数列(全章)知识要点梳理及题型归纳

1、数列（全章）知识要点梳理及题型归纳中江中学校倪谱一、知识梳理数列概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列an的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 anf (n) .3.递推公式：如果已知数列an的第一项（或前几项） ，且任何一项 an 与它的前一项 an 1 （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即anf (an 1 ) 或 anf (an 1 , an2 ) ，那么这个式子叫做数列 an的递推公式 .如数列 an中， a11, an2an1，其中 an2an1 是数列 a的递推

2、公式 .n4. 数列的前 n 项和与通项的公式 Sn a1 a2an； anS1 (n1)Sn.Sn 1 ( n 2)5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列 .递增数列 : 对于任何 nN, 均有 an 1an .递减数列 : 对于任何 nN, 均有 an 1an .摆动数列 : 例如 :1,1,1,1,1, .常数数列 : 例如 :6,6,6,6,.有界数列 : 存在正数 M 使 anM , nN .无界数列 : 对于任何正数 M ,总有项 an 使得 an M .等差数列1. 等差

3、数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列， 常数 d称为等差数列的公差.2. 通项公式与前 n 项和公式通项公式 ana1( n1)d ， a1 为首项， d 为公差 .前 n 项和公式 Snn(a1an ) 或 Snna11 n(n1)d .22 Sn An2Bn （注意 d=0 与 d0 时 Sn 的情况）3. 等差中项如果 a, A,b 成等差数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项 .即： A 是 a 与 b 的等差中项2Aaba ， A ， b 成等差数列 .4. 等差数列的判定方法定义法： an 1and （ nN， d 是常

4、数）an 是等差数列；中项法： 2an1anan2 (nN)an 是等差数列 .5. 等差数列的常用性质数列 an是等差数列，则数列 anp 、 pan （ p 是常数）都是等差数列；在等差数列an 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an , an k , an 2k , an 3k ,为等差数列，公差为 kd. an am(nm) d ；ananb ( a , b 是常数 ) ；Snan2bn ( a , b 是常数， a 0 )(, ,q N) ，则amana paq；若m n p q m n p若等差数列an的前 n 项和 Sn ，则Sn是等差数列；n2(nN) ，则S偶S奇nd

5、,S偶an 1当项数为nS奇an；当项数为21() ，则S偶n1 .n NS奇S偶an , S奇nn等比数列1. 等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q0) ，这个数列叫做等比数列，常数 q 称为等比数列的公比.2. 通项公式与前 n 项和公式通项公式： an a1qn1 ， a1为首项， q 为公比 .前 n 项和公式：当 q1时， Sn na1当 qa1 (1 q n ) a1an q1 时， Sn1.1 qqSnABqn ( AB0)3. 等比中项如果 a, G ,b 成等比数列，那么G 叫做 a 与 b 的等比中项 .即： G 是 a 与 b 的

6、等差中项a， A ， b 成等差数列G 2a b .4. 等比数列的判定方法定义法： an 1q （ n N， q0 是常数）an是等比数列；an中项法： an 12an an 2 ( nN) 且 an0an是等比数列 .5. 等比数列的常用性质数列 an是等比数列，则数列pa n 、 pan （ q0 是常数）都是等比数列；在等比数列an 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an , an k , an 2k , an 3k ,为等比数列，公比为 qk. an am qn m (n, m N )(,q N) ，则aman a p aq；若m n p q m n p若等比数列 an 的前

7、 n 项和 Sn ，则 Sk 、 S2kSk 、 S3 kS2 k 、 S4 kS3k 是等比数列 .二、典型例题（一）求值类的计算题 （多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）2）根据数列的性质巧求解（整体思想）-题型，请同学们看资料。（二）求数列通项公式类A. 给出前几项，求通项公式1,0,1,0,1,3,6,10,15,21,3， -33,333， -3333, 33333B. 给出前 n 项和求通项公式(注意验证 a1 与 an )1、 Sn2n23n ； Sn3n1 .2、设数列an满足 a1 3a232 a3+3n-1 ann (nN*) ，求数列an 的通项公式3C.

