2020年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6-5数学归纳法课时规范练理(含解析)

1、6-5数学归纳法课时规范练(授课提示：对应学生用书第285页)A组基础对点练1.(2018商丘期末)用数学归纳法证明：(n+1)(n+2)(n+n)=2nx1X3X-X(2n1)时，从“kUk+1"左边需增加的代数式是(k+1)(k+2)(k+k)(4k+1).=2错误！。要证明错误！+错误！+错误！W2Tn,只要证明2错误！02错误！，只要证错误！错误！，只要证n+1<2n,当n=1时，不等式显然成立，假设当n=k时，不等式成立，即k+1<2k,那么当n=k+1时，k+2=k+1+K2k+1<2k+1,即当n=k+1时不等式成立，由可得n+l02n对于neN*都成

2、立，故错误！+错误！+错误！021(nCN).3.函数f(x)=in(x+1)错误！(a>1).(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a=1,an+i=ln(an+1),证明：错误！an0错误！。解析：(1)f(x)的定义域为(1,+8),xxa2-2af(x)=-T.x+1x+a当1<a<2时，若xC(1,a22a),则f'(x)>0,f(x)在(一1,a22a)上是增函数；若x(a2-2a,0),贝Uf'(x)<0,f(x)在(a22a,0)上是减函数；若xC(0,+oo),则f'(x)0,f(x)在(0,+00)上是增函数.当a=2时，

3、f'(x)>0,当且仅当x=0时，f'(x)=0成立，f(x)在(一1,十8)上是增函数.当a>2时，若x(-1,0),则f'(x)0,f(x)在(一1,0)上是增函数;若xC(0,a2-2a),则f'(x)0,f(x)在(0,a22a)上是减函数；若xC(a22a,+00)，则f'(x)>0,f(x)在(a22a,十0°)上是增函数.证明：由(1)知，当a=2时，f(x)在(一1,十°°)上是增函数.当xC(0,+8)时,f(x)f(0)=0,即ln(x+1)错误！(x>0).又由(1)知，当a=3

4、时，f(x)在0,3)上是减函数.当xe(0,3)时，f(x)<f(0)=0,即ln(x+1)<错误！(0x3).下面用数学归纳法证明错误！<an<错误！。，一，2当n=1时，由已知得-a=1；3假设当n=k时结论成立，即错误！<ak<错误!0当门=卜+1时，ak+i=ln(ak+1)>ln错误！,错误！=错误！。ak+1=ln(ak+1)win错误！错误！=错误！。即当n=k+1时，有错误！ak+i0错误！，结论成立.一一.-一八*.根据知对任何neN结论都成立.B组能力提升练1 .(2018南京期末)把圆分成n(n>3)个扇形，用4种颜色给这

5、些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有f(n)种方法.写出f(3),f(4)的值;(2)猜想f(n)(n>3),并用数学归纳法证明.解析：(1)n=3时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个有2种方法，可得f(3)=24;n=4时，第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个相同有1种方法，第四个有3种方法，或第一个有4种方法，第二个有3种方法，第三个与第一个不相同有2种方法，第四个有2种方法，可得f(4)=36+48=84.(2)当n>4时，首先，对于第1个扇形日,有4种不同的染法，由于第2个扇形a2的颜色与a1的颜色不同，所以对于a

6、2有3种不同的染法，类似地，对扇形a3,，an均有3种染法.对于扇形an,用与a1不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形a颜色相同的情况，而扇形日与扇形&颜色相同的不同染色方法数就是f(n-1),于是可得f(n)=4x3n一f(n-1),猜想f(n)=3n+(1)n3。当n=3时，左边f(3)=24,右边33+(-1)3-3=24,所以等式成立假设n=k(k>3)时，f(k)=3k+(1)k-3,则n=k+1时，f(k+1)=4X3kf(k)=4X3k3k+(1)k-3=3k+1+(1)k+1,3,即n=k+1时，等式也成立.综上，f(n)=3n+(1)n-3(n>

