波函数的统计解释

1、第二章第二章 波函数波函数和和 Schrodinger Schrodinger 方程方程l1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释 l2 2 态叠加原理态叠加原理 l3 3 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 l4 Schrodinger 4 Schrodinger 方程方程 l5 5 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 l6 6 定态定态SchrodingerSchrodinger方程方程 1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释（一）波函数（一）波函数 （二）波函数的解释（二）波函数的解释（三）波函数的性质（三）波函数的性质 3 3个问题？个问题？ 描写

2、自由粒子的描写自由粒子的平平 面面 波波),(tr 如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的描写粒子状态的波函数，它通常波函数，它通常是一个是一个复函数复函数。称为称为 dedeBroglie Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。波。此式称为自由粒子的波函数。(1) (1) 是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态

3、呢？(2) (2) 如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？(3) (3) 描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？（一）波函数（一）波函数 )(expEtrpiA电子源电子源感感光光屏屏两种错误的看法两种错误的看法1. 1. 波由粒子组成波由粒子组成 如如水波，声波水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说

4、明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。 PPOQQO 事实上，正是由于单个电子具有波动性，事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。些量子现象。 波由粒子组成的看法波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。波动性的一面，具有片面性。2. 2. 粒

5、子由波组成粒子由波组成l电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组

6、成，那么自由粒子将充满整个空间，振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。与实验事实相矛盾。 l实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小其广延不会超过原子大小1 1 。 l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ “ 电子既不是粒电子既不是粒子也不是波子也不是波 ” ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们但是我们也可以说，也可以说，“ “ 电子既是

7、粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一一。” ” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ; 粒子意味着粒子意味着 2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中经典概念中 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ; 波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、

8、衍射现象，即相干叠加性。1.1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样; ;QQOPP我们再看一下电子的衍射实验我们再看一下电子的衍射实验2.2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. .电子源电子源感感光光屏屏（二）波函数的解释（二）波函数的解释 r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的几点附近的几

9、率。率。l结论：结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。电子在许多次相同实验中的统计结果。 l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，础上，Born Born 提出了波函数意义的统计解释。提出了波函数意义的统计解释。在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上 据此，据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性

10、，波函数观客体运动的一种统计规律性，波函数(r(r) )有时也称有时也称为几率幅。为几率幅。 这就是首先由这就是首先由 BornBorn 提出的提出的波函数的几率解释波函数的几率解释，它是它是量子力学的基本原理量子力学的基本原理。 假设衍射波波幅用假设衍射波波幅用 (r(r) ) 描述，与光学相似，描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用衍射花纹的强度则用 |(r)|(r)|2 2 描述，但意义与经描述，但意义与经典波不同。典波不同。 | (r)| | (r)|2 2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r r 点附近点附近几率的大小，确切的说，几率的大小，确切的说，| (r)| (r

11、)|2 2 x y z x y z 表表示在示在 r r 点处，体积元点处，体积元xyzxyz中找到粒子的几率。中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，在这点找到粒子的几率成比例，（三）波函数的性质（三）波函数的性质在在t t时刻，时刻，r r点，点，dd=dxdydz=dxdydz体积内，找到由波函数体积内，找到由波函数(r,t(r,t) )描写的粒子的几率是：描写的粒子的几率是：d W( r, t) = C| (r,t)|d W( r, t) = C| (r,t)|2 2 d d，其中，其中，C

12、C是比例系数。是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：（1 1）几率和几率密度）几率和几率密度在在t t时刻时刻r r点，单位体积内找到粒子的几率是：点，单位体积内找到粒子的几率是： w w( r, t ) = dW(r( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|, t )/ d = C | (r,t)|2 2 称为几率密度。称为几率密度。在体积在体积 V V 内，内，t t 时刻找到粒子的几率为：时刻找到粒子的几率为： W(t) = W(t) = V V dW dW = = V Vw w( r, t )

13、d= C( r, t ) d= CV V | (r,t)| | (r,t)|2 2 d d（2 2） 平方可积平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： CC | (r , t)| | (r , t)|2 2 d= 1 d= 1, , 从而得常数从而得常数 C C 之值为：之值为： C = 1/ C = 1/ | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d这即是要求描写粒子量子这即是要求描写粒子量子状态的波函数状态的波函数 必须是绝必须是绝