8、 给出递推公式求通项公式1. 递推关系形如 anan1k和ank（ k 为常数）用等差（比）公式计算。an 12. 递推关系形如 anan1f (n ) 型 -累加法，anf ( n) 型 -累积法an 1累加法an(anan 1 )(an1an 2 )( an2an3 )(a2 a1) a1累积法ananan1an 2a3a2a1an 1 an 2 an 3a2a1已知数列an中， a12, an an12n1(n2) ，求数列an 的通项公式；已知数列an满足：ann1 (n2), a12，求数列an的通项公式；an 1n13. 构造新的辅助数列，一般是等差数列（等比数列）。1递推关系形如

9、“an1pan q ”，利用待定系数法构造等比数列an x 求解。如 已知数列 an中， a11, an12an3，求数列an的通项公式 .2递推关系形如“anpan1 kp n ，构造等差数列an求解，即 anan1k ( 常数 )pnpnp n1如 已知数列 an中， a11 ， an 12an3 ? 2n求数列 an的通项公式 .3递推关系形如“an2pan 1qan ”，利用待定系数法构造等比数列anxan 1an1xank （常数）求解，即xan 1an如 已知数列 an 中， a11, a22, an 23an12an ，求数列 an 的通项公式 .4递推关系形如 anpan 1q

10、an an 1p,q0) ,利用取倒数法，两边同除以 an an1 （取倒数法），即 11k （常数）anan1如 数列 an 中， a12, an12an( nN) ，求数列an 的通项公式 .4an4. 给出关于 Sn 和 am 的关系（注意变形方向） 。1、设数列an 的前 n项和为 Sn ，已知 a1a, an1Sn3n (nN ) ，设 bn Sn3n ，求数列 bn 的通项公式2、设 Sn 是数列 an的前 n 项和， a11 ， Sn2anSn1(n2) .2求 an的通项；设 bnSn，求数列 bn的前 n 项和 Tn .2n1（三）求数列的前n 项和类（从 an 开始分析入手

11、）基本方法如下：1）公式法，2）拆解求和法 .1、求数列 2 n2n3 的前 n 项和 Sn .2、求数列11，1，1，1 )， 的前 n 项和S22438(n2nn3.求 S 12223242L( 1)n 1 n2 （ nN ）3）裂项相消法，通项分解（裂项）如：（1）等差数列 an , 公差为 d，则11 ( 11)an an 1d anan 1（2） an1111n(n 1)( n2)21)( n1)( nn(n2)(3)ann1n1 (n kn )kk1.求和： S=1+1112123123n12. 求和：1111.213243n1n3. 已知二次函数f ( x)3x22x ,数列 a

12、n 的前 n项和为 Sn ，点 (n, Sn )( nN )均在函数 yf (x) 的图像上。（）求数列 an 的通项公式；（）设 b1， Tn 是数列 bn 的前 n 项和，求使得 Tnm都成立的对所有 n Nnan an 120最小正整数 m；4）倒序相加法，例、设 f ( x)x22 ，求：1x f ( 41 )f ( 31 )f ( 12 )f (2)f (3)f (4) ； f ( 20101 )f ( 20091 )f ( 31 )f ( 21 )f (2)f (2009) f ( 2010).5）错位相减法，1. 若数列 an 的通项 an(2n1)3n ，求此数列的前n 项和

13、Sn .2. 设 an 是等差数列， b 是各项都为正数的等比数列，且a1b11 ， a3 b521 ，na5b13（）求 an ，bn的通项公式；（）求数列an的前 n 项和Sn3bn(五)数列单调性最值问题类方案：（ 1）与单调性，最值相关。 （ 2）数形结合解决1、数列 an中， an2n49 ，当数列 an的前 n 项和 Sn 取得最小值时，n.2、已知 Sn 为等差数列an的前 n 项和， a125, a416. 当 n 为何值时， Sn 取得最大值；3、数列 an中， an3n228n1，求 an取最小值时 n 的值 .4、数列 an中， annn22 ，求数列an的最大项和最小项 .5、设数列an 的前 n 项和为 Sn 已知 a1 a ， an1Sn 3n ， nN * （）设 bnSn3n ，求数列bn的通项公式；（）若 an 1 an， n N * ，求 a 的取值范围6、已知 Sn 为数列an的前 n 项和， a1 3 ， Sn Sn12an ( n2).求数列a