北京市东城区高三二模数学试题及答案理科

1、北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学（理科）本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合，或，则 （A）或（B）或（C）（D）（2）复数= （A） （B） （C） （D）（3）在展开式中，的系数为，则实数等于 （A） （B） （C） （D）（4）已知双曲线C：1的一条渐近线的倾斜角为60º，且与椭圆+y21有相等的焦距，则C的方程为（A）

2、y21 （B）1 （C）x21 （D）1（5）设a，b是非零向量，则“|ab|a|b|”是“a / b”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（6）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为；平均数分别为，则下面正确的是（A） （B） （C） （D）（7）已知函数，若存在，使得，则a的取值 范围是 （A） （B） （C） （D）（8）A，B，C，D四名工人一天中生产零件的情况如图所示，

3、 每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的I型、II型零件数，则下列说法错误的是 （A）四个工人中，D的日生产零件总数最大 （B）A，B日生产零件总数之和小于C，D日生产零件 总数之和 （C）A，B日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和 （D）A，B，C，D日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（ 9 ）执行如图所示的程序框图，输出的S值为_ （10）设等比数列的公比，前n项和为Sn，则=_（11）在极坐标系中，点是极点，则的面积等于_ （12）如图，已知正方体的边长为1，若过直线的平

4、面与该正方体的面相交，交线围城一个菱形，则该菱形的面积为_.（13）直线被圆所截的弦长为，则圆的方程可以为 （写出一个即可）（14）某种物质在时刻t (min)的浓度M (mg/L)与t的函数关系为（为常数）.在t = 0 min 和t = 1 min测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L，那么在t = 4 min时，该物质的浓度为_ mg/L；若该物质的浓度小于24.001 mg/L，则最小的整数t的值为_.（参考数据：）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在中，角所对的边分别为, （）求的值（）若求的值（16）（本小

5、题13分）某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数，如图所示：从这15天中，随机选取一天，随机变量X表示当天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数.（）请把X的分布列补充完整； （）令为X的数学期望，若求正整数的最小值；（）由图判断，从哪天开始的连续五天上午10:00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？（结论不要求证明） （17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面,，,.（）求证：平面；（）若为中点，为线段上一点，平面，求的值； （）求二面角的的大小;（18）（本小题13分）已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B

6、是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （II）若，求AOB面积的最小值. （19）（本小题14分）已知函数，.（I）当时，求的单调区间；（II）当时，讨论的零点个数.（20）（本小题13分）设均是正整数，数列满足：，（I）若，写出的值；（II）若，为给定的正奇数，求证：若为奇数，则；若为偶数，则；（III）在（II）的条件下，求证：存在正整数，使得.北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）A （3）D （4）C（5）A

7、 （6）D （7）A （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13）（答案不唯一） （14）26.56； 13三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）在中，由及正弦定理，得，即.因为，所以.所以所以因为，所以7分（）由，得.又因为， 所以.所以. 13分（16） （共13分）解：（I）X的分布列分别为4分（）由（I）可得X的数学期望.所以.因为,所以. 10分（）第10日或第11日. 13分（17）（共14分）（）证明：如图1，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.4分（）如图2，取中点，连接，

8、因为平面，平面，平面平面，所以.所以.因为，所以.所以.所以.所以=.因为为的中点， 所以. 9分 （）连接，由（）知平面，平面，平面所以，因为，点为中点，所以.作，所以.如图3建立空间坐标坐标系.因为所以，因为，所以平面.平面的法向量.设平面的法向量，则有 即令，则，即.由题知二面角为锐角，所以二面角的大小为. 14分（18）（共13分）解：（I）由抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)知，解得. 则抛物线C的方程为. 抛物线C的焦点坐标为，准线方程为.4分 （II）由题知，直线不与轴垂直，设直线：，由消去，得.设，则.因为，所以，即，解得（舍）或.所以.解得.所以直线：.所以直线过定点.

9、当且仅当或时，等号成立.所以面积的最小值为4. 13分（19）（共14分）解：（I）当时，.当在区间上变化时，的变化如下表极大值极小值极大值所以的单调增区间为，；的单调减区间为，.5分（II）任取.，所以是偶函数.当时，在上恒成立，所以时，.所以在上单调递增.又因为，所以在上有0个零点.又因为是偶函数，所以在上有0个零点.当时，令，得.由可知存在唯一使得.所以当时，单调递增；当时，单调递减.因为，.当，即时，在上有0个零点.由是偶函数知在上有0个零点.当，即时，在上有1个零点.由是偶函数知在上有2个零点.综上，当时，有2个零点；当时，有0个零点. 14分（20）（共13分）解：（I）1或12. 4分（II）当时，为奇数，成立，为偶数，.假设当时，若为奇数，则，若为偶数，则.那么当时，若是奇数，则是偶数，；若是偶数，.此时若是奇数，则满足，若是偶数，满足.即时结论也