14、对值平方可积的函数。对值平方可积的函数。若若 | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d , , 则则 C C 0 0, , 这是没有意义的。这是没有意义的。 )(exp),(EtrpiAtr注意：自由粒子波函数注意：自由粒子波函数 不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，不满足这一要求。关于自由粒子波函数如何归一化问题，以后再予以讨论。以后再予以讨论。 （3 3）归一化波函数）归一化波函数 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 2 倍），则相倍），则相应的波动能量将为原来的应的波动能量将为原来的 4 4 倍，因而代表

15、完全不同的波动状态。经倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。典波无归一化问题。 (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C C 是常数。是常数。 因为在因为在 t t 时刻，空间任意两点时刻，空间任意两点 r r1 1 和和 r r2 2 处找到粒子的处找到粒子的相对几率之比是：相对几率之比是： 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不

16、取决于强度的绝对大只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一状态描述同一状态221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可见，可见， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同一几率波，描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。所以波函数有一常数因子不定性。归一化常数l若若 (r , t ) (r , t

17、) 没有归一化，没有归一化， | (r , t )| | (r , t )|2 2 d= A d= A （A A 是大于零的常是大于零的常数），则有数），则有 | |(A)(A)-1/2-1/2 (r , t ) (r , t )| |2 2 d= 1 d= 1 也就是说，也就是说，(A)(A)-1/2-1/2 (r , t ) (r , t )是归一化的波函数，是归一化的波函数， 与与 (r , t ) (r , t )描写同一几率波，描写同一几率波，(A)(A)-1/2 -1/2 称为归一称为归一化因子化因子。 注意：对归一化波函数仍有一个注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性模为

18、一的因子不定性。 若若 (r , t ) (r , t )是归一化波函数，那末，是归一化波函数，那末， expiexpi (r , t ) (r , t ) 也是归一化波函数（其中也是归一化波函数（其中是是实数），与前者描述同一几率波。实数），与前者描述同一几率波。（4 4）平面波归一化）平面波归一化I Dirac I Dirac 函数函数 定义：定义： 0000)(xxxxxx )0(1)()(0000 dxxxdxxxxx或等价的表示为：对在或等价的表示为：对在x=xx=x0 0 邻域邻域连续的任何函数连续的任何函数 f f（x x）有：）有：)()()(00 xfdxxxxf 函数函数

19、亦可写成亦可写成 Fourier Fourier 积分形式：积分形式：)(0021)(xxikedkxx 令令 k=pk=px x/ / , dk= dp, dk= dpx x/ / , , 则则xxxpidpexxx)(0021)( 性质：性质：)()()()(000 xxxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx 0 x0 x)(0 xx dxeppxpxpxppixxxxxx)(021)( ，则则，作作代代换换：II II 平面波平面波 归一化归一化EtipEtrpiperAetr )(),(写成分量形式写成分量形式321)()()()(zpiypixpippprpipzyxzyx

20、eAeAeAzyxAer t=0 t=0 时的平面波时的平面波)(),(),(22*22xxtppippppedxtxtxxxxx 考虑一维积分考虑一维积分dxxxexxxxpptEEi)()(* dxxxexxxxpptppi)()(*2222 dxxxxxpp)()(* )(221xxppA 若取若取 A A1 12 2 2 2 = 1 = 1，则，则 A A1 1= 2= 2 -1/2-1/2, , 于是于是xpipxxex 21)( )(xxpp 平面波可归一化为平面波可归一化为函数函数)(xxpp dxtxtxxxpp),(),(* )(xxpp dxeAxppixx21 dxepp

21、xppixxxx)(21)( )()()()(000 xxxfxxxf 三维情况：三维情况：EtipEtrpiperetr )(21),(2/3 drredtrtrpptEEipp)()(),(),(* )()()()()()(*ppppppppdrrzzyyxxpp 2/332121 AAAA)()(ppppetEEi 其中其中2/321)(rpiper 注意：注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。相同。作作 业业

