湖北黄冈中学高三数学《等差、等比数列的综合运用》

1、等差、等等差、等 比数列比数列的综合运用的综合运用 湖北黄冈中学湖北黄冈中学第一课时：第一课时：等差数列、等比数列等差数列、等比数列第一课时：第一课时：等差数列、等比数列等差数列、等比数列 课前导引课前导引 第一课时：第一课时：等差数列、等比数列等差数列、等比数列._,3432*, . 1 483759 bbabbannTSNnTSnbannnnnn则则都有：都有：对任意的对任意的、项和分别为项和分别为的前的前、若两个等差数列若两个等差数列 课前导引课前导引 解析解析 .4119112112222 1111111111666396369483759 TSbbaababaabababbabba

2、解析解析 .4119112112222 1111111111666396369483759 TSbbaababaabababbabba 答案答案 4119., 12 . 2 nnnnnnaanaSSna的的通通项项求求数数列列满满足足项项和和的的前前已已知知数数列列 解解 242 , 422, 22:, 1)1(2, 12 11111 nnnnnnnnnnaaaaaanaSnaS即即得得两式相减两式相减., 12 . 2 nnnnnnaanaSSna的的通通项项求求数数列列满满足足项项和和的的前前已已知知数数列列 .)21(2,)21()21(212,21,212 .212,23, 3,212

3、2111111nnnnnnnnaaaaaaSaa 从从而而为为公公比比的的等等比比数数列列为为首首项项以以是是即即：数数列列故故而而 链接高考链接高考 链接高考链接高考 . )2( )1( ).1 (211 ).1(0521681 4321111nnnnnnnnnnnSnbabbbbbnabnaaaaaa项和项和的前的前的通项公式及数列的通项公式及数列求数列求数列的值；的值；、求求记记且且满足满足数列数列 例例11.320,2013; 421431,43;3821871,87; 22111, 1 (1) 44332211 babababa故故故故故故故故 解析解析 ).1(81625 ),2(

4、 2.2,3234:)34()34)(34( ,)34()34(,)34(3832)34)(34( (2) 12231222231 naaaaaqbbbbbbbnnnnnn故故导致矛盾导致矛盾代入递推公式会代入递推公式会否则将否则将等比数列等比数列的的公比公比是首项为是首项为故猜想故猜想034 ,34 36162038212)34(2,3616203436816 34211341111 bbaaabaaaaabnnnnnnnnnnn., 121:211),1(34231,23134,3234.23422111nnnnnnnnnnnnnbababaSbbaabnbbbqb 故故得得由由故故的的等

5、等比比数数列列确确是是公公比比为为故故).152(313521)21(31)(2121 nnnbbbnnn.320, 4,38, 21,342, 0364, 052168,211:211 (1) 4321111111 bbbbabbbbbbaaaabaabnnnnnnnnnnnnnn有有由由即即整理得整理得代入递推关系代入递推关系得得由由 法二法二 ).1(34231,23134,2,3234, 03234),34(234,342 (2)111 nbbqbbbbbbnnnnnnnnn即即故故的等比数列的等比数列公比公比是首项为是首项为由由).152(313521)21(31)(21, 1212

6、11212211 nnnbbbbababaSbbaabnnnnnnnnnnn故故得得由由. (1)同解法一同解法一 法三法三 ).1(81625, 2,231,2,32,)34(3832,38,34,32 (2)1112342312 naaaabbqbbbbbbbbnnnnnnnnn故故又又的等比数列的等比数列公比公比是首项为是首项为猜想猜想;3681036636816 12221816251 21121111 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabb因此因此).(23616203681636243636816368162112111111212nnnnnnnnnnnnnnnnbbaa

7、aaaaaaaaaabb ).1(342312)22(312)222(31)()()(,231,2 , 0321211122111112 nbbbbbbbbbbqbbbbnnnnnnnnnnnnnn从而从而的等比数列的等比数列是公比是公比).152(313521)21(31)(21, 121211212211 nnnbbbbababaSbbaabnnnnnnnnnnn故故得得由由. )2( )1( )., 4 , 3(21 211nnnnnnSnnacnaaaaac项项和和的的前前求求数数列列的的值值；求求且且满满足足的的首首项项的的等等比比数数列列若若公公比比为为 例例22. )2( )1(

