特殊三角形同步讲义

1、 八 年 级 上目录封面 .1 特殊三角形§2.1 等腰三角形.3§2.2 等边三角形.14§2.3 直角三角形与勾股定理.25§2.4 反思与总结.33§2.5 章节成果检测. 封底 .34建议课时：3课6个小时（不包括章节成果检测的批改与讲解）教学建议：§2.1、2.2、2.3占1课；§2.4占1课1;§2.5、2.6、2.7共1课；每节课的前5-10分钟为学生梳理相关知识点，例题部分约占20-30分钟，由老师引导学生分析思路、方法；即时练习由学生独立完成，老师再讲解要点；同步突破部分的习题分A、B两组，可作为

2、课堂内习题或者课后作业，老师视学生的个体情况、上课进度选用安排；课堂内习题由学生讲给老师听，老师倾听、分析、引导学生思路，每节课最后5分钟做本节课的总结。八上第2章 特殊三角形章节概述：特殊三角形式分三节内容，等腰三角形、等边三角形和直角三角形。本章主要知识点有等腰三角形的概念，性质：角相等，是轴对称图形，顶角的平分线所在的直线是它的对称轴，三线合一；等腰三角形的判定定理及应用。等边三角形的概念，三边相等；性质：三边相等，三角相等，每条边上三线合一。直角三角形的概念，有一个角是直角的三角形；性质，斜边上的中线是斜边的一半，30°所对的直角边等于斜边的一半；等腰直角三角形的概念；勾股定

3、理；直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，两角互余；直角三角形的判定，HL。重要辅助线有，等腰三角形底边上的高，腰上的高及等边三角形的高线，直角三角形斜边上的中线，构造直角三角形。目标，能通过理解特殊三角形的性质，判定方法的证明过程和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，并加深对图形变换的认识. 进一步强化推理、判断、计算和作图 §2.1 等腰三角形§2.1.1等腰三角形定义知识目标：1、明确等腰三角形的含义 2、学会用等腰来解决问题例1：已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为18cm和21cm两部分，则它的三边长为_解析：解题的关键是利用等

4、腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长分两种情况讨论：当AB+AD=18，BC+DC=21或AB+AD=21，BC+DC=18，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为12，12，15或14，14，11解：设AD=x则，当2x+x=18时，x=6，即AB=AC=12，周长是18+21=39，BC=15cm；三边分别为：12、12、15 两边之和大于第三边。当2x+x=21时，x=7，即AB=AC=14，周长是18+21=39，BC=11cm，三边分别为：14、14、11 两边之和大于第三边。综上可知，答案为：12、12、15 或14、14、11总结：此

5、题是分类讨论题，题目中未明确给出对应的两部分，所以分成两种情况讨论。利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长，在此过程中，要考虑求出的三条边是否能构成三角形即时练习：1.已知等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3cm，则它的腰长为_ 2. 有一个等腰三角形，三边是3x-2，4x-3，6-2x，求等腰三角形的周长。 总结：当题目中未明确给出腰时，需要进行分类讨论。§2.1.2等腰三角形的性质知识目标：1、掌握等腰三角形的两个性质 2、学会用性质解决问题例2：如图，AB=AC，BD=BC，若A=40°，则ABD的度数是（ ）

6、A20° B30° C35° D40°解析：此题是“等边对等角”的性质的应用，通过给出的边相等找到角之间的关系，利用三角形的内角和、外角性质与等腰三角形的“等边对等角”性质计算解答：解：由AB=AC、BD=BC得ABC=ACB、C=BDC，在ABC中，A=40°，C=ABC，C=ABC=（180°A）=（180°40°）=70°；在ABD中，由BDC=A+ABD得ABD=BDCA=70°40°=30度即时练习1已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的

7、顶角是（ ）A30° B60° C150° D30°或150°2如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则A等于（ ）A30° B40° C45° D36°例3：如图所示，在等腰ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。求证：BE=CE。解析：证明两线段相等常用方法是证明两个三角形全等（即ABEACE），但已知条件不足，可题目中给出等腰三角形还给出了中线，可以通过三线合一的性质得到AD是角平分线，凑足了全等条件，进而证全等证明：在等腰ABC中，AD是BC边上的中线 AB=AC

