中南大学数值

1、计 算 方 法数值分析Numerical Analysis潘建瑜潘建瑜华东师范大学数学系华东师范大学数学系科学计算科学计算q 科学计算科学计算 Scientific Computing (计算科学计算科学 Computational Science)l 使用数学、统计与计算器的技术，借助计算机高速计算的使用数学、统计与计算器的技术，借助计算机高速计算的能力，来解决现代科学、工程、经济或人文中的复杂问题能力，来解决现代科学、工程、经济或人文中的复杂问题 狭义的科学计算是针对某些特定的数学问题，设计有效的狭义的科学计算是针对某些特定的数学问题，设计有效的计算方法来求解，因此即为计算方法来求解，因此

2、即为数值计算数值计算/数值分析数值分析/计算方法计算方法u 科学计算是一门工具性、方法性、整合性的新学科，是各科学计算是一门工具性、方法性、整合性的新学科，是各种科学与工程计算领域（如：气象、地震、核能技术、石油种科学与工程计算领域（如：气象、地震、核能技术、石油探勘、航天工程、探勘、航天工程、 密码解译等）中不可缺少的工具密码解译等）中不可缺少的工具计算数学计算数学是科学计算的是科学计算的核心核心与与基础基础u 科学计算已成为当今科学研究的三种基本手段之一，是数科学计算已成为当今科学研究的三种基本手段之一，是数学将触角伸向其他学科的桥梁。学将触角伸向其他学科的桥梁。科学计算科学计算u 随着计

3、算机的高速发展，数值计算方法已深入到各个科学随着计算机的高速发展，数值计算方法已深入到各个科学研究领域，计算性交叉学科不断涌现，如计算力学、计算物研究领域，计算性交叉学科不断涌现，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算经济学等理、计算化学、计算生物学、计算经济学等 q 科学计算科学计算u 使用计算机进行科学计算、数据处理及分析已成为人类科使用计算机进行科学计算、数据处理及分析已成为人类科技活动的主要方法之一。技活动的主要方法之一。熟练地使用计算机进行科学计算，熟练地使用计算机进行科学计算，已成为科技工作者的一项基本技能已成为科技工作者的一项基本技能 科学计算科学计算q 利用计算机解决

4、实际问题通常分下面几个过程：利用计算机解决实际问题通常分下面几个过程：实际实际问题问题数学数学模型模型数值数值方法方法程序程序设计设计上机上机实现实现应用举例应用举例问：今有问：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？问上、中、下禾实一秉各几何？ 九章算术九章算术3239xyz 2334xyz 2326xyz例：一个古老的数学问题例：一个古老的数学问题应

5、用举例应用举例1112111212222211nnnnnnnnaaaxbaaaxbaaaxb 线性方程组数值求解线性方程组数值求解 教材第五、六章教材第五、六章Axb 应用举例应用举例例：人口预测例：人口预测表格中是我国表格中是我国1950年到年到2005年的人口数（见年的人口数（见中国统计年鉴），试预测未来的人口数中国统计年鉴），试预测未来的人口数插值与曲线拟合插值与曲线拟合 教材第二、三章教材第二、三章年份年份人口人口(万万)19505519619556146519606620719657253819708299219759242019809870519851058511990114331

6、99512112120001267432005130756应用举例应用举例例：例：铝制波纹瓦的长度问题铝制波纹瓦的长度问题建筑上用的一种铝制波纹瓦是由机器将一块平整的铝板压建筑上用的一种铝制波纹瓦是由机器将一块平整的铝板压制而成。假若要求波纹瓦长制而成。假若要求波纹瓦长 4 英尺，每个波纹的高度英尺，每个波纹的高度(从中从中心线心线)为为 1 英寸，且每个波纹以近似英寸，且每个波纹以近似 2 英寸为一个周期。英寸为一个周期。求制做一块波纹瓦所需铝板的长度求制做一块波纹瓦所需铝板的长度 L。应用举例应用举例这个问题就是要求由函数这个问题就是要求由函数 f(x)=sin x给定的曲线从给定的曲线从

7、 x=0 到到 x=48 英寸间的弧长英寸间的弧长 L，即，即:数值积分与数值微分数值积分与数值微分 教材第四章教材第四章484822001( ) d1(cos ) dLfxxxx 上述积分为第二类椭圆积分，无法用普通方法来计算上述积分为第二类椭圆积分，无法用普通方法来计算应用举例应用举例矩阵特征值计算矩阵特征值计算 教材第八章教材第八章例：例：Google 搜索引擎搜索引擎1998 年创立，目前市值近年创立，目前市值近2000亿亿G: Google Matrix, “the worlds largest matrix computation” x: PageRank vector “The

