无穷积分的性质与收敛判别法

1、精品2 无穷积分的性质与收敛判别法教学目的与要求：掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。教学重点，难点：无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。教学内容：本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法一无穷积分的性质u由定义知道，无穷积分a fx dx 收敛与否，取决于函数F（ u ） =a f x dx 在 u + 时是否存在极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。定理 11.1无穷积分fx dx 收敛的充要条件是：任给 0 ，存在 Ga ，只要 u

2、 1、 u 2 G，a便有u2f xdxu1xdxu2ff x dx。aau1fx dxu证明 : 由于 aa f x dx = lim F (u), 所以limuuaf x dx 收敛lim F (u) 存在0, G a ，只要 u、 u G，便有12uu2u2f x dxu1f x dx | F (u2 ) F (u1 ) | .f x dxaau1此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质。性质 1(线性性质 ) 若f1 x dx 与f 2 x dx 都收敛， k1、 k2 为任意常数，则aa感谢下载载精品k1 f1x k2f 2xdx也收敛，且ak1 f 1

3、 xk2f 2x dx = k1af1 x dx k2af 2 x dx 。（1 ）auu证明 :记 J1af1x dx lim af1x dx , J 2af2x dxlim af 2 x dx ,uuu则 ak1 f 1xk 2 f 2x dx = lim ak1 f1 xk2 f2xdxulimuuu= k1af1 ( x)dxk2 af 2 ( x) dxuu= k1f1 ( x)dxk2limulimua= k1J1k2 J2 = k1 af1( x)dx性质 2若 f 在任何有限区间 a ，u 上可积， a b ，则a敛或同时发散） ，且有fbfx dx ，x dxf x dxaa

4、b其中右边第一项是定积分。ua f 2 ( x)dxk2 af 2 ( x)dx.f x dx 与f x dx 同敛态（即同时收b（ 2）证明 :由于afx dx 收敛limuafx dx 存在 .ubu又 lim afx dx = lim ( af xdxbf xdx)uubu=afxdxlim bfx dx , 其中右边第一项是定积分。u所以afx dx 与fx dx 同敛态（即同时收敛或同时发散），且有bf x dxbf x dxf x dx .aab说明 : (1)性质 2 相当于定积分的积分区间可加性;(2) 由性质 2及无穷积分的收敛定义可推出fx dx 收敛的另一充要条件: 任给

5、 0，存在 Gaa ，当 u G 时，总有fx dx。u事实上，fx dx 收敛J= limufx dx 存在aau0, G a, 当 uuf x dx JG 时 ,a感谢下载载精品0,Ga, 当 uG 时 ,uuf x dxf x dx)fx dx (aau0, G a, 当 uG 时 ,uf x dx性质 3若 f 在任何有限区间 a，u上可积，且有f x dx 收敛，则f x dx 亦必收敛，并有aaf x dx af x dx 。（3 ）a证明: 由fx dx 收敛，根据柯西准则（必要性），任给 0 ，存在 Ga，当 u 2 u 1 G 时，a总有u2xdx|u2fx dx |,fu1

6、u1利用定积分的绝对值不等式，又有u2x dxu2fx dx.fu1u1再由柯西准则（充分性） ，证得afx dx 收敛uuf x dxua，令 u + 取极限，立刻得到不等式(3).又因af x dxa当fx dx 收敛时，称f x dx 为绝对收敛 , 称收敛而不绝对收敛者为条件收敛 。aa性质 3 指出：绝对收敛收敛。但其逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝对收敛 (本节例3 中当 0 p 1时1sinp xdx 条件收敛 )。x二比较判别法这一部分介绍无穷积分的绝对收敛判别法(比较准则及其三个推论 )。uf x dx 关于上限 u 是单调递增的，因此fx dx 收敛的

7、充要条件是u由于af x dx 存在上aa界。根据这一分析，便立即导出下述比较判别法（请读者自己写出证明）：定理 11.2 （比较法则）设定义在a ， + 上的两个函数f 和 g 都在任何有限区G(u) 间 a ， u可积，且满足f xg x , xa,) ，感谢下载载精品则当g(x dx 收敛时fx dx必收敛（或者，当fx dx发散时，gx dxa)aa()a发散）。证明 法一根据 P55习题 2结论 : 设 f 为定义在 a,) 上的增 (减 )函数 . 则 lim f ( x)x存在的充要条件为f 在 a,) 上有上 (下 )界 .gx dxuGu)存在 .当(收敛时 ,g x dx又

8、 G(u) 单增 ,从而存在 M0, 使得)limu( )(aalimuufxdxuG (u)M ,ua, ), 即 F(u) 有上界F(u)=aag( x)dxM. 又显然 F(u) 单增 .uF (u) 存在 , 从而fx dx 必收敛 .故limu a| f ( x) | dxlimua法二由于gx dx 收敛 , 根据柯西准则（必要性）, 对任意0,存在 Ga ，当 u 2 u 1 Ga()时，总有u2xdx .u1g又 | fx|g( x),x a,).u 2u 2gxdx .因此有| fx | dxu1u1根据柯西准则（充分性）,a|f ( x) | dx 收敛 .例 1讨论sin