22、补补 充充 题题波波函函数数是是否否等等价价？两两种种情情况况，得得到到的的两两个个取取、对对是是否否等等价价？和和、波波函函数数请请问问：已已知知下下列列两两个个波波函函数数：2)()()(, 3 ,2, 1|0|)(2sin)(, 3 ,2, 1|0|)(2sin)()2(12121 nxIIxxInaxaxaxanAxnaxaxaxanAx .)24(,3,)1 (/26/ )2(5/24/33/22/211xixixixixixieieeeee 描描写写同同一一状状态态？些些与与请请问问下下列列波波函函数数中中，哪哪2 2 态叠加态叠加原理l（一）（一）态叠加原理态叠加原理l（二）（二

23、）动量空间（表象）的波函数动量空间（表象）的波函数（一）态叠加原理l微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于涉和衍射的本质在于波的叠加性波的叠加性，即可相加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在量子力学中也存在波叠加原理波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为以量子力学的波叠加原理称

24、为态叠加原理态叠加原理。考虑电子双缝衍射考虑电子双缝衍射 l= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是电子的可能状态。也是电子的可能状态。 l空间找到电子的几率则是：空间找到电子的几率则是： l|2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 l = (C = (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) l = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |C2 22 2| |2 2 + C + C1 1* *C C2 21 1* *2 2 + C + C1 1C

25、 C2 2* *1 12 2* * P1 12 2S1S2电子源电子源感感光光屏屏电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度相干项相干项 正是由于相干项的正是由于相干项的出现，才产生了衍出现，才产生了衍射花纹。射花纹。一个电子有一个电子有 1 1 和和 2 2 两种可能的状两种可能的状态，态， 是这两种状是这两种状态的叠加。态的叠加。态叠加原理一般表述：态叠加原理一般表述： 若若1 1 ，2 2 ,., ,., n n ,.,.是体系的一系列可是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加能的状态，则这些态的线性叠加

26、= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 + .+ C+ .+ Cn nn n + .+ . ( (其中其中 C C1 1 , C , C2 2 ,.,C,.,Cn n ,.,.为复常数为复常数) )。 也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。 处于处于态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1 1态，部分的处于态，部分的处于2 2态态.，部分的处于，部分的处于n n，.一般情况下，如果1和2 是体系的可能状态，那末它们的线性叠加= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是该体系的一个可能状态也是该体系的一个可能状态. .其中其中C1 C1 和和 C2 C2

27、 是复常数，这就是量子力学的态叠是复常数，这就是量子力学的态叠加原理。加原理。例：例： )(expEtrpiAp( , )()( , )( , )()( , )pppxyzr tc pr tr tc pr t dpdpdp dp dpp ，其 中 由 于是 连 续 变 化 的 ，所 以 后 式 应 用 积 分 代 替 了 求 和 。电子在晶体表面反射后，电子电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量可能以各种不同的动量 p p 运运动。具有确定动量的运动状态动。具有确定动量的运动状态用用dedeBroglie Broglie 平面波表示平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态根

28、据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态可表示可表示成成 p p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。 dp p（二）动量空间（表象）的波函数（二）动量空间（表象）的波函数l (r,t) (r,t)是以坐标是以坐标 r r 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标空间波函数，坐标表象坐标表象波函数；波函数； lC(p, t)C(p, t) 是以动量是以动量 p p 为自变量的波函数，为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量空间波函数，动量表象动量表象波函数；波函数；

29、 l二者描写同一量子状态。二者描写同一量子状态。exp21)(2/3rpirp ）（ 波函数波函数(r,t(r,t) ) 可用各种不同动量的平面波表示，可用各种不同动量的平面波表示， 下面我们给出简单证明。下面我们给出简单证明。rdtrrtpcp),()(),( 同同描描述述方方式式。是是同同一一量量子子态态的的两两种种不不一一一一对对应应，与与所所以以的的。变变换换式式，故故而而总总是是成成立立显显然然，二二式式互互为为),(),(tpctrFourier 展开展开系数系数pdrtpctrp)(),(),( 令令则则 可按可按p p 展开展开dxdydzrpitrexp),(212/3 ）（

