三角形相似 (2)

1、第六章第二课时：第六章第二课时： 三角形相似三角形相似 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析 课时训练课时训练 要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.本课时的重点是相似三角形的判定和性质本课时的重点是相似三角形的判定和性质. .2.2.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形比例的三角形.3.3.相似三角形的判定定理及其推论相似三角形的判定定理及其推论判定定理判定定理1 1：两角对应相等的两个三角形相似：两角对应相等的两个三角形相似. .判定定理判定定理2 2：两边对应成比例且夹角相等，两个：两边对应成比例且夹角

2、相等，两个三角形相似三角形相似. .判定定理判定定理3 3：三边对应成比例的两个三角形相似：三边对应成比例的两个三角形相似判定定理判定定理4 4：如果一个直角三角形的斜边和一条：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. .4.4.相似三角形的性质相似三角形的性质(1)(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形对应角相等，对应边成比例. .(2)(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分

3、线的比都等于相似比线的比都等于相似比. .(3)(3)相似三角形周长的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比. .推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似和原三角形相似. . 要点、考点聚焦要点、考点聚焦课前热身课前热身2.2.如图所示，在平行四边形如图所示，在平行四边形ABCDABCD中，中，G G是是BCBC延长延长线上一点，线上一点，AGAG与与BDBD交于点交于点E E，与与DCDC交于点交于点F F，则则图中相似三角形共有图中相似三角形共有( ( ) ) A.3 A.3对对 B.4B.4对对 C.5 C.5对对

4、D.6D.6对对1.1.下列命题正确的是下列命题正确的是 ( ( ) )A.A.所有的直角三角形都相似所有的直角三角形都相似B.B.所有的等腰三角形都相似所有的等腰三角形都相似C.C.所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似D.D.以上结论都不正确以上结论都不正确CC3.3.若如图所示，若如图所示，ABCABCADBADB，那么下列关系成立的是那么下列关系成立的是 ( ( ) ) A.ADB=ACBA.ADB=ACBB.ADB=ABCB.ADB=ABCC.C.CDB=CDB=CABCABD.D.ABD=ABD=BDC BDC 4.4.ABCABC中，中，AC=6AC=6，BC=4B

5、C=4，CA=9CA=9，ABCABCA AB BC C，A AB BC C最短为最短为1212，则它的最长边的长度为，则它的最长边的长度为( ( ) ) A.16 B.18 A.16 B.18 C.27 D.24 C.27 D.24 B BC C课前热身课前热身5.5.已知，如图所示的，已知，如图所示的，ABCABC中，中，ADADBCBC于于D D，下列条件：下列条件：B+B+DAC=90DAC=90B=B=DACDACCD/AD=AC/ABCD/AD=AC/ABABAB2 2=BC=BCB BC C能得到能得到BAC=90BAC=90的有的有 ( ( ) ) A.0A.0个个 B.1B.

6、1个个C.2C.2个个 D.3D.3个个 C C课前热身课前热身典型例题解析典型例题解析【例【例1 1】如图所示，要判定】如图所示，要判定ABCABC的面积是的面积是PBCPBC面积的几面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是 ( ) ( )A.3A.3次次 B.2B.2次次C.1C.1次次 D.3D.3次以上次以上 C【解析】这道题乍一看，认为同底，只要知道高之比，就知道面【解析】这道题乍一看，认为同底，只要知道高之比，就知道面积之比，故选积之比，故选B B，其实不然，只要过其实不然，只要过APAP量一次，连接量一次，连接APA

7、P并延长交并延长交BCBC于于D D，DPDP与与ADAD的比就等于的比就等于PBCPBC与与ABCABC的面积比，理由是：分别过的面积比，理由是：分别过A A、P P作作BCBC的垂线段，根据两三角形相似的性质知：的垂线段，根据两三角形相似的性质知：DP/AD=PE/AF.DP/AD=PE/AF.所以正确的答案是所以正确的答案是C.C.【例【例2 2】(2003.(2003.江苏无锡市江苏无锡市) )已知，如图所示的四已知，如图所示的四边形边形ABCDABCD为菱形，为菱形，AFAFBCBC于于F F， (1)(1)求证：求证：ADAD2 2= DE= DEDB.DB.(2)(2)过点过点E

8、 E作作EGAFEGAF交交ABAB于点于点G G，若线段若线段BEBE，DE(BEDE(BEDE)DE)的长是方程的长是方程x x2 2-3mx+2m-3mx+2m2 2=0(m=0(m0)0)的两个根，的两个根，且菱形且菱形ABCDABCD的面积为的面积为 ，求，求EGEG的长的长. .2136【解析】【解析】(1)(1)证等积式，首证等积式，首先想到化成比例式，但式子先想到化成比例式，但式子有有1212，应想到菱形的性质：，应想到菱形的性质：对角线互相垂直平分，故连对角线互相垂直平分，故连接接ACAC交交BDBD于于O O点，即点，即BD=2DOBD=2DO，所以所以ADAD2 2=DE

9、=DEDO DO ADDODEAD 找三角形相似，即要证找三角形相似，即要证ADEADE与与AODAOD相似，而相似，而EAD=90EAD=90 AOBD AOBD，所以所以ADEADEOAD.OAD.m=2m=2，m=-2m=-20(0(舍舍) )GEGEAF GFAF GFBCBC332CEBDBEADGE 2)2)解方程解方程DE=2mDE=2m，BE=mBE=m，由由ADADBCBC 12EFAEBEDE 由由ADAD2 2= DE= DEBD AD= mBD AD= m 213AE AE 22m3m4 =m EF= m EF= m AF= m m S菱菱ABCD=AFBC= 2123