8、$25,000,000,000 Eigenvector” SIAM Review，2006Gx = x, eTx =1计算方法的任务计算方法的任务q 计算方法计算方法/数值分析的任务数值分析的任务u 设计求解各种实际问题的设计求解各种实际问题的高效可靠高效可靠的的数值方法数值方法l 有效：易于在计算机上实现有效：易于在计算机上实现l 可靠：收敛性稳定性等有理论保证可靠：收敛性稳定性等有理论保证l 高效：尽可能地节省计算时间和存储空间高效：尽可能地节省计算时间和存储空间对于同一问题，不同的算法在计算性能对于同一问题，不同的算法在计算性能上可能相差百万倍或者更多！上可能相差百万倍或者更多！u 对求

9、得的对求得的数值数值解的精度进行评估解的精度进行评估u 研究数值算法研究数值算法在计算机上在计算机上的的实现实现计算方法计算方法例：例：求解一个求解一个 n 阶线性方程组，如果使用阶线性方程组，如果使用克莱姆法则克莱姆法则，需，需要计算要计算 n+1 个个 n 阶行列式，在不计加减运算情况下，至少阶行列式，在不计加减运算情况下，至少需要需要 n!(n2-1) 次乘除运算。而使用高斯消去法，只需约次乘除运算。而使用高斯消去法，只需约2n3/3 次乘除运算次乘除运算用每秒运算用每秒运算 30 亿次（主频亿次（主频3.0G）的计算机求解时，大的计算机求解时，大约需要约需要10000年的时间年的时间

10、22020!(201) 9.710 l 当当 n=20 时，时，如果使用高斯消去法，不到一秒钟就能完成如果使用高斯消去法，不到一秒钟就能完成 数值方法特点数值方法特点q 数值方法的特点数值方法的特点u 方法是近似的方法是近似的，所以求出的解是有误差的，所以求出的解是有误差的u 与计算机紧密结合：上机实现与计算机紧密结合：上机实现l 掌握一门语言：掌握一门语言：C 语言或语言或 Fortran 语言语言l 熟悉一种数学软件：熟悉一种数学软件：Matlab，Maple 或或 Mathematica课程信息课程信息数值分析数值分析（第五版）（第五版）q 教材教材：李庆扬等编著，清华大学出版社，李庆扬

11、等编著，清华大学出版社，2002008 8q 答疑时间答疑时间：周一晚上周一晚上 18:30 20:30地点地点：数学楼数学楼 213q 上机时间上机时间：周四周四 3、4 (双周双周) 地点地点：数学楼二楼数学楼二楼200机房机房q 上课时间上课时间：周一周一 1、2，周四，周四 3、4q 课程主页：课程主页：http:/ 第三种科学方法：计算机时代的科学计算第三种科学方法：计算机时代的科学计算 石钟慈著，石钟慈著，清华大学出版社，院士科普书系清华大学出版社，院士科普书系，2000l 科学计算导论科学计算导论（第（第 2 版）（英文影印版）版）（英文影印版） M.T. Heath 著，清华大

12、学出版社：著，清华大学出版社：McGraw-Hill，2001l 现代科学计算现代科学计算 蔡大用，白峰杉，科学出版社，蔡大用，白峰杉，科学出版社，2000l 数值线性代数数值线性代数 徐树方徐树方等，北京大学出版社，等，北京大学出版社，2000& 参考资料参考资料主要内容主要内容q 插值法插值法q 函数逼近函数逼近q 数值积分和数值微分数值积分和数值微分q 线性方程组的直接解法和迭代解法线性方程组的直接解法和迭代解法q 非线性方程（组）的数值求解非线性方程（组）的数值求解q 矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算q 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法所需知识所需知

13、识l 微积分微积分l 高等代数、线性代数高等代数、线性代数l 常微分方程常微分方程l Matlab 编程编程q 所需知识所需知识q 考试方式考试方式l 期末期末 60% l 平时平时 40%（期中考试，平时作业，上机表现，考勤）（期中考试，平时作业，上机表现，考勤）基本概念基本概念l 解析解、精确解、真解、真值解析解、精确解、真解、真值l 数值解、近似解数值解、近似解l 数值算法：求问题的数值算法：求问题的数值解数值解的方法的方法u 算法的可靠性包括：算法的可靠性包括：收敛性收敛性，稳定性稳定性，误差估计误差估计等等u 算法的评价（优劣）算法的评价（优劣）l 时间时间复杂度（计算机运行时间）复杂度（计算机运行时间）l 空间空间复杂度（所占用的计算机存储空间）复杂度（所占用的计算机存储空间）l 逻辑逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护的难易程度）复杂度（影响程序开发的周期以及维护的难易程度）数学软件数学软件由于各种科学计算问题最后通常都归结为求解一些由于