8、AD是BAC的平分线，即BAD=CAD 又AE=AE ABEACE（SAS）BE=CE即时练习：3、如图，在ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。例4如图，点D和点E在BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE 解析：此题是证明两线段相等，可以通过等量减等量的方法来证明，关键在于是“谁减谁”可是BE-DE=CD-DE，也可以是其它的等量相减，这就需要添加辅助线，利用等腰三角形三线合一性质可以找出新的等量，如下证明过程。证明：取BC中点F，连接AF AB=AC AFBC(三线合一) AD=AE, DF=EF(三线合一) BF-DF=CF-EF（等量减等量

9、，差相等） BD=CE总结：证明两线段相等常用方法是证明两个三角形ABD与三角形ACE全等，当全等比较麻烦时可以考虑其它方法。即时练习4 .在ABC中，AB=AC，O是ABC内的一点，且OB=OC，AO的延长线交BC于点D，证明：BD=CD§2.1.3等腰三角形的判定知识目标：1、学会用等腰三角形的定义和判定定理来判断等腰三角形 2、能用等腰三角形的性质与判定解决问题例5：已知：D、E为BC边上的点，AD=AE，BD=EC求证：AB=AC解析：判断一个三角形是等腰三角形有两种方法，一是通过定义证明两边相等，二是通等腰三角形的判定定理来证明。此题是利用两边相等判定等腰三角形证明：AD=

10、AE，ADE=AED，ADB=AEC，在ADBAEC中，AD=AE,ADB=AEC，BD=ECADBAEC（SAS），AB=AC总结：通过给出的已知可以看出是用定义来证明三角形是等腰三角形，即证明两边相等，通常所用是三角形全等。即时练习1， 在ABC中，BDAC于点D，CEAB于点E，且BD=CE，证明：ABC是等腰三角形。例6： 如图，在ABC和DCB中，AC与BD相交于点OAB=DC，AC=BD（1）求证：ABCDCB；（2）OBC的形状是_ 等腰三角形（直接写出结论，不需证明）解析：此题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定方法等角对等边 由已知条件，结合公共边可以利用SSS

11、判定ABCDCB，由三角形全等得角相等，可得OB=OC，所以OBC是等腰三角形解答：（1）证明：在ABC和DCB中,AB=DC,BC=CB,AC=BDABCDCB（SSS）（2）解：ABCDCB，OBC=OCBOB=OCOBC为等腰三角形故填等腰三角形即时练习：2如图，点E，F在BC上，BE=CF，A=D，B=C，AF与DE交于点O（1）求证：AB=DC；（2）试判断OEF的形状，并说明理由例7如图，ABC中，已知B和C的平分线相交于点F，经过点F作DEBC，交AB于D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（）A9 B.8 C.7 D. 6解析：本题主要利用两直线平行，内错角相等，

12、角平分线的定义以及三角形中等角对等边的判定进行做题解答：解：B和C的平分线相交于点F，DBF=FBC，BCF=ECF；DEBC，DFB=FBC=FBD，EFC=FCB=ECF，DF=DB，EF=EC，即DE=DF+FE=DB+EC=9故选A即时练习：3、如图，已知BC=3，ABC和ACB的平分线BO和CO相交于点O，OEAB，OFAC，求OEF的周长。 例8：如图，AB=AE，BC=DE，ABC=AED，M为CD中点，ACDEBM求证：AMCD解析：要证明AMCD，可以想到90度，但无法证明，但题目中给出了中点，可以想到三线合一可以证明垂直，问题转化为找等腰三角形（即ACD是等腰三角形）证明：

13、连结AC，AD AB=AE，ABC=AED ，BC=DEABCADEAC=AD，M为CD中点，AMCD 即时练习：4、如图，BCD=EDC，BC=DE，ABC=AED，M为CD中点，ACDEBM求证：AMCD总结：当图形内部作辅助线无法达到要求时，可以考虑在外部作辅助线。同步突破A组1、已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为6cm，则它的周长为_2、如图，A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则GEF=_ 3、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 _ 140°呢_4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为_ 5、等

14、腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半6、在等腰三角形ABC中，A与B度数之比为52，则A的度数是（ ）A、100° B、75° C、150° D、75°或100°7、在ABC中，AB=AC，下列推理中错误的是（ ）。A、如果AD是中线，那么ADBC，BAD=DACB、如果BD是高，那么BD是角平分线C、如果AD是高，那么BAD=DAC、BD=DCD、如果AD是角平分线，那么AD也是BC边的垂直平分线8、三角形的三边长满足式子，那么这个三角形是（ ）A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角边

