtdtdts U ssuusU suU ssIsIs 5.4.2 电路的s域模型 时域的KCL方程描述了在任意时刻流出（或流入）任一节点（或割集）电流的方程,它是各电流的一次函数,若各电流ik(t)的象函数为Ik(s)（称其为象电流）,则由线性性质有 1( )0nkkIs(565) 1( )0nkkUs(566) 1. 电阻R 因为时域的VAR为u(t)=Ri(t),取拉氏变换有 2.自感L 对于含有初始值iL(0-)的自

33、感L,因为时域的VAR有微分形式和积分形式两种,对应的s域模型也有两种形式1( )( )( )( )( )2U sRI sI sU sGU s(567) 0( )( )( )( )(0 )11(0 )( ) (0 )( )( )( )LLLtLLdi tu tLU ssLI sLidtii t iudI sU sLsLs(568) (569) 式（568）表明,电感端电压的象函数等于两项之差。它是两部分电压相串联,其第一项是s域感抗sL与象电流I(s)的乘积;其第二项相当于某电压源的象函数LiL(0-),可称之为内部象电压源。这样,自感L的s域串联形式模型是由感抗sL与内部象电压源LiL(0-

34、)串联组成,这里应特别注意内部象电压源LiL(0-)的极性与U(s)相反,如表53所示。 表53 电路元件的s域模型 3.电容C 对于含有初始值uC(0-)的电容C,用与分析自感s域模型类似的方法,同理可得电容C的s域模型为011(0 )( )( )(0 )( )( )( )( )( )( )(0 )LtCCLCuu tidtuU sI sCsCsdu ti tCI ssCu sCudt(571) (570) 过程中要特别注意三点: (1) 对于具体的电路,只有给出的初始状态是电感电流和电容电压时,才可方便地画出s域等效电路模型,否则就不易直接画出,这时不如先列写微分方程再取拉氏变换较为方便;

35、 (2) 不同形式的等效s域模型其电源的方向是不同的,千万不要弄错; (3) 在作s域模型时应画出其所有内部象电源,并特别注意其参考方向。 例525试求图5.11(a)所示的电流i(t)。已知:R=6,L=1H,C=0.04F,US(t)=12sin5tV,初始状态 iL(0-)=5A,uC(0-)=1V。 图5.11 例525图 uC(t)i(t)uS(t)LRCI(s)US(s)sLRLi(0)1sCuC(0)1s(a)(b) 解 本题s域模型如图5.11(b)所示。其中2222560( )1255(0 )1 55111(0 )1SCUsssL iusss 由KVL可得 11() ( )(

36、 )(0 )(0 )SCRsLI sUsLiusCs1(0 )(0 )( )( )( )( )11( )( )11(0 )(0 )( )1CSfxSfCxL iuUssI sIsIsRsLRsLsCsCUsIsRsLsCL iusIsRsLsC为零状态响应的象函数,是由输入引起的; 为零输入响应的象函数,是由初始条件引起的。 先计算If(s)。将R、L、C的数值代入得 2222( )60( )1(3)4 (5 )SfUssisssRsLsL 应用部分分式展开式,可写成112213425133( )343455(34)( )1.251.25 90(5)( )190( )( )2.5cos(490

37、 )2cos(590 ) ( )( 2.5sin42sin5 )( )fofsjofsjtoofftKKKKIssjsjsjsjKsjIsjKsjIsjitLIsettu tett u t 例526 试求图5.12(a)所示电路的u2(t)。已知初始条件u1(0-)=10V;u2(0-)=25V;电压uS(t)=50cos2tu(t)V。图5.12 例526图 u2(t)uS(t)u1(t)20 24 30 148F124FU1(s)U2(s)20 24 30 104848s252424s(a)(b)50ss24 解 作s域模型如图5.12(b)所示。注意,初始条件以内部象电流源形式表出便于使

38、用节点分析法。 列写象函数节点方程 121221110()( )( )244824481111525( )()( )24243024202(4)24sU sUsssU sUss1212213222221422(2)210( )60( )(3)( )254102( )( )225120220240( )(1)(4)(4)2316122433( )1442316( )( )(12cos212sin2 )( )33sttsUUsU ssUssUsU sssssUsssssUssssUsLUseett u t V 例527 图5.13(a)所示电路,开关K在t=0时闭合,已知uC1(0-)=3V,uC

39、2(0-)=0V,试求开关闭合后的网孔电流i1(t)。 图5.13 例527图 uC1(0)i1(t)3 C11 FC22 Fi2(t)t0I1(s)I2(s)1s3s12s3(a)(b)KuC2(0) 解 适宜用网孔法求解,初始条件以内部象电压形式表示。s域模型如图5.13(b)所示。网孔方程为1212119111113() ( )( )2211( )(3)( )0221619( )3219191( ) ( )2 ( )( )9tI sIsssssI sIssssI sssi tLI steu t A取拉氏反变换 5.4.3 系统函数与s域分析法 系统函数H(s)是零状态响应的拉氏变换与激励

