【高考数学秘籍】函数的奇偶性与周期性

1、第 7 讲函数的奇偶性与周期性磐级11.(2017 北京卷)已知函数 f(x) = 3x-(3)X，则 f(x)(B)A 是偶函数，且在 R R 上是增函数B 是奇函数，且在R R 上是增函数C.是偶函数，且在R R 上是减函数D .是奇函数，且在 R R 上是减函数 3333 因为函数 f(x)的定义域为R,f(-x) = 3x-(3)-x= g)x-3x=- f(x),所以函数 f(x)是奇函数.因为函数y=6x在 R R 上是减函数，所以函数 y= (3)x在 R R 上是增函数.3又因为 y= 3x在 R R 上是增函数，1所以函数 f(x)= 3x- (-)x在 R R 上是增函数.

2、32.(2014 新课标卷 I)设函数 f(x), g(x)的定义域都为 R R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数, 则下列结论正确的是(C)A . f(x)g(x)是偶函数B . |f(x)|g(x)是奇函数C. f(x)|g(x)|是奇函数D. |f(x)g(x)|是奇函数薛 3 3 因为 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以 f( x)=- f(x), g(-x)= g(x),所以 f( x)g( x)=- f(x)g(x),所以 f(x)g(x)为奇函数.|f( - x)|g( x) = |f(x)|g(x), 所以|f(x)|g(x)为偶函数.f( - x)|g( x)|=

3、- f(x)|g(x)|, 所以 f(x)|g(x)|为奇函数.|f( - x)g( x)|= |f(x)g(x)|, 所以|f(x)g(x)|为偶函数.3. (2018 华大新高考联盟教学质量测评9=x(1 + x)，贝 y f( - 2)= (A)f(-1)=f(-1+4 4)=f f(1f(p2(1+2)44. (2016 安徽皖北联考)已知偶函数 f(x)对于任意 x R R 都有 f(x+ 1) = -f(x),且 f(x)在区 间0,2上是递增的，则 f( - 6.5), f(- 1), f(0)的大小关系为(A)A . f(0)f(- 6.5)f( - 1) B . f(- 6.

4、5)f(0)f( 1)C. f( 1)f( 6.5)f(0) D . f( 1)f(0)f( 6.5)CD 由 f(x+1) = f(x),得 f(x+ 2) = f(x+ 1) = f(x),)设 f(x)是周期为 4 的奇函数，当 0Wxw1 时，f(x)A.故函数 f(x)是周期为 2 的函数.又 f(x)为偶函数，所以 f( 6.5) = f( 0.5) = f(0.5), f( 1)= f(1),因为 f(x)在区间0,2上是递增的，所以 f(0)f(0.5)f(1),即 f(0)f( 6.5)0，则实数 m的取值范围为|, |).由 f(m 1) + f(2m 1)0? f(m 1

5、) f(2m 1),因为 f(x)为奇函数，所以一 f(x) = f( x),所以 f(m 1)f(1 2m),又 f(x)在10,10上是减函数，干10 m 1 10,92所以 一 10W2m K 10, 解得m；.-m 10,7.已知函数 f(x) = 5,x = 0,是奇函数./ + mx,x0(1)求实数 m, n 的值；若函数 f(x)在区间1, a 2上单调递增，求实数 a 的取值范围.CE3 (1)设 x0,2 2f( x) = ( x) + 2( x) = x 2x,又因为 f(x)为奇函数，所以 f(0) = n = 0,f( x) = f(x),于是 x1 1,结合 f(x

6、)的图象可知有所以 1a 3.a 2 1,故所求实数 a 的取值范围是(1,3.窖级. .38.(2016 山东卷)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时，f(x)= x 1；当一 Kx2 时,f(x + 2)= f(x 2),则 f(6) = (D)A . 2 B. 1C. 0 D. 21 1 1SB 由题意知，当 x2 时，f(x+刁=f(x刁,则当 x0 时，f(x+ 1) = f(x).又当一 1 x 1 时，f( x)= f(x),所以 f(6) = f(1) = f( 1).又当 XV0 时，f(x) = x3 1 ,所以 f( 1) = 2,所以 f(6) = 2故选 D

7、.fx+ 1、+ sin x9.设函数 f(x) =x2+ 1 的最大值为 M，最小值为 m,贝 V M + m=2 .2x+ sin x2x+ sin x设 g(x) = f(x) 1=2，贝 y g(x)是奇函数,x2+ 1因为 f(x)的最大值为 M，最小值为 m,所以 g(x)的最大值为 M 1,最小值为 m 1.所以 M 1 + m 1 = 0,所以 M + m= 2. 2x+ b10已知定义域为 R R 的函数 f(x)=x+1的图象关于原点对称.2 十a a(1)求 a, b 的值；若对任意的 t R R，不等式 f(2t2 2t) + f(t2 k)0 恒成立，求 k 的取值范围.633(1)因为 f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是奇函数，所以 f(0) = 0,xb 11 2即 =0,解得 b = 1，所以 f(x)=.a+2a+2十11 21 12又由 f(1) = f( 1)知 = ，解得 a= 2.a+ 4a+ 1故 a = 2, b = 1.由知f(x) =易知 f(x)在(m,+m)上为减函数.