8、 )., 4 , 3(21 211nnnnnnSnnacnaaaaac项项和和的的前前求求数数列列的的值值；求求且且满满足足的的首首项项的的等等比比数数列列若若公公比比为为 例例22,212,3, (1) 2212122 nnnnnnnnacaaacaaacan时时当当由由题题设设 解析解析 .211 . 012,21, 0222 ccccccan或或解解得得即即因因此此由由题题设设条条件件可可得得.211 . 012,21, 0222 ccccccan或或解解得得即即因因此此由由题题设设条条件件可可得得.2)1(321, *).( 1,1)1( (2) nnnSnnaNnaacnnnn项和项

9、和的前的前数列数列这时这时即即是一个常数列是一个常数列数列数列时时当当知要分两种情况讨论：知要分两种情况讨论：由由:,2111 )21()21(3)21(21,*).()21(,21,21121得得式两边同乘式两边同乘项和项和的前的前数列数列这时这时即即的等比数列的等比数列是一个公比为是一个公比为数列数列时时当当 nnnnnnnSnnaNnaacnnnnnnnSnnS)21( )21()21()21(1)211(:,212 )21( )21)(1()21(221211212 得得式式式减去式减去*).( 223)1(491)21(211)21(11NnnSnnnnnn 例例33.,., 0,

10、2131412nnkkknkkaaaaaaaadan通项通项的的求数列求数列成等比数列成等比数列已知数列已知数列的等比中项的等比中项与与是是公差公差中中在等差数列在等差数列 .,., 0, 2131412nnkkknkkaaaaaaaadan通项通项的的求数列求数列成等比数列成等比数列已知数列已知数列的等比中项的等比中项与与是是公差公差中中在等差数列在等差数列 例例33)3()(.,)1( 112141221daadaaaadnaan 依依题题设设得得 解析解析 , 313, 1, 3 , 1, 0.,3 , 0,:2121112 qkkkddkdkdkddndaadddadnnnn公比为公比

11、为首项为首项为等比数列等比数列也是也是数列数列由由是等比数列是等比数列由已知得由已知得得得整理得整理得.3), 3 , 2 , 1(39, 3, 9. 9:11111 nnnnnnnkknqkqkkk的通项的通项即得数列即得数列公比公比的首项的首项等比数列等比数列由此得由此得.,2,2 )2( )1( ., 231并并说说明明理理由由的的大大小小与与较较比比时时当当项项和和为为其其前前等等差差数数列列为为公公差差的的为为首首项项是是以以设设的的值值；求求成成等等差差数数列列且且的的等等比比数数列列是是公公比比为为已已知知nnnnnbSnSnqbqaaaqa 例例44.211. 012, 0,2

12、,2 (1) 211121213 或或即即由由题题设设qqqaqaaqaaaa 解析解析 .211. 012, 0,2,2 (1) 211121213 或或即即由由题题设设qqqaqaaqaaaa 解析解析 ,2312)1(2, 1 (2) 2nnnnnSqn 则则若若.49)21(2)1(2,21., 02)2)(1(2nnnnnSqbSnnnnn 则则若若故故1,2 nnnSbSn时时当当.,11;,10;,92,4)10)(1( ,21nnnnnnnnnbSnbSnbSnNnnnSbSn 时时当当时时当当时时当当故故对对于于时时当当第二课时：第二课时：等差、等比数列的综合运用等差、等比数

13、列的综合运用 课前导引课前导引 第二课时：第二课时：等差、等比数列的综合运用等差、等比数列的综合运用) ( ,1)32()32( . 1 11则则下下列列叙叙述述正正确确的的是是的的通通项项已已知知数数列列 nnnnaa413131, D., C., B., A.aaaaaa最小项为最小项为最大项为最大项为最小项为最小项为最大项不存在最大项不存在最小项不存在最小项不存在最大项为最大项为最小项为最小项为最大项为最大项为第二课时：第二课时：等差、等比数列的综合运用等差、等比数列的综合运用 课前导引课前导引 .,3,212782194;278)32( ,4;94)32( ,3, 0),1(,1 ,

14、0(,)32( ,32, 1,)32( 11121最小最小时时而而时时当当时时又当又当项为项为故最大故最大则则且且则则令令nnnnnannnattattt 解析解析 .lim, )2( ; )1( . 1)()(, 1,5)(,13)( . 2 21112nnnnnnnnnnnSSnaaaaagaafaacxxgbxxxf 求求项和为项和为的前的前若若的通项公式的通项公式求求满足满足正数数列正数数列是奇函数是奇函数函数函数是偶是偶已知数列已知数列, 023, 1)(51)(3)()(.5)(, 0),()(,)(13)(, 0),()(,)( (1) 212121212112 nnnnnnnn