40、的拉氏变换之比,即 11101110( )( )( )( )( )mmfmmnnnnYsb sbsbsbN sH sF sa sasa saD s(572) 从上式可以看出,系统函数与系统的激励无关,仅决定于系统本身的结构和参数。系统函数在系统分析与综合中占有重要的地位。下面讨论如何围绕系统函数进行系统分析。 由于( )( )( )fYsH s F s 当系统的激励为(t)时,零状态响应为h(t),故 即系统的冲激响应h(t)与系统函数H(s)构成了一对拉普拉斯变换对,h(t)和H(s)分别从时域和复频域两个角度表征了同一系统的特性。 为了说明H(s)在系统分析中的重要作用,我们把应用s域分析

41、法求解系统响应的求解步骤归纳如下: ( )( ) ( )( )L h tH s LtH s(573) (1)计算H(s),实际上就是给系统一个激励,计算出输出Yf(s)与F(s)的比值。也可以由系统的结构及数学模型直接求得。一旦求得H(s),系统对于任何激励的响应均可以利用该特性得到。 (2)求输入f(t)的变换式F(s)。 (3)求零状态响应yf(t),可以从F(s)H(s)的反变换中求出。 以上求解系统响应过程,可由图5.14表述。如果系统本身存在初始储能,系统的完全响应还应考虑零输入响应。下面举例说明如何围绕H(s)分析系统。 图5.14 系统的s域分析示意图 系统 H(s)LL1f (

42、t)F(s)F(s) H(s)yf (t) 例528 图5.15所示串联电路,已知C=1/2/F,输入激励u(t)=tu(t),初始状态iL(0-)=0,uC(0-)=1/3, 试求系统响应uR(t)。 图5.15 例528图 uR(t)iL(t)uS(t)RCLuC 解 首先应用拉氏变换法求解系统响应。按KVL及VAR列写时域微分方程式,可得( )1( )( )( )( )( )tLLLSRLdi tRi tLidu tdtCutR i t 对以上方程组取拉氏变换,可得( )(0 )( )( )(0 )( )( )( )LCLLLSRLIsuRIsL sIsiUssCsUsR Is 解此象函

43、数方程组,得2222(0 )(0 )( )( )111LCRSRRsss RiuLLUsUsRRRssssssssLLCLLCLLC将已知数据代入,其中 21( )( )SUSL t u ts(574) 222222121313033( )323232313222(32)1231( )( )2,022RttRRsssUsssssssssssssssssUsLUseet对上式取拉氏反变换,可得时域响应为 (575) 此例中,若设初始状态为零,则系统对于输入uS(t)的系统函数H(s)为22( )( )1( )2(0 )( )( )( )(0 )11RfSCRSLRsUsLH sRUssLLCRR

44、ssuLLUsH s UsiLRRsssssLLCLLC 于是,式(574)可以表示为 实际上,上式还可表示为12(0 )( )( )( )( )(0 )( )CRSSLSuUsH s UsHs L iHss 例529 利用s域等效模型重解例528。 解 根据线性系统的叠加性,可以把系统的完全响应分解为零状态响应,单独由电感初始储能作用而产生的零输入响应和单独由电容初始储能而形成的零输入响应。相应的s域等效电路如图5.16所示。 图5.16 s域等效电路图 (a)零状态等效电路；(b)仅电感有储能的等效电路；(c)仅电容有储能的等效电路 US(s)sLLiL(0)1sCUR(s)RsL1sCU

45、R(s)RsL1sCUR(s)RuC(0)s(a) 零状态等效电路(b) 仅电感有储能的等效电路(c) 仅电容有储能的等效电路 三个等效电路实际上是激励点不同,输出相同的三个系统。根据H(s)的定义很容易写出三个系统的系统函数H(s),HS1(s)和HS2(s)。 激励为US(s)时,212( )11( )11SRsRLH sRsLRsssCLLCRsRLHsRsLRsssCLLC激励为LiL(0-)时, 2212( )11(0 )( )( )( )(0 )SCRSSLSRsRLHsRsLRssCLLCuUH s UsHs L iHs（576） 因此,系统完全响应的拉氏变换为 例530 电路及

46、元件参数同例528。输入为 u(t)=u(t),初始状态为iL(0-)=3A,u(0-)=-10V,试求输出uR(t)。 解 因为与例528相比较,系统结构、元件参数没有变化,所以系统函数与例528相同,仅仅是三个激励发生变化。因此,s域的完全响应仍为式(576)12(0 )( )( )( )( )(0 )( )1( ) ( )CRSSLSSuUsH s UsHs L iHssUsL u ts 代入已知量得 221231169123( )(3)323221( )( )123,0RttRRssUsssssssssURLUseet 通过例528、529、530,可以使我们进一步理解系统函数在系统分