30、 zyxdpdpdprpitpcexp),()2(12/3 若若 (r,t) (r,t)已归一化，则已归一化，则 C(p, t)C(p, t)也是归一化的。也是归一化的。pdtpctpcpdtpc),(),(| ),(|2 证证明明：pdrdrtrrdrtrpp ) (), ()(),( pdrrrdrdtrtrpp) ()(), (),( ) (), (),(rrrdrdtrtr 1),(),(rdtrtr函函数数的的目目的的。平平面面波波归归一一化化为为由由此此我我们们也也可可以以看看出出把把关关系系式式其其中中使使用用了了 ) () ()(rrpdrrpprdtrrtpcp),()(),

31、( 体体积积元元内内的的几几率率；点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在rdrtrdtrtrdW 2|),(|),(具具有有类类似似的的物物理理含含义义与与),(),(trtrc 体体积积元元内内的的几几率率。点点附附近近时时刻刻粒粒子子出出现现在在动动量量pdptpdtrctpdW 2|),(|),(3 3 力学量的平均值和算符的引进力学量的平均值和算符的引进 （一）力学量平均值（一）力学量平均值 l（1 1）坐标平均值）坐标平均值 l（2 2）动量平均值）动量平均值 l（二）力学量算符（二）力学量算符 l（1 1）动量算符）动量算符 l（2 2）动能算符）动能算符 l（3 3）角动量算符

32、）角动量算符 l（4 4）Hamilton Hamilton 算符算符（一）（一）力学量平均值力学量平均值在统计物理中知道：在统计物理中知道： l当可能值为离散值时当可能值为离散值时: : 一个物理量的平均值等于物理一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；几率求和； 当可能值当可能值为连续取值时：为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相一个物理量出现的各种可能值乘上相应的应的几率密度求积分。几率密度求积分。 基于波函数的几率含义，基于波函数的几率含义，我们我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维马上可以得到粒子坐标和动量的平均

33、值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。情况，然后再推广至三维。（1 1）坐标平均值）坐标平均值 dxxxxx2|)(| drxxx2|)(|为简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化）为简单计，剩去时间变量（或者说，先不考虑随时间的变化） 设设(x)(x) 是归一化波函数，是归一化波函数，| (x)| (x)|2 2 是粒子出现在是粒子出现在x x点的几率密度，点的几率密度，则则对三维情况对三维情况，设，设(r) (r) 是归一化波函数，是归一化波函数，|(r)|(r)|2 2是粒子出现是粒子出现在在 r r 点的几率密度，则点的几率密度，则x x的平均值为的平均值为（2 2）动量平

34、均值）动量平均值一维情况一维情况：令：令(x)(x)是归一化波函是归一化波函数，相应动量表象波函数为数，相应动量表象波函数为xxxxxxxxxdppcpppppcdxxipxpc222/1|)(|)(|)/exp()()2(1)( 的的几几率率密密度度，则则粒粒子子动动量量为为 既然既然(x)(x) 是归一化波函数，相应动量表是归一化波函数，相应动量表象波函数为象波函数为c(c(p px x) ) 一一 一一 对应，相互等价的描对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那末动量的平均值也应可述粒子的同一状态，那末动量的平均值也应可以在坐标表象用以在坐标表象用(x)(x)表示出来。但是表示出来。但是(

35、x)(x)不不含含p px x变量，为了能由变量，为了能由(x)(x)来确定动量平均值，来确定动量平均值，动量动量 p px x必须改造成只含自变量必须改造成只含自变量 x x 的形式，这的形式，这种形式称为动量种形式称为动量 p px x的算符形式，记为的算符形式，记为（二）力学量算符（二）力学量算符简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式（称为第一次量子化）。形式（称为第一次量子化）。xp （1 1）动量算符）动量算符一

36、维情况：一维情况：xxxxxxxxxdppcppcdppcppp)()(| )(|2 xxxxpidppcpdxexx)()(21 xxxxpidxdppcpexx)()(21 xxxpidxdppcedxdixx)()(21 )(21)(xxxpidppcedxdixdxx dxxpxdxxdxdixx)()()()( 比较上面二式得两点结论：比较上面二式得两点结论： izkyjxiiprrxx 体系状态用坐标表象中的波函数体系状态用坐标表象中的波函数 (r) (r) 描写时，描写时，坐标坐标 x x 的算符就是其自身，即的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。说明力学量

