【高考数学秘籍】概率与统计的综合问题

1、事件 M 包含的基本事件有：A1,A2,A1,A3,A1,B1,A1,B2,A2,A3,A2,B1,第 69 讲 概率与统计的综合问题1.（2016 广州市综合测试（一）从某企业生产的某种产品中抽取100 件,测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65）,65,75）,75,85内的频率之比为 4 : 2 : 1.求这些产品质量指标值落在区间75,85内的频率；（2）用分层抽样的方法在区间45,75）内抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体 从中任意抽取 2 件产品，求这 2 件产品都在区间45,65）内的概率.KZE3I （1）设

2、在区间75,85内的频率为 X,则区间55,65）,65,75）内的频率分别为 4x 和 2x.依题意得（0.004 + 0.012+ 0.019+ 0.030）X10+ 4x + 2x + x= 1,解得 x= 0.05.所以在区间75,85内的频率为 0.05.由(1)得,在区间45,55),55,65),65,75)内的频率依次为 0.3,0.2,0.1.用分层抽样的方法在区间45,75）内抽取一个容量为6 的样本,则在区间 45,55） 内应抽取在区间55,65）内应抽取0 36X= 3 件，记为 A1,A2,A3.0.3 + 0.2 + 0.10.2在区间65,75）内应抽取6X=

3、2 件，记为 B1,B2.0.3+ 0.2+ 0.10.16X= 1 件，记为 C.0.3+ 0.2+ 0.1A2,B2,A2,C,A3,B1,A3,B2,A3,C,B1,B2,B1,C,B2,C,共 15 种.则所有的基本事件有：A1,A2,A1,A3,A1,B1,A1,B2,A1,C,A2,A3,A2,B1,设“从样本中任意抽取2 件产品，这 2 件产品都在区间45,65）内”为事件 M,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,共 10 种.10 2所以这 2 件产品都在区间45,65)内的概率为2. (2015 新课标卷II)某公司为了了解用户对其产品的满意度，从 A,B 两地区

4、分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度的评分，得到 A 地区满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频率分布表满意度 评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106(1)作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)B 地区满意度评分的频率分布直方图j-ll-ill0.025avisoiHn11_ 1_ _1.L_ 1_ _it11LX_J一111441*| -1一4 -j1

5、幣40J5O60TO ISO yo100(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级:满意度评分低于 70 分70 分到 80 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大，说明理由圈(1)B 地区满意度评分的频率分布直方图如下：通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值，B 地区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度评分比较分散(2)A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大记 CA表示事件“ A 地区的用户的满意度等级为不满意” ,CB表示事件“B 地区的用

6、户的满意度等级为不满意” 由直方图得 P(CA)的估计值为(0.01 + 0.02+ 0.03)X10= 06P(CB)的估计值为(0.005+ 0.02)X10= 0.25.所以 A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.3.(2016湖南省六校联考)某组同学将高中学生课外阅读情况作为一个研究性课题，他们随机调查了 100 名同学，其中 55 个女同学,45 个男同学，下图是根据调查结果绘制的周课外阅 读时间的频率分布直方图，将周阅读时间不低于4 小时的同学称为“阅读爱好者”，已知“阅读爱好者”中有 10 个女同学.(1)根据已知条件完成 2X2 列联表，并据此资料你能否有 95%的把握认

7、为是否为“阅读 爱好者”与性别有关？非阅读爱好者阅读爱好者合计男女合计（2）将周阅读时间不低于 5 小时的同学称为“读书迷”，已知“读书迷”中有 2 名女同学, 若从“读书迷”中任意选取2 人，求至少有 1 名女同学的概率.2n ad be附 K2=a+ b e + d a+ e b+ d（1）由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，“阅读爱好者”有 25 人，从而 2X2列联表如下:非阅读爱好者阅读爱好者合计男301545女451055合计7525100由 2X2 列联表中数据代入公式计算得2n ad beK2=a+ b c+ d a+ e b + d100X30X1045X152器3

8、.030,3375X25X45X55因为 3.0303.841,所以，没有 95%的把握认为是否为“阅读爱好者”与性别有关由频率分布直方图知，“读书迷”为 5 人，记他们为 1,2,3,4,5,其中 1,2 为女同学，从“读书迷”中任意选取 2 人，有以下 10 种情况： （1,2）、（1,3）、（1,4）、（1,5）、（2,3） 、（2,4）、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5).至少有 1 名女同学的情况有 7 种，故至少有 1 名女同学的概率为 秸.4. （2017 新课标卷I）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其

9、尺寸（单位：cm）下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：抽取次序,1,2,3,4,5,6,7,8 零件尺寸，9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04 抽取次序,9,10,11,12,13,14,15,16 零件尺寸,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95 经计算得 x =11616 xi= 9.97 , s =16i=1i = 1,2,，16.16 18.439 , (xi)(i 8.5) = 2.78，其中 xi为抽取的第 i 个零件的尺寸,i=1求(Xi, i)(i = 1,2,，1

10、6)的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸 不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(1 3s,x+ 3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？(ii)在(3s,+ 3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天 生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到 0.01) 0.09.(1)由样本数据得(Xi, i)(i = 1,2,，16)的相关系数由于|r|0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或 变小.(2)(i)由于=9.97, s 0.212,因此由样本数据可以看出抽取的第13 个零件的尺寸在(3s,+ 3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值，即第 13 个数据，剩下数据的平均数为115(16X9.979.22)=10.02,这条生产线当天生产的零件尺