47、析中的重要性。首先系统函数是对系统的一种描述,是复频域的系统特征量,从系统的输入输出端的特性或者说从系统对输入号的处理功能上来讲,了解了系统的H(s)也就了解了该系统。 例531 已知系统函数为 当输入f(t)=e-tu(t),初始状态y(0-)=3,y(0-)=2。试求响应y(t)。 解利用复频域分析法很容易求出系统的零状态响应yf(t)。 28( )(2)(3)sH sss1( ) ( )1281341( )( )( )(2)(3)1111fF sL f tssYsF s H sssssss123( )( )(34)( )ttffytLYseee t u t 下面求零输入响应,因为H(s)

48、有两个极点-2和-3,即Yx(s)亦有相同的极点（有时极点是不相同的,可参阅下一节）。 设23131212122323( )(0 )(0 )3(0 )(0 )23211,8( )118,0( )( )( )377,0ttxxxttxtttfxy tc ec eyyccyyccccy teety tyty teeet 根据初始条件可以求出c1和c2。 解上述方程可得 因此,完全响应为 通过上述讨论,不难发现复频域分析方法和频域分析方法基本相同,所不同的只是变量j延拓为s=+j。所以在频域中用H（j）表征系统特性,而在复频域中用H(s)表征系统特性,两者与系统的单位冲激响应h(t)的关系也是相同的

49、。即() ( )() ( )FLH jL h tH jL h t 例532 已知描述某系统的数学模型为 试求该系统的系统函数H(s)。解(1)在零状态下对常微分方程两边取拉普拉斯变换,得22( )( )( )32 ( )23 ( )d y tdy tdy ty tf tdtdtdt22( )3( )2( )2( )3 ( )( )23( )( )32ffffs YssYsYssF sF sYssH sF sss所以 (2) 亦可利用时域分析的方法求出h(t)。 因为22( )()( )1123( ) ( )1232tth teeu tsH sL h tssss 例533 试求图5.17所示电路

50、的系统函数 图5.17 例533图 (a)时域模型；(b)零状态s域模型 R1R2C2C1f (t)y(t)R1R2F(s)Y(s)1sC11sC2(a) 时 域模型(b) 零状态s域模型 解 画出零状态条件下系统的复频域等效电路,如图5.17(b)所示。s域模型图中,电阻R1与 并联,电阻R2与 串联,设复频域阻抗Z1(s)与Z2(s)分别为21sC21sC111111112222( )11( )RRsCz sRRC sRsCRRC sz sRsCC s 所以,系统函数H(s)为 2222122121121122212121122121( )( )1( )( )(1) (1)()1R CZs

51、C sH sRR CZ sZsRC sC sRC sR C sR R C C sRCR CRC s5.5 连续时间系统函数与系统特性连续时间系统函数与系统特性 5.5.1 系统函数的零点、极点及系统的固有频率 线性系统的系统函数,是以多项式之比的形式出现的,即11101110( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbN sH sa sasa saD s(577) 系统函数分母多项式D(s)=0的根称为系统函数的极点,而系统函数分子多项式N(s)=0的根称为系统函数的零点,极点使系统函数取值为无穷大,而零点使系统函数取值为零。 N(s)和D(s)都可以分解成线性因子的乘积,即112012

52、1()( )()()()( )( )()()()()mjjmmnnniiszH sbszszszH sHD saspspspsz(578) 把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形,叫做系统函数的零、极点图。其中零点用“”表示。极点用“”表示。若为n重极点或零点,则注以（n）。 例如某系统的系统函数为 它表明系统在原点处有二重零点,在s=-3处有一个零点;而在s=-1,s=-2-j1处各有一个极点,该系统函数的零、极点图如图5.18所示。 211(3)( )(1)(2)(2)ssH sssjsj图5.18 系统函数的零点、极点图 jjj123 研究系统函数的零、极点有下列几个方面的意义: （

53、1）从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率,进而了解系统冲激响应的模式,也就是说可以知道系统的冲激响应是指数型,衰减振荡型,等幅振荡型,还是几者的组合,从而可以了解系统的响应特性及系统是否稳定。 （2）从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性,从而可以分析系统的正弦稳态响应特性。系统的时域、频域特性都集中地以其系统函数或系统函数的零、极点分布表现出来。我们先来讨论系统的固有频率与极点的关系。 从第二章连续系统的时域分析可知,求解系统的零输入响应yx(t),首先应将n阶系统方程式写成齐次常微分方程 其特征方程式为 若上式具有n个不等的单实根1,2,，n,则系统的零输入响应为( )111