10、m3m2336BCm23 【例【例3 3】(2003(2003山东省山东省) )如图中的如图中的(1)(1)是由五个边长都是是由五个边长都是1 1的正方形纸片拼接而成的，过点的正方形纸片拼接而成的，过点A A丹丹1 1的直线分别与的直线分别与BCBC丹丹1 1，BEBE交于点交于点M M、N N，且图且图(1)(1)被直线被直线MNMN分成面积相等的上、下分成面积相等的上、下两部分两部分. .(1)(1)求求 的值的值.(2).(2)求求MBMB、NBNB的长的长. .(3)(3)将图将图(1)(1)沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒( (如图如图(2)(2)所所示示

11、) )后，求点后，求点M M、N N间的距离间的距离. . NB1MB1 图（图（1） 图（图（2） 【解析】【解析】(1)(1)A A1 1B B1 1MMNBNNBN，且且A A1 1B B1 1=BB=BB1 1=1=1 1MBMB1NBMBMBBANB111 即即, ,MB+NB=MBMB+NB=MBNBNB，即即 1NB1MB1 (2)(2)分成的两部分面积相等得分成的两部分面积相等得MBMBNB=NB= ，即，即MBMBNB=5 NB=5 MB+NB=5MB+NB=5，因此可以构造一元二次因此可以构造一元二次方程方程x x2 2-5x+5=0-5x+5=0，且且MBMBNB.NB.

12、MB= MB= ，NB= NB= 25255 255 (3)(3)由由(2)(2)已知已知B B1 1M=M= , ,2531255 . .2532554EN 图图(2)(2)中的中的BNBN与图与图(1)(1)中的中的ENEN相等相等. .BN=BBN=B1 1M M，即四边形即四边形BBBB1 1MNMN是矩形是矩形.MN=1.MN=1.【例【例4 4】如图所示，梯形】如图所示，梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，B=90B=90，MNABMNAB，AB=6AB=6，BC=4BC=4，CD=3CD=3，设设DM=x.DM=x.(1)(1)设设MN=yMN=y，用用x x的代数式表

13、示的代数式表示y.y.(2)(2)设梯形设梯形MNCDMNCD的面积为的面积为S S，用用x x 的代数式表示的代数式表示S.S.(3)(3)若梯形若梯形MNCDMNCD的面积的面积S S等于梯等于梯形形ABCDABCD的面积的的面积的1313，求，求DM.DM.【解析】【解析】(1)(1)过过D D作作DEDEABAB于于E E点交点交MNMN于于F F，MN=MF+FN=MF+3MN=MF+FN=MF+3，在在RtRtDAEDAE中中, ,AD= AD= 由由MNMNABAB , ,54322 ) )( (5x03x53yx53MF5x3MFDADMAEMF (2)(2)MNMNAB AB

14、 . . x54DF5x4DFADDMDEDF S=S= 21( (DC+MN)DC+MN)DF=DF= 256x2+ 512x(0 x(0 x x5)5)(3)(3)S S梯梯ABCDABCD= = 21(3+6)(3+6)4=184=18S S梯梯MNCDMNCD= = x512x256618312x1=-5+5 2，x2=-5-5 20(0(舍去舍去).).即即DM=-5+5 DM=-5+5 21. 1.常用辅助线构造基本图形，如常用辅助线构造基本图形，如“A”A”型，型，“X”X”型型等等. .2.2.证等积式常常先化成比例式，找相似三角形或中证等积式常常先化成比例式，找相似三角形或中

15、间比间比. . 课时训练课时训练1 . ( 2 0 01 . ( 2 0 0 4 4 年年 上 海 市上 海 市 ) ) 如 图 所 示 ， 在 如 图 所 示 ， 在 A B CA B C 中 ，中 ，AB=AC,AB=AC,A=36A=36，BDBD平分平分ABCABC，DE/BCDE/BC，那么在下列三那么在下列三角形中，与角形中，与ABCABC相似的三角形是相似的三角形是 ( )( )A. A. DBE DBE B. B. ADEADEC. C. ABD D. ABD D. AEC AEC B2 2( (20042004西宁西宁) )如图，正方形如图，正方形ABCDABCD边长是边长是

16、2 2，BEBECE,MN=1,CE,MN=1,线段线段MNMN的两端在的两端在CDCD、ADAD上滑动，当上滑动，当DM=DM= 时，时， ABEABE与以与以D D、M M、N N为顶点的三角形相似。为顶点的三角形相似。55255或或课时训练课时训练3.3.如图，如图，ABCDABCD是面积为是面积为a a2 2的任意四边形，顺次连接各边中的任意四边形，顺次连接各边中点得四边形点得四边形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，再顺次连接，再顺次连接A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1得到四边形得到四边形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2，重复同样的方法直到得到四边形，重复同样的方法直到得到四边形A An nB Bn nC Cn nD Dn n，则四，则四边形边形A An nB Bn nC Cn nD Dn n的面积为的面积为 。n2a课时训练课时训练4.4.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCDABCD中，中，G G是是BCBC延长线上一点，延长线上一点，且且CG= CG= 31BCBC，则则 FGAF=( =( ) ) A.12/7 B.3/2A.12/7 B.3/2C.10/7 D.2/7C.10/7 D.2/7 A课时训练课时训练5.