15、三角形 D、以上都不对9、如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）A（1）（2）（3） B（1）（2）（4） C（2）（3）（4） D（1）（3）（4）B组10、 如图，在ABC中，AC=BCAB，点P为ABC所在平面内一点，且点P与ABC的任意两个顶点构成PAB，PBC，PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（）A 3 B 4 C 6 D 711、 如图，在ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是ABC和ACB的角平分线，且PDAB，PEAC，求PDE的周长12、 如图，在ABC中，AC=BC，BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，若

16、ADC=CAD，则ABC=_13、 如图所示，已知AE=AC，EFBC，EC平分DEF，求证：ADEC13、如图所示，BAC=ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点试判断OE和AB的位置关系，并给出证明§2.2 等边三角形§2.2.1等边三角形的概念知识目标：1、掌握等边三角形的概念例1：如图，ABC,ADE及EFG都是等边三角形，D,G分别为AC和AE的中点若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是 解析：此类题型重在考查等边三角形三边相等的概念，利用等量代换可求出DE=AD=CD=AB，EF=GF=GA=AD。 解ABC、ADE及EFG都是等边

17、三角形，D和G分别为AC和AE的中点，DE=AD=CD=AB=2，EF=GF=GA=AD=1。图形ABCDEFG外围的周长是AB+CD+BC+DE+EF+GF+AG=4+2+4+2+1+1+1=15故答案为15即时练习：如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 §2.2.2等边三角形的性质知识目标：1、掌握等边三角形的三个性质2、用等边三角形解决问题例1：如图，已知等边ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则APE的度数为（ ）A45° B60° C55° D75°解析：从题目已知入手，利用

18、了等边三角形的性质：三边相等，三角等于60°，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和 本题等边ABC中，有ABC=C=60°，AB=BC，BD=CEABDBCEBAD=CBEAPE=BAD+ABP=ABP+PBD=ABD=60°故选B即时练习：ABC是等边三角形，AD是角平分线，以AD为边再画等边ADE，DE交AB于点F，则有结论：ADBC；EF=FD；BE=BD。其中正确结论的个数为（ ）A.3 B.2 C.1 D.0例2：一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）A等腰三角形 B直角三角形 C正三角形 D等腰直角三角形解

19、析：看到高线是中线可以想到等边三角形的三线合一根据等腰三角形的三线合一的性质，可得三边相等，则对这个三角形最准确的判断是正三角形故选C即时练习1如图所示，ABC是等边三角形，AD为中线，ADAE，求EDC的度数。ABEDC§2.2.3等边三角形的判定知识目标：能根据给出的条件来判断等边三角形例1，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A30海里 B40海里 C50海里 D60海里解析：等边三角形的判定与性质；方向角由题意得ABC=60°，AB=BCABC是

20、等边三角形AC=AB=40海里故选BABCDO即时练习：1如图，点是等边内一点，将绕点按顺时针方向旋转得，连接（1）求证：是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？例2如图，在等边ABC中，AF=BD=CE，则DEF也是等边，请说明理由解析：三边相等的三角形是等边三角形，或一个角为60°的等腰三角形，注：在几何题中，注意不同的方法解决问题，发散思维。方法一：在等边ABC中A=B=60°AB=BC又AF=BDAD=BEADFBED（SAS）DF=ED同理可证DF=EFDEF为等边方法二：在等边ABC中A=B=60°，

21、AB=BC又AF=BD AD=BEADFBED（SAS）DF=ED，ADF=BEDEDF=180°-（BDE+ADF）=180°-（BDE+BED） =60°DEF为等边例3：已知：如图1，点C为线段AB上一点，ACM，CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F（1）求证：AN=BM；（2）求证：CEF为等边三角形；（3）将ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）解析：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定（1）证明：ACM

22、，CBN是等边三角形，AC=MC，BC=NC，ACM=60°，NCB=60°，ACM+MCN=NCB+MCN，即：ACN=MCB，在ACN和MCB中，AC=MC，ACN=MCB，NC=BC，ACNMCB（SAS）AN=BM（2）证明：CANMCB，CAN=CMB又MCF=180°-ACM-NCB=180°-60°-60°=60°，MCF=ACE在CAE和CMF中CAE=CMF，CA=CM，ACE=MCF，CAECMF（ASA）CE=CFCEF为等腰三角形又ECF=60°，CEF为等边三角形（3）解：如右图，CMA和

