解恒成立问题的基本策略

1、 “恒成立问题”解决的基本策略一、恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:j在给定区间上某关系恒成立;k某函数的定义域为全体实数R;l某不等式的解为一切实数;m某表达式的值恒大于a等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直

2、接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略（一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、 思路2、如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。(二)、赋值型利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1由等式x4+a1x3+a2x2

3、+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f：(a1,a2,a3,a4)b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故选D例2如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1，故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把

4、握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 同理，若在m,n内恒有f(x)<0， 则有 例2对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x

5、2-2x+1>0在|a|2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x<-1或x>3. 即x(,1)(3,+)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。（1）若二次函数y=ax2+bx+c(a0)大于0恒成立，则有（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。例3 若函数的定义域为R，求实数 的取

6、值范围.分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当恒成立，所以，当此时当有综上所述，f(x)的定义域为R时，例4.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围.分析：的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示：略解：变式1：若时，恒成立，求的取值范围.分析：要使时，恒成立，只需的最小值即可.解：，令在上的最小值为.当，即时， 又 不存在.当，即时， 又 当，即时， 又 综上所述，.变式2：若时，恒成立，求的取值范围.解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题.22略解：，即在上成立. 综上所述

7、，.解法二：（运用根的分布） 当，即时， 不存在.当，即时，当，即时， 综上所述.此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有

8、f(x)>g(a)恒成立，则g(a)<f(x)min;若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，则g(a)>f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)例5.已知三个不等式，要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值范围.略解：由得2<x<3,要使同时满足的所有x的值满足,即不等式在上恒成立，即上恒成立，又所以 例6. 函数是奇函数，且在上单调递增，又，若 对所有的都成立，求的取值范围 .解：据奇函数关于原点对称，又对所有的都成立.因此，只需大于或等于的最大值1，即关于a的一次函数在-1，1上大于或等

9、于0恒成立，即： 利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。5、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例7. 的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即

10、可求得a的取值范围.解：令在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使只需.故实数本题中若将改为，同样由图象可得a>3;,构造函数，画出图象，得a<3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。（一）换元引参，显露问题实质 1、对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。 解：因为的值随着参数a的变化而变化，若设，则上述问题实质是“当t为何值

11、时，不等式恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t的不等式组：。 解得，即有，易得。2、设点P（x，y）是圆上任意一点，若不等式x+y+c0恒成立，求实数c的取值范围。（二）分离参数，化归为求值域问题 3、若对于任意角总有成立，求m的范围。解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立。根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值。因为 即时，有最小值为0，故。（三）变更主元，简化解题过程 4、若对于，方程都有实根，求实根的范围。 解：此题一般思路是先求出方程含参数m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m为主

12、元，则， 由原方程知，得 又，即解之得或。5、当时，若不等式恒成立，求的取值范围。（四）图象解题，形象直观 6、设，若不等式恒成立，求a的取值范围。 解：若设，则为上半圆。设，为过原点，a为斜率的直线。在同一坐标系内 作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a的取值范围为。7、当x(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切x (1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga2>1, 1&

13、lt;a2.8、已知关于x的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求实数a的取值范围。解：令y1=x2+4x=（x+2）2-4,y2=2x-6a-4, y1的图象为一个定抛物线 y2的图象是k=2，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上方有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2）当直线为l1时，直线过点（-4，0），此时纵截距为-8-6a-4=0,a=;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-4=0，a=a的范围为分析：方程可转化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4),从而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号两

14、边看成是二次函数y= x2+4x及一次函数y=2x-6a-4，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。（五）合理联想，运用平几性质 9、不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，求a的范围。解：，C（a，0），当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A（0，1）必在圆上或圆内，即点A（0，1）到圆心距离不大于半径，则有，得。分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点A（0，1），曲线为圆。（六）分类讨论，避免重复遗漏 10、当时，不等式恒成立，求x的范围。解：使用的条件，必须将m分离出来，此时应对进行讨论。当时，要使不

15、等式恒成立，只要， 解得。当时，要使不等式恒成立，只要，解得。当时，要使恒成立，只有。 综上得。解法2：可设，用一次函数知识来解较为简单。11、当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。（七）构造函数，体现函数思想 12、（1990年全国高考题）设，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a的取值范围。解：本题即为对于，有恒成立。这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将a分离出来，得，对于恒成立。构造函数，则问题转化为求函数在上的值域。由于函数在上是单调增函数，则在上为单调增函数。于是有的最大值为：，从而可得。四、同步跟踪练习 1、对任意的实数，若不等式恒成立，求实数的取值范围3、 知是定义在的单调减函数，且对一切实数x成立，求实数a的取值范围。4、 当a、b满足什么条件时，关于x的不等式对于一切实数x恒成立？5、已知f(x)=,在x=1与x=-2时，都取得极值。 （1）求a、b的值； （2）若x-3,2都有f(x)>恒成立，求实数c的取值范围。解、（1）a=,b=-6.（2）由f(x)min=-+c>-得 或6、定义在定义域D内的函数，则称函数为“接近函数”，否则称“非接近函数”.函数,)是否为“接近函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由.解：因为 是“接近函数”7、对于函数