9、 x01x2 dx 的收敛性。解 由于sin x1， x 0,) ，以及dx为收敛（1 例 4 ），根据比较法则，1 x 21 x20 1x22sin x为绝对收敛。0 1x2 dx上述比较法极限形式如下：推论 1若 f 和 g都在任何 a ， u 上可积， g(x) 0,且limxfxc, ，则有gx（）当0 c + 时，afx dx 与gx dx 同敛态；a（）当 c=0时，由agx dx 收敛可推知fx dx 也收敛；a（）当 c=+ 时，由gx dx 发散可推知af x dx 也发散。a感谢下载载精品limfxc| f (x) |c证明 (i)gxc, c(0,).对 0,Ma, 当

10、xM时,|c | , 即x2g(x)2c| f ( x) |3c ,2g (x)2从而由比较法则结合性质2 知 ,afx dx 与gx dx 同敛态 .a(ii)由 limfx0, 对0,Ma, 当 x M 时,| f (x) |, 从而 | f ( x) |g (x),gxg(x)x从而由比较法则结合性质2 知 ,由agx dx 收敛可推知af x dx 也收敛 .(iii)由 limfx, 对G0,Ma,当 xM 时 ,| f ( x) |G, 从而 | f ( x) |Gg (x),gxxg( x)从而由比较法则结合性质2 知 ,由agx dx 发散可推知af x dx 也发散 .当选用

11、dx作为比较对象g( x)dx 时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论（称为柯西判a x pa别法）。推论 2设 f 定义于 a,) (a 0) ，且在任何有限区间a ，u 上可积，则有：1) ，且 p 1 时 a（）当 fxxp ， x a,fx dx 收敛；（）当fx1， x a,)，且 p 1 时fxdx 发散。pxa推论 3 设 f 定义于 a,) ，在任何有限区间a ， u 上可积，且lim x p fx,x则有：（）当 p 1 ，0 + 时，fx dx 收敛；a（）当 p 1 ，0 + 时，fx dx 发散。a例 2讨论下列无穷限积分的收敛性：1）x exdx ；2）x2dx

12、.10x5 1感谢下载载精品解本例中两个被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事。1）由于对任何实数都有lim x2 x e xlimx x20 .xxe因此根据上述推论3（P=2 ，=0 ），推知 1 ）对任何实数都是收敛的。2）由于limx1x2x 2x51=1 ，因此根据上述推论3（P=1=1 ），推知 2 ）是发散的。，2b对f x dx 的比较判别亦可类似地进行。三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法。u定理11.3 （狄利克雷判别法）若F（ u ） =a fx dx 在 a,) 上有界， g （x）在 a,) 上当 x + 时单调趋于 0

13、，则fx g x dx 收敛。a证明由条件设ufx dx M ， u a,) 。任给 0 ，由于 lim g x=0 ，因此存在 Ga ，ax当 x G 时，有 gx。又因 g 为单调函数， 利用积分第二中值定理（定理 9.10的推论），4M对于任何 u2 u 1 G，存在u 1， u 2 ，使得u2f x dx g u2u 2f x g x dx g u1u1f x dx 。u1于是有u2f x g x dxg u1f x dx | g u2 |u2u1f x dxu1= g u1f x dxu1g u 2u2f x dxaf x dxf x dxaaa4M2M2M.4M根据柯西准则，证得a

14、f x g x dx 收敛。感谢下载载精品定理11.4 （阿贝尔（Abel ）判别法）若f x dx 收敛， g （ x ）在上单调有界，则afx g( x)dx 收敛。a这定理同样可用积分第二中值定理来证明，但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明（留作习题 10 ）。例3讨论sin xdx 与1cos x（ p 0 ）的收敛性。1xpxp解这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论。下面分两种情形来讨论：（）当 p 1 时sin xdx 绝对收敛。这是因为sin x1, x1,) ，1xpxpxp而dx当 p 1 时收敛，故由比较法则推知sin xdx 收敛。1xpxp1（）当0 p

15、1 时sin x条件收敛。这是因为对任意u 1 ，有uxdxu，1p dxsincos1 cos2x1而1p 当 p 0 时单调趋于 0 （ x + ），故由狄利克雷判别法推知1sinp xdx 当 p 0时总是收敛的。xx另一方面， 由于 sin xsin 2 x1cos 2x , x1,) ，其中cos2x dx1cost dt 满足狄x px2x2x12 x2 2t利克雷判别条件，是收敛的，而dx 是发散的，因此当0 p 1 时该无穷积分不是绝对收敛的。所以它是条件收敛的。1 2x例4 证明下列无穷积分都是条件收敛的：1sin x 2 dx ，cos x 2 dx ，x sin x 4 dx 。11证前两个无穷积分经换元t=x 2 得到sin x 2 dx =1sin t dt