54、10( )( )( )( )0nnnytayta y ta y t(579)11100nnnpapa p a (580)1( )intxiiy tce(581) 对方程式（579）取拉普拉斯变换,并假设所有初始条件y(p)(0-)=0,p=0,1,2,(n-1),则可得到 (sn+a n-1 s n-1+a1s+a0)Y(s)=0 (582) 而系统函数H（s）的极点正好是式（582）中多项式等于零的根,即 sn+a n-1 s n-1+a1s+a0=0 (583) 例534已知系统的数学模型为 y(t)+5y(t)+4y(t)=f(t)+f(t) 激励f(t)=e-2t u(t),初始状态y

55、(0-)=1,y(0-)=1。试求yf(t),yx(t),y固(t),y强(t)及y(t)。 解 系统的特征方程为 p2+5p+4=0 特征根即系统的固有频率为p1=1,p2=-4。 于是设2(0 )13(0 )4153xxByAByABA 解得 42252( ),033( )5( )4 ( )( )( )( )111( )( )54(1)(4)41( ) ( )2ttxy teets Y ssY sY ssF sF sY sssH sF ssssssF sL f ts在零状态下对系统方程取拉氏变换,可以求出H（s） 2424421( ) ( )2111122( )( )( )242411(

56、)( )()( )22517( )( )( ),032657( ),0361( ),02fttfftttfxtttF sL f tsYsF s H sssssYtL Yseeu ty tYty teeety teety tet于是 所以 可以得到 其中,固有响应 强制响应为 5.5.2 系统函数的极点分布与冲激响应 H（s）的一阶极点与其所对应的冲激响应函数波形,如图5.19所示。由以上讨论可得如下结论: LTI连续系统的冲激响应的函数形式由H（s）的极点确定。 (1) 若H（s）的极点位于s左半平面,则冲激响应的模式为衰减指数或衰减振荡,当t时,它们趋于零,系统属于稳定系统。 (2) 若H（

57、s）的极点位于s右半平面,则冲激响应的模式为增长指数或增长振荡,当t时,它们趋于无限大,系统属于不稳定系统。 图5.19 H(s)的极点与所对应的响应函数 jtttttt0 (3) 若H（s）的单极点位于虚轴（包括原点）,则冲激响应的模式为等幅振荡或阶跃函数,系统属于临界稳定系统。 (4)若位于虚轴（包括原点）的极点为n重极点(n2),则冲激响应的模式呈增长形式,系统也属于不稳定系统。 5.5.3 系统函数的零极点分布与系统频响特性 系统的频率特性H（j）,其模|H(j)|是随变化的函数称为系统的幅频特性,相角（）称为系统的相频特性。如前所述,系统在频率为0的正弦信号激励下的稳态响应仍为同频率

58、的正弦信号,但幅度乘以|H(j0)|,相位附加（0）,|H(j0)|和（ 0 ）分别是H（j）和（）在0点之值。 当正弦激励信号的频率改变时,稳态响应的幅度和相位将分别随着H（j）和（）变化,H（j）反映了系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况,故又称系统的频响特性。 若H（s）的极点均位于s左半平面,令s=j,也就是在s平面上令s沿虚轴变化,则有H(s)|s=j=H(j),即为系统的频响特性。根据（s）在s平面的零、极点分布情况可以绘制出频响特性曲线,包括幅频特性|H(j)|曲线和相频特性()曲线,下面介绍这种方法。 由式（78）,系统函数（s）的表示式为 图.中画出了由零点zj和极点pi

59、与虚轴上某点j连接构成的零点矢量j-zj和极点矢量j-pi。图中j、Mi分别表示矢量的模,j、i分别表示矢量的相角,即101101()( )()()()()mjjnjimjjnjiszH sHspjzH jHjp(584)图. 零点矢量和极点矢量 jjpizj0MiNjijs平面1212() ()00101()10111()()()( )jjmmjjjjiijmmjmjjniimmjijijzN ejpM eH N NNH jeM MMH jeNH jHN (586) (587) (588) 当自-沿虚轴运动并趋于+时,各零点矢量和极点矢量的模和相角都随之改变,于是得出系统的幅频特性和相频特性

60、曲线。物理可实现系统的频响特性具有幅频特性偶对称,相频特性奇对称的特点,因此绘制频响曲线时仅给出从0即可。为了便于理解,在应用这种方法作频响特性之前,我们举例说明如何由s平面零极点分布用几何法确定频响特性曲线上一个特定点的数值。 例 已知系统函数32212,31( )2211( )(1)(1)131,22H ssssH ssssppj 试求=1时的H(j1)和 （1）。 解将（s）的分母多项式进行因式分解,得 在图5.21中分别给出各极点与j1点构成的各极点矢量,由几何关系求得 图5.21 例535图 jj1M10123M2M3123j23j112222223321.4144513( )(1)