7、3).2 .数列a满足an+i=错误！，a=1。(1)证明：数列错误！是等差数列；(2)求数列错误！的前n项和8b并证明错误！+错误！+错误！>错误！。解析：(1)证明：=an+1=错误！，错误！=错误！，化简得错误！=2+错误！，即错误！一错误！=2,故数列错误！是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知错误！=2n1,.$=错误！=n2。法一错误！+错误！+错误！=错误！+错误！+错误！错误！+错误！+错误！=错误！+错误！+错误！=1错误！=错误！.法二(数学归纳法)当n=1时，错误！=1,错误！=错误！，不等式成立.假设当n=k时，不等式成立，即错误！+错误！+错误！&g

8、t;昔误！.则当n=k+1时，错误！+错误！+错误！+错误！>错误！+错误！，又错误！十错误！一错误！=1错误！+错误！一1+错误！=错误！一错误！=错误！0,错误！+错误！+错误！+错误！错误！，:原不等式成立.3 .设函数f(x)=x2+mln(x+1).(1)若函数f(x)是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；(2)若mi=-1,试比较当x(0,+8)时，f(x)与x3的大小；(3)证明：对任意的正整数n,不等式e°+e14+e29+e(1n)n2<n一n2P一成立.解析：(1)(x)=2x+错误！=错误！，又函数f(x)在定义域上是单调函数，f'(x)

9、。或f'(x)在(1,+00)上包成立.若f'(x)>o在(一1,+°0)上包成立，即函数f(x)是定义域上的单调递增函数，则m>2x22x=2错误！2+错误！在(1,+8)上恒成立，由此可得m>错误！；若f'(x)<0在(1,+00)上包成立,即函数f(x)是定义域上的单调递减函数，则nmc2x22x=2错误！2+错误！在(一1,+oo)上包成立.y=2错误！2+错误！在(一1,+oo)上没有最小值，不存在实数m使f'(x)<0在(1,+00)上恒成立.综上所述，实数m的取值范围是错误！。当mr1时，函数f(x)=x2l

10、n(x+1).令g(x)=f(x)x3=x3+x2ln(x+1),，21，则g(x)=3x+2x-=一错误！,x十1显然，当xC(0,+oo)时，g'(x)<0,函数g(x)在(0,+00)上单调递减.又g(0)=0,当xe(0,+8)时，恒有g(x)g(0)=0,即f(x)x30恒成立.故当xC(0,+oo)时，f(x)<x3o(3)证明：当n=1时，左边=e°=1,右边=错误！=2,原不等式成立.设当n=k时，原不等式成立，即e0+eTx"+e2X9+e(1k)k2错误！，则当n=k+1时，左边=e0+e-2X9+-+e(1k)k2+e(1k1)(k

11、+1)2<错误！+ek(k+1)2,只需证明错误！+ek(k+1)2错误！，即证ek(k+1)2<k+2,即证一k(k+1)2<ln(k+2).由(2)知x2x3<ln(x+1)(x(0,+oo),即x2(1x)<ln(x+1),x=k+1,即有一k(k+1)2ln(k+2),当n=k+1时不等式成立.由知，原不等式成立.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑，引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共

12、同进步，成长。ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinourbusyschedule.Weproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticle,butitisinevitablethattherewillbesomeunsatisfactorypoints.Ifthereareomissions,pleasecorrectthem.Ihopethisarticlecansolveyourdoubtsandarouseyourthinking.Partofthetext

13、bytheuser'scareandsupport,thankyouhere!Ihopetomakeprogressandgrowwithyouinthefuture.解析：从“k到k+1"左边需增加的代数式是：(k+2)(k+3)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)(k+1)(k+2)(k+k)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)(k+1)=(k+1)(k+2)(k+k)(4k+1).，、一.一、一一，一一一一一一，一一火2.(2018杭州期末)设正项数列an的前n项和为Sn,若日=1,2S=an-a+1(nCN).(1)求a,a3以及数列an的通项公式；(2)设bn=2an,数歹1bn的前n项和为Tn。求Tn;*证明：错误！+错误！+错误！02Tn(nN).解析:(1)a=1,2Sn=an,an+1,2a=a1&,