微分中值定理论文设计

1、引言通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的局部。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里 面是最根本的定理，也是构成它理论根底知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理， 可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的根底。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系1-3以与它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根 零点的存在性,和对极限的求解问题，以与一些不

2、等式的证明。中值定理的内容与联系根本内容45对于，微分中值定理的了解， 我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进展探讨和发现它们之间的关系。它们分别是罗尔Rolle丨定理、拉格朗日Lagrange定理和柯西Cauchy定理。这三个定理 的具体内容如下：Rolle定理假如f x在a, b上连续，在a, b内可导，且fa f b，如此至少存在一点a, b ,使f 0。Lagrange 定理假如f x在a,b上连续，在a,b内可导，如此至少存在一点 a,b ,使f b f af =b aCauchy定理设f x , g x在a, b上连续，在

3、 a,b内可导，且g x0，如此至少存在一点a,b，使得f b faf_。g b g ag三个中值定理之间的关系现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。 首先我们先对这三个定理进展观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的 fa f b这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加fa f b这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理 的推广

4、，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日定理和柯西定理，看看这两者之间又是如何的联系？我们先对柯西定理进展观察，从观察中会是我们作出这样的假设，如果令定理中的g x x的话，发现定理成为了拉格朗日定理。这使得我们发现他们二者之间的联系，拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理如此是拉格朗日定理的推广。我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结 得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理如此是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。如果我们从几何的意义上来看这三个中值

5、定理的话，那它们之间又是如何的呢？在这里我们不具体的给予研究，而是直接给予结果。假如用几何解释：“假如一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，且存在的切线于x轴相交的夹角不为直角；那么像这一类曲线具有共同的属性曲线上有一点，它的切线与曲线端点的连线平行。定理的推广7前面我们已经讨论了定理之间的关系， 接下来我们来看它们的推广。从前面的内容我们知道， 这三个定理都要求函数 f x在a,b上是连续，在a,b内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间a,b，把它推广到无限区间a, 或 ，再把开区间 a,b推广到无限区间a, 或 ，的话，如此这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定

6、理呢？通过讨论研究我们知道， 按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以与证明。定理1 假如f x在a上连续，在 a,内可导，且f x f a，如此至少存在一点a,使f0成立。证明：令1t，如此x1a 1，即可得到关于x a 1t当x a,时，如此t0,1即1 a，lim tt 0再令f X ft帆gtlim ftt 0lim f x f a fxg 0lim g tt参数函数t 1tg t1 g 1g 0g 1且g 0 g 1，由Rolle定理可得到g t在0,1上连续，在0,1内可导至少存在一点0,1，使g0成立令，有f

7、0，而12 0.至少存在一点a,，使f0成立定理2假如f x在,上连续，在，证毕内可导，并且 lim f x lim f x，至xx少存在一点，使f0成立。定理2的证明可以参照定理1。定理3假如f x在a, 上连续，在 a, 内可导，并且lim f x M，如此至少存在x一点 a, ，使证明：设t，如此xx a 1a 1，即可得到关于t参数函数当x a, 时，如此t 0,1Im。 .Ht a,再令 f x f t g tg moH tMXfmg0 帆 gt Mg t在0,1上连续，在0,1内可导，由Lagra nge定理得g 1 g 0成立，而至少存在一点 0,1 ,使g即 gfa M令，有g

8、 f ?至少存在一点a, ，使成立证毕定理的应用 通过上面对定理的研究和探讨， 加深了我们的理解。我们知道中值定理在解题中具有十分广 泛的应用，现在我们来看看这三个定理的具体运用。 我们学知识，不仅仅是为了让我们知道， 更主要的是学了要会用，这才是最关键的。利用定理证明方程根零点的存在性例1 假如f x在a,b上连续，在a,b内可导a 0 ，证明在a,b内方程2xfb f a b2 a2 f x至少存在一根 。分析：由于题目是要求方程 2x f b f ab2 a2 f x是否有根存在，所以可以先对方程进展变形，把方程变为2x f b f a b2 a2 f x 0。那么方程2x f b f

9、a b2 a2 f x有根的话，如此原方程也有根。变形之后的方程有f x存在，所以可以利用 不定积分 把方程2x f b f a b2 a2 f x 0，转变为 f b fax2 b2 a2 f x 0。现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道f x在区间a, b上连续，在区间 a, b内可导a 0，由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数 fb f a x2b2 a2 f x在a, b上连续,在a, b内可导a 0 ，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。证明：令 F x f b fax2 b2 a2 f x ，显然F x在a,b上连续，在a,b内可导，而 Fa f b a2

10、b2 f a F b .根据Rolle定理,至少存在一点，使 2 f b f ab2 a2 f x .证毕本文主要在于辅助函数 f x f b f a x2b2 a2 f x的构造，我们从结论出发，构造辅助函数，使得该题可以利用中值定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。对于构造辅助函数我们可以得到Fa F b，所以选在利用罗尔定理证明。这是对解该类问题的总结，也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。下来我们继续看两道例题：设f x在a, b上连续，在a, b可导 0 a b，证明：在 a,b内存在一点，使 bf b af b b a ff 成立。分析：对于

