现在让我们看一看

1、 10.商域商域 现在让我们看一看，由一个环来得到一个域的第二种方法。 我们知道普通整数的集合作成一个子环，有理数的集合作成一个域，而整数环是有理数的一个子域的一个子环。现在我们问，给了一个环R，是不是可以找到一个除环或包含这个R。一个环R要能被一个除环或域包含，有一个必要条件，就是R不能有零因子，因为除环或域没有零因子。当R是非交换环时，这个条件还不充分，因为有例子告诉我们，一个无零因子的非交换环不一定能被一个环包含（参看：A.Malcev,On the Immersion of an Algebraic Ring into a Field,Math. Ann. P.113. 1936）.我

2、们这一节里要证明，当R是交换环时，以上条件也是充分的。我们所用的方法完全是由整数和有理数的关系到来的。定理定理 1 没一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环。在A的元间我们规定一个关系 ： ，当而且只当 的时候很明显， 证明证明 当R只包含零元的时候 ，定理显然是对的。我们看至少有两个元R。用 来表示R的元。我们作一个集合, , ,a b c ,0aAa bRbb所以符号aabbaba baabbaaaabbbb,aaaaaabbbbbb,aaaabbbb,aba ba ba b abbab ba b ba bba b ba b b （） （） 我们也有 因为：由 可得 （）但 ，R没有零

3、因子，所以可得 这样， 是一个等价关系。 这个等价关系把集合A分成若干类 。我们作一个集合 对于的元我们规定0baba baabbab 0aQb 所有类acadbcbdbd acacbdbd 这样规定的是 的加法和乘法。因为： 第一，由于R没有零因子， 都是 的元。 第二，假定 0Q0,00bdbdadbcacbdbd和0Q,aaccbbdd 那么 另一方面， ,aba bcdc dab dda bddcd bbc dbbadbcb da db cbd adbca db cbdb d ab cda bcdacb dacbd aca cbdb d 两类加法相乘的结果与类的代表无关。 对于加法来说

4、作成一个加群：0Qaccabddb aceacfdebdfbdf adfbcfbdebdf（1） （2） aceadbcebdfbdfadfbcfbdebdf （3） （4） 0cbccbdbdd 0aabbb 的不等于零的元对于乘法来说作成一个交换群：乘法适合交换律与结合律，显然； 是单位元； 的逆元是 。我们很容易验算，分配律也成立。0Qaa ab ba 放在一起，作成一个集合 ，那么 是一个R与 间的一一映射。由于 这样， 作成一个域。我们把 的所有的元0Q0Q,qaqaq是一个固定的元任意0Rqaaq0R22qabqabqaqbqqqqqabqaqbqqq以上映射是同构映射： 0RR这

5、样，由，5，定理4，有一个包含R的域Q存在。证完。 这样得来的域Q的构造似乎相当复杂，但实际上并不如此。Q既然是包含R的域，R的一个元 在Q里有逆元 ，因而在Q里有意义，我们有0b 1b11,0babb aa bR ba定理定理 2 Q刚好是由所有元 ,0ba bR ba11babb aa所作成的，这里 的样子。我们看 的任意元 。由于 证明证明 要证明Q的没一个元可以写成 的样子，只须证明 的每一个元可以写成ab0Q1qaqqaqbqqqbq0Qab 1qbqaqq我们的确有122qaqqaqbq aaqqq bbqbq ab至于每一个 多属于Q，显然。证完。 Q的元既然都可以写成 的样子，

6、由，3，Q的元有以下性质：ab（1） ,acadbcbdacadbcbdbda cacb dbd当而且只当的时候这样，Q与R的关系正同有理数域与整数环的关系一样，Q的构造并不复杂。定义定义 一个域Q叫做环R的一个商域，假如Q包含R，并且Q刚好是由所有元,0aa bR bb所作成的。 由定理1和2，一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域。那么F包含R的一 个商域。 一般，一个环很可能有两个以上的商域。我们有定理定理 3 假定R是一个有两个以上的元，F是一个包含R的域。那么F包含R的一个商域。11,0aabb aa bR bb,0aQa bR bb所有Q证明证明 在F里有意义。作F的子集显然是R的一个商域。证完。 但R的没一个商域都适合计算