浙江师范大学《高等数学》d10_3三重积分

1、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第三节第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分三重积分 第十章 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为高等数学高等数学浙

2、江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定义定义. 设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在 上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积, 积和式” 极限记作记作高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程

3、学院浙江师范大学数理与信息工程学院二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法方法3 . 三次积分法 ,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzy

4、xzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(dd细长柱体微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz 记作记作yx ddO高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院如果平行于x轴或y轴且穿过闭区域内部的直线与的边界曲面S相交不多于两点，也可将闭区域投影到yoz面上或者xoz面上，把三重积分化为按其他顺序的三次积分.注意：注意： 如果平行于坐标轴且穿过闭区域内部的直线与的边界曲面S的交点多于两个，也像处理二重积分那样，把分成若干部分，使上的三重

5、积分化为各部分闭区域上的三重积分的和.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底, d z 为高的柱形薄片质量为zD以该物体的质量为vzyxfd),(bazDyxzyxfdd),(zDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zd记作记作xyzO高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院投影法方法方法3. 三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz

6、把二重积分化成二次积分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(zDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazz

7、yxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面1xyz121O高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院xyz例例2. 计算三重积分,d

8、dd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDzO高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院xyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面z),(zyxM)0 ,(yxO高等数学高等数学浙江师范大学数理与

9、信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddzzddddxyzddO高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院其中其中 例例3. 利用柱面坐标利用柱面坐标计算三重积分计算三重积分,dddzyxz22yxz所围成的闭区域所围成的闭区域 .解解:是由曲面是由曲面4z与平面与平面把闭区域投影到xoy

10、面上,得半径为2的圆形闭区间20 , 20 | ),(xyD在Dxy内任取一点),(过此点作平行于Z轴的直线,此直线通过曲面22yxz穿入内,然后通过平面4z穿出外,因此闭区域可用不等式20 , 20 , 42z来表示dzddzzyxzddd20202)16(21dd202042zdzdd2062618221364高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2axyzO其中 为例例4. 计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解解: 在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面zvdddd20

11、dazz0dzzddd2原式298a由柱面cos2围成半圆柱体.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院OOxyz例例5. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下h:hz42dhh2022d)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中 由抛物面42zvdddd原式 =高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院内容小结内容小结zyxdddzddd积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系变

12、量可分离.围成 ;高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院作作 业业P166 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中 由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面围成 ,:高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2. 设, 1:222zyx计算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用对称性原式 = 122ddy