37、在自身表象中的算符形式最简单。dxdipx 而动量而动量 p px x 在坐标表象（非自身表象）中的形式必在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：须改造成动量算符形式：三维情况：三维情况： 由归一化波函数由归一化波函数(r)(r)求求 力学量平均值时，必须把该力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在力学量的算符夹在* *(r)(r)和和(r)(r)之间之间, ,对全空间积分，即对全空间积分，即()()()()()()xxxxxxxxd xppxpxd xFFxFxd x 一 维 情 况 ： rdrrrdrFrFF)()()()(若若波波函函数数未未归归一一化化，则则F F 是任

38、一是任一 力学量算符力学量算符 rdrFrFFrdrprpprdrxrxxxxx)()()()()()(三三维维情情况况：（2 2）动能算符）动能算符rdrTrTTmpTmpT)()(2222 则则所所以以动动能能算算符符在在经经典典力力学学中中，（3 3）角动量算符）角动量算符prLprL )()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLxyzzxyyzx 三三个个分分量量：rdrLrL)()( 四四章章中中讨讨论论。将将在在第第算算符符之之间间更更深深刻刻的的关关系系学学量量与与相相应应算算符符的的写写法法以以及及力力量量，对对于于有有经经典典对对应应的的力力学学的

39、的粒粒子子在在势势场场中中)(2)()(22rVmrVTHVTHrV （4 4）Hamilton Hamilton 算符算符作作 业业 补充题补充题、动动能能平平均均值值。；、归归一一化化系系数数为为实实常常量量，求求：其其中中状状态态中中，一一维维谐谐振振子子处处于于实实数数，则则）证证明明：如如果果波波函函数数是是（IIAIAexpxx 2/22)()2(. 01 4 Schrodinger 4 Schrodinger 方程方程（一）（一）引引 （二）（二）引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 （三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程 （四）（四）势场势场V(rV(r) )中运动的

40、粒子中运动的粒子 （五）（五）多粒子体系的多粒子体系的SchrodingerSchrodinger方程方程这些问题在这些问题在19261926年年Schrodinger Schrodinger 提出了波动方程之后提出了波动方程之后得到了圆满解决。得到了圆满解决。 微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核函数完全描写微观粒子的状态。因此量子

41、力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：心的问题就是要解决以下两个问题：(1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数: : (2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。（一）（一）引引（二）（二）引进方程的基本考虑引进方程的基本考虑 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t t 粒子的粒子的状态状态 r r 和和 p p 。因为初条件知道的是坐标及其对时。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下

42、经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1 1）经典情况）经典情况0000,ttdtrdmprtt 时时刻刻，已已知知初初态态是是：22dtrdmF 方方程程：粒粒子子满满足足的的方方程程是是牛牛顿顿（2 2）量子情况）量子情况 3 3第三方面，方程第三方面，方程不能包含状态参量不能包含状态参量，如，如 p p, , E E等，否则方等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。满足。1 1因为，因为，t = tt = t0 0 时刻，已知的初态是时刻，已知的

43、初态是( r, t( r, t0 0) ) 且只知道且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程程只能含只能含对时间对时间 的一阶导数的一阶导数。2 2另一方面，另一方面，要满足态叠加原理要满足态叠加原理，即，若，即，若1 1( r, t )( r, t ) 和和2 2( r, t )( r, t )是方程的解，那末。是方程的解，那末。 ( r, t)= C( r, t)= C1 11 1( r, t ) + C( r, t ) + C2 22 2( r, t ) ( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，

44、也就是说方程也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含中只能包含, , 对时间的一阶导数对时间的一阶导数和和对坐标各阶导数的一次对坐标各阶导数的一次项项，不能含它们的平方或开方项。，不能含它们的平方或开方项。（三）（三）自由粒子满足的方程自由粒子满足的方程 这不是所要寻找的方程，因为它包含状态这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量参量 E E 。将。将对坐标二次微商，得：对坐标二次微商，得：）（1 EtiEit )(expEtrpiA描写自由粒子波函数描写自由粒子波函数: :应是所要建立的方程的解。应是所要建立的方程的解。将上式对将上式对 t t 微商，得：微商，得：，