15、nnnnnnaaaaaaaaaaaagaafxxgcxgxgxgxxfbxfxfxf即即为奇函数为奇函数即即为偶函数为偶函数 解析解析 .)32(.32,1,32, 023, 0, 0)23)(1111111 nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa的等比数列的等比数列公比为公比为为首项为首项是以是以即即.)32(.32,1,32, 023, 0, 0)23)(1111111 nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa的等比数列的等比数列公比为公比为为首项为首项是以是以即即. 33211lim )2( nnS 链接高考链接高考 链接高考链接高考 . 1111 )2( ;

16、)1( . 9, 3,*)(1(log 12312312 nnnnaaaaaaaaaNna证证明明的的通通项项公公式式求求数数列列且且为为等等比比数数列列已已知知数数列列 例例11. 12,)1(1)1(log. 1, 8log2log)2(log2:9, 3.)1(log 1)( 2222312 nnnnannaddaada即即即即得得由由的公差为的公差为设等差数列设等差数列 解析解析 . 121121121212121212121111,212211 )2( 3211231211 nnnnnnnnnnaaaaaaaa.15 )3( ; )2( ; )1( ., 3 , 2 , 1,)25(

17、)85(,11, 6, 1, 1321都成立都成立、对任何正整数对任何正整数证明不等式证明不等式为等差数列为等差数列证明数列证明数列的值的值和和求求为常数为常数、其中其中且且已知已知项和为项和为的前的前设数列设数列nmaaaaBABAnBAnSnSnaaaSnanmmnnnnnn 例例22. 8,20:48228,212273)25()85(,18, 7, 1 1)( 23121321321211 BABABABASSBASSBAnSnSnaaaSaaSaSnn解得解得即即知知由由由已知得由已知得 解析解析 3 20)25()110()35(:122 2820)75()35(1 820)25(

18、)85()1( )2( 12121 nnnnnnnSnSnSnnSnSnnSnSn得得得：得：由由0)25()410()25(,0)25()615()615()25(:344 20)75(2)910()25(12311123113 nnnnnnnnnnnnnanananSSaSnSnSnSnSnSnSn得得.51,02, 0)25(12231223123为为等等差差数数列列数数列列又又nnnnnnnnaaaaanaaaaaaan ,16)(2025 )45)(45(, 45,215:, 15:45)1(51)2( )3( nmmnnmaamnaaaaaaaaannanmmnnmnmmnnmmn

19、n只要证只要证要证要证可知：可知：由由.372020)291515(8558552,2372020:,216)(20251)45(5:故命题得证故命题得证即只要证即只要证故只要证故只要证 nmnmnmnmaaaaaanmaanmmnmnnmnmnmnm 例例33 假设某市假设某市2004年新建住房面积年新建住房面积400万平方米万平方米, 其中有其中有250万平方米是中低价万平方米是中低价房房, 预计在今后的若干年内预计在今后的若干年内, 该市每年新建该市每年新建住房面积平均比上一年增长住房面积平均比上一年增长8%, 另外另外, 每年每年新建住房中新建住房中, 中低价房的面积均比上一年增中低价

20、房的面积均比上一年增加加50万平方米万平方米, 那么那么, 到哪一年底到哪一年底 (1) 该市历年所建中低价房的累计面积该市历年所建中低价房的累计面积（以（以2004年为累计的第一年）将首次不少年为累计的第一年）将首次不少于于4750万平方米？万平方米？ (2) 当年建造的中低价房的面积占该年当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于建造住房面积的比例首次大于85%？, 01909,475022525,22525 502)1(250,50,250, 1)( 2221是正整数是正整数而而即即令令则则其中其中是等差数列是等差数列由题意可知由题意可知列列设中低价房面积形成数设中低价房面

21、积形成数nnnnnnnnnnSdaaannn 解析解析 .47502013.10万平方米万平方米累计面积将首次不少于累计面积将首次不少于价房的价房的年底该市历年所建中低年底该市历年所建中低到到 n.47502013.10万平方米万平方米累计面积将首次不少于累计面积将首次不少于价房的价房的年底该市历年所建中低年底该市历年所建中低到到 nnnnnnnbabqbbb85. 0:)08. 1(400,08. 1,400,:, )2( 11 由由题题意意可可知知则则其其中中是是等等比比数数列列由由题题意意可可知知列列设设新新建建住住房房面面积积形形成成数数%.85,2009. 685. 0)08. 1(40050)1(2501大于大于积的比例首次积的比例首次面积占该年建造住房面面积占该年建造住房面当年建造的中低价房的当年建造的中低价房的年底年底到到正整数正整数不等式的最小不等式的最小由计算器解得满足上述由计算器解得满足上述有