11、等式bf b af b b a ff，如此可以两边同除以 b a，即等式左端为bf b af b，这个商式可看为函数xf x在a,b上的改变量与自变量的改变b a量之商，如此会考虑利用Lagrange定理，那么可构造辅助函数F x xf x。证明：F x xf x，如此F x在a ,b上连续，在a, b可导，由Lagrange定理，存在一点a,b，使F即ff xbf bafaba即bf baf bb aff设f X在a, b上连续，在a, b可导 0 a证毕b，证明：在a,b内存在一点使f bf alnb f成立。a分析：等式f b f a ln- f两边同除以m卫in b In a，即该等式

12、的左端为aaf b f a，这个商式可看为函数f x与in x在闭区间a,b上的改变量之商，如此我们会in b in a想到利用柯西定理来证明，那么构造辅助函数g x inx。证明：令g x Inx，对fx ， g x在a, b上运用Cauchy定理，得 f_ f b fa，1 In b In a即 f f b fa，gg b g a即 f b f a ln f .a证毕用定理求极限在求极限的题目里， 有些题目如果运用通常的一些方法来求解的话，如此会使我们在解题过程中出现很大的计算量，或者比拟繁琐的解题过程。但是应用中值定理的话，会为这一类题目提供一种简单有效的方法。而用中值定理来解题，最关键

13、在于辅助函数的构造，然后在运 用中值定理解题，即可求出极限。11a例1求limn2，沪，其中a 0。n1 1f xax，那么就可以得到分析：由于题目中有a和a ,如此可以试着构造辅助函数在 1 , 1连续，在 11可导，即可以利用 Lagrange定理解题了。n 1 nn 1 n解：根据题意，由 Lagrangge定理，有1lim n2 annlim n2n”n2a Inalimn n n 1In a其中11n 1 nan1试求lim an。x n解： 令f x 2. x，如此对于函数 fx在nn k , nn k 1 上满足Lagra ngge定理可得：2nn k 12 nnk 1,i社 ，

14、n n k ,n n k 1n n k 1 n n k-当k 0,1,，n 1时，把得到的上述 n个不等式相加得:111 2 2nn 1n n 2.n n n11 nn 2、n 2n 1即an2、221ann12n故02 2c1”12an1=n.2lim an 2 2 2n证明不等式故不等式的证明对数学是很重要的。当我们对于数学体系来说不等式是一块很重要的内容。“我们可以根据不等式两边学习了中值定理，知道了它在不等式的证明中起着巨大的作用。的代数式选取一个来构造辅助函数，再应用中值定理得出一个等式后，对这个等式根据自变 量的取值X围的不同进展讨论，得到不等式。下面我们来通过例子来说明定理在证明

15、中的运用。例1设x 0 ,对o1的情况，求证x x 1 。分析：证明不等式最常用的方法有做差，做商，对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。那我们是否能通过变形是， 他们可以应用做差或是做商呢？我们来看下不等 式，不难发现当x 1时，等式两边就相等了，所以接下来排除x 1，分两步讨论。在观察不等式两边的代数式，不难看出左边的代数式比拟复杂，如此是否可以把左边的代数式构造辅助函数，是题目可以运用中值定理解题呢？不妨设定理即可证明。证明：当x 1时结论显然成立，当 x 1时，取f x x ， F x x。利用 Cauchyx,1或1,x，在该区间设f xx ，F xx，由Cauchy定

16、理得：f xf 1fx,1 或1, xF xF 1F即x111x当x1时，x,1，1 1即x1 1x又xx 10故x1x，即x1 1当x1时，1,x1 1如此xx 10故x1x，即x1 1由此，不等式得证例2fx 在0,a满足f xM且在0, a内取最大值，试证：f 0 fa aM 。分析：假如能找到点x00,a，使f xo，如此要证的结论便转化为变量的形式:f x0f 0 f a f x0 aM ，如此根据Lagrangge定理证之即可。然而对于x0的寻找，应该从题目中条件的f x在开区间0,a内取到最大值入手。定理推广的应用对于中值定理推广到无限区间上，在于求解一些题目， 如果应用了中值定

17、理的该推广会比拟方便的得到解题，下面我们来看一个例子:例1 如果函数f xxe x，求证:0, ，使得f o。分析：对于该题目我们通常会采用这样一种证法，令f x 0，有 f xxxe1 2x2 0 x V2 0，即可得证。这种证明的方法，可以说是利用极限方法来证_2_ ，明的，我们现在考虑是否还可以运用其它的方法来证明。假如要运用中值定理来证明是否可以呢？下面给出该方法。证明：由题得f X在0,连续，在0,可导，且可得：x2 e1 2x202lim xex 0 f 0x那么,由推广定理的定理1，得到：0,，使得f0证毕例2设f X在，上可得，且0f xX ，证明：2丿0,使得1x1 2fO1

18、 22证明问题相当于要找0，使 f X1 x0，因函数Fr1 x 右:x f x 2 在1 x21 x27内可导，故0lim0 lim f xlim20，即 lim fx 0xxx 1 xx又；Lolim 0 lim f xlimx20，即lim f x 0xxx1 x2x所以lim f x lim f xx0由定理2知o，使得F0，即题目得证。证毕中值定理的应用广泛，本文从几个方面介绍了该定理的运用。通过以上的例题让大家知道，应用这几定理的关键和解题的难点， 是在于对辅助函数的构造。 在论文中通过一些题目的解 题过程让大家了解到对于一道题目来说， 他的解题的方法具有多样性， 对于方法的选择是解 题过程繁简的关键，选择一种简便的方法可以使我们快速有效的作答。 也希望通过这几道例 子能让大家对定理加深理解和应用。结论本课题的研究成果是通过大学阶