45、 2222)(xxEtzpypxpipxpiAexxzyx 12222222222zyxpppzyx 22222222zypzpy同同理理有有)2(221222222 pp或或 )2()2(222 pEti满足上述构造方程满足上述构造方程的三个条件的三个条件讨论：讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式看出，如果能量关系式 E = pE = p2 2/2/2 写成如下方程形式：写成如下方程形式： 22224ppipptiE）（做做算符替换（算符替换（4 4）即得自由即得自由粒子满足的方程（粒子满足的方程（3 3）。）。）（所所以以3222

46、ti 22pE 对对自自由由粒粒子子，0)2(2 pE(1)(1)(2)(2)式式（四）势场（四）势场 V(r) V(r) 中运动的粒子中运动的粒子该方程称为该方程称为 Schrodinger Schrodinger 方程，也常称为波动方程。方程，也常称为波动方程。量量。算算符符，亦亦常常称称为为是是体体系系的的式式中中HamiltonHamiltonHtrHtrrVtrti),(),()(2),(22 若粒子处于势场若粒子处于势场 V(r)V(r) 中运动，则能动量关系变为：中运动，则能动量关系变为：HrVpE )(22 )(22rVpE 将其作用于波函数得：将其作用于波函数得：做（做（4

47、4）式的算符替换得：）式的算符替换得：( (五五) )多粒子体系的多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程方程 设体系由设体系由 N N 个粒子组成，个粒子组成， 质量分别为质量分别为 i i (i = 1, 2,., N) (i = 1, 2,., N) 体系波函数记为体系波函数记为 ( r( r1 1, r, r2 2, ., r, ., rN N ; t) ; t) 第第i i个粒子所受到的外场个粒子所受到的外场 U Ui i(r(ri i) ) 粒子间的相互作用粒子间的相互作用 V(rV(r1 1, r, r2 2, ., r, ., rN N) ) 则多粒子

48、体系的则多粒子体系的 Schrodinger Schrodinger 方程可表示为：方程可表示为：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 多粒子体系多粒子体系 Hamilton Hamilton 量量 ZjijiZrrerrrV|),(221iiirZerU2)( 对有对有 Z Z 个电子的原子，电子间相互作用为个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb Coulomb 排排斥作用：斥作用：而原子核对第而原子核对第 i i 个电子的个电子的 Coulomb Coulomb 吸引能为：吸引能为：假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点

49、。假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。 NiNiiiirrrVrUH12122),()(2 例如：例如：5 5 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律（一）定域几率守恒（一）定域几率守恒 （二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质（一）（一） 定域几率守恒定域几率守恒 考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即不随时间改变，即2( , )( , )( , )|( , )

50、 |w r tr tr tr t (,)0dwrtdd t 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在率将怎样随时间变化。粒子在 t t 时刻时刻 r r 点周围点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：证：考虑考虑 Schrodinger Schrodinger 方程及其共轭式：方程及其共轭式：)5(222 Vti )6(222 Vti 式式得得：将将)6()5( 2222 titi22 ）（ti取共轭取共

51、轭 dddtdi22 ）（在空间闭区域在空间闭区域中将上式积分，则有：中将上式积分，则有：闭区域闭区域上找到粒上找到粒子的总几子的总几率在单位率在单位时间内的时间内的增量增量J J是几率流密度，是几率流密度，是一矢量。是一矢量。所以所以(7)(7)式是几率（粒子数）式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。守恒的积分表示式。令令 Eq.Eq.（7 7）趋于趋于 ，即让积分对全空间进行，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是 Eq.Eq.（7 7）

52、变为：）变为：(, )0dwrt dd t0wJt 其微分形式与其微分形式与流体力学中连流体力学中连续性方程的形续性方程的形式相同式相同 diddtd2 ）（( , )dw r t dJddt ( , )7( , )Sdw r t dJdSdtw r tS （ ）是 体 积的 表 面 。使用使用 Gauss Gauss 定理定理单位时间内通过单位时间内通过的封闭表面的封闭表面 S S 流入（面积分前面的负号）流入（面积分前面的负号）内内的几率的几率2 iJSdS ( , )0dw r t ddt讨论：表明，波函数归一化不随表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是时间改变，其物理意义是粒子既

53、未产生也未消灭。粒子既未产生也未消灭。（1 1） 这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处这里的几率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。不变，并伴随着某种流来实现这种变化。（2 2） 以以乘连续性乘连续性方程等号两边，得到：方程等号两边，得到：0wJt 量子力学的质量量子力学的质量守恒定律守恒定律同理可得量子力学同理可得量子力学的电荷守恒定律：的电荷守恒定律：0eewJt 表明电荷总量表明电荷总量不随时间改变不随时间改变2|( , )|()2wwr tiJJ 质量密度和质量流密

54、度矢量质量密度和质量流密度矢量2|( , )|()2eewewer tiJeJe 电荷密度和电流密度矢量电荷密度和电流密度矢量（二）再论波函数的性质（二）再论波函数的性质1. 1. 由由 Born Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布，即知道了粒子在空间的几率分布，即 d W(rd W(r, t) = |(r, t)|, t) = |(r, t)|2 2 d d 2. 2. 已知已知 (r, t)(r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相应则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写

55、粒子状态的一切力学量的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。 3.3.知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由SchrodingerSchrodinger方程即可确定以后时刻的状态。方程即可确定以后时刻的状态。（1 1）波函数完全描述粒子的状态）波函数完全描述粒子的状态l式右含有式右含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是是任意选取的，所以任意选取的，所以S S是任意闭合面。要使积分

56、有意义，是任意闭合面。要使积分有意义，必必须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且须在变数的全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续。其一阶导数亦连续。 l概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。( , )2SSdw r t dJdSdtidS 2.2.根据粒子数守恒定律根据粒子数守恒定律 : :1. 1. 根据根据BornBorn统计解释统计解释 w w(r(r, t) = , t) = * *(r, t) (r, t)

57、(r, t) (r, t)是粒是粒子在子在t t时刻出现在时刻出现在 r r点的几率，这是一个确定的数，所以要点的几率，这是一个确定的数，所以要求求(r, t)(r, t)应是应是 r, tr, t的单值函数且有限。的单值函数且有限。（2 2）波函数标准条件）波函数标准条件（3 3）量子力学基本假定）量子力学基本假定 I I、 IIII量子力学基本假定量子力学基本假定 I I 波函数完全描述粒子的状态波函数完全描述粒子的状态量子力学基本假定量子力学基本假定 II II 波函数随时间的演化遵从波函数随时间的演化遵从 Schrodinger Schrodinger 方程方程6 6 定态定态Schr

58、odingerSchrodinger方程方程l（一）定态（一）定态SchrodingerSchrodinger方程方程 l（二）（二）HamiltonHamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程 l（三）求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的步骤 l（四）定态的性质（四）定态的性质 （一）定态（一）定态SchrodingerSchrodinger方程方程),()(2),(22trrVtrti )()(),(tfrtr )(2)()()(22rVtftfdtdri 现在让我们讨论现在让我们讨论 有外场情况下有外场情况下的定态的定态 Schrodinger Schrodinger 方程

59、：方程：E )()(2)()(22rErVtEftfdtdi 令：令：/)(iEtetf Etiertr )(),( 于是：于是：V(r)V(r)与与t t无关时，可以无关时，可以分离变量分离变量代代入入)(2)(1)()(122rVrtfdtdtfi )()(tfr 两两边边同同除除等式两边是相互等式两边是相互无关的物理量，无关的物理量，故故应等于与应等于与 t, t, r r 无关的常数无关的常数 该方程称为该方程称为定态定态 Schrodinger Schrodinger 方程方程，(r)(r)也也可称为定态波函数，或可看作是可称为定态波函数，或可看作是t=0t=0时刻时刻(r,0)(r

60、,0)的定的定态波函数。态波函数。 此波函数与时间此波函数与时间t t的关系是正弦型的，其角频的关系是正弦型的，其角频率率=2E/h=2E/h。 由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知： E E 就是体系处于波函数就是体系处于波函数(r,t)(r,t)所描写的状所描写的状态时的能量。也就是说，此时态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的体系能量有确定的值值，所以这种状态称为定态，波函数所以这种状态称为定态，波函数(r,t)(r,t)称为称为定态波函数。定态波函数。Etiertr )(),( )()(222rErV 空间波函数空间波函数(r)(r)可由方程可由方程和具体