23、NCB都为等边三角形，MC=CA，CN=CB，MCA=BCN=60°，MCA+ACB=BCN+ACB，即MCB=ACN，CMBCAN，AN=MB，结论1成立，结论2不成立即时训练2：:图（1）中，C点为线段AB上一点，ACM，CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由；如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM相等吗？说明理由；如图（3）C点为线段AB外一点，ACM，CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理同步突破A组1已知：如图，ABD和ACE均为等边三角形，且DAB=CAE=60°，那么ADCAEB的根据是（）

24、A边边边B边角边C角边角D角角边2已知AOB=30°，点P在AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A直角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形3在等边ABC所在的平面内求一点P，使PAB，PBC，PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）A1B4C7D104如图，ABD，ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则BOC= 度5如图，P、Q是ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则ABC的大小等于度6如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，DBP=DBC，则BPD=度第7题7.如

25、图，已知DP分别是等边ABC内、外一点，且DA=DB,AB=BP,DBP=DBC,则BPD的度数= 8已知，如图，延长的各边，使得，顺次连接，得到为等边三角形求证：（1）；（2）为等边三角形9含30°角的直角三角板ABC（B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角（90°），再沿A的对边翻折得到ABC，AB与BC交于点M，AB与BC交于点N，AB与AB相交于点E（1）求证：ACMACN；（2）当=30°时，找出ME与MB的数量关系，并加以说明10已知，如图，ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DGBC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC

26、，连接AE，BD（1）求证：AGEDAB；（2）过点E作EFDB，交BC于点F，连AF，求AFE的度数B组1如图，等边ABC的边长为3，P为BC上一点，且APD=800在AC上取一点D，使AD=AP，则DPC的度数是（ ）A.100 B.150 C.200 D.2502如图，在等边ABC中，点O在AC上，且AO=3，CO=6，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（）A4B5C6D83.若a,b,c为ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则ABC是（ ）ABCDEA.等腰三角形 B.直角三角形 C.

27、等边三角形 D.等腰直角三角形4.已知：如图，ABC和BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上。请你说明DA-DB=DC。ABCDPA5如图，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连结PB和PD得到PBD。求：当点P运动到AC的中点时，PBD的周长；PBD的周长的最小值。6如图所示，ABC的BAC=120°，以BC为边向形外作等边BCD，把ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到ECD的位置，若AB=3，AC=2，求BAD的度数和线段AD的长7如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120度以D为顶点作一个60°

28、;角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为 §2.3直角三角形和勾股定理§2.3.1直角三角形的性质知识目标：1、掌握直角三角形的基本性质2、能用“斜中线性质”和“30°的锐角所对的直角边为斜边的一半”解决问题例1：如果三角形的三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形的是（ ）A锐角三角形 B.直角三角形C钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角解析：根据三角形内角和180度定理和三个内角的比值可以得出每个内角的相应度数。答案：B此题关键在于角的比例而不是边的比值。如是边的比值则三角形不存在。即时练习：如果三角形的一个角等到于其他两个角的

29、和，那么这个三角形是（ ）A锐角三角形 B.直角三角形C钝角三角形 D.以上答案都不对例2、如图，在ABC中，C=2B，D是BC上的一点，且ADAB，点E是BD的中点，连AE。求证：（1）AEC=C；（2）求证：BD=2AC。解析：（1）因为AE是RtBAD斜边BD上中线，由性质拓展可知：AEC=2B。又因为C=2B，所以AEC=C。（2）由（1）AEC=C，所以AE=AC，AE是RtBAD斜边上中线。由性质可得：，所以，故BD=2AC。即时练习：2、四边形ABCD中，ABCADC90°，E为AC的中点，F为BD的中点，求证；EFBD例题3：已知，RtABC中，ACB=90°

30、;，AB=8cm，D为AB中点，DEAC于E，A=30°，求BC，CD和DE的长解析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.在RtADE中，有A=30°，则DE可求.解：在RtABC中ACB=90 A=30°AB=8 BC=4D为AB中点，CD为中线DEAC，AED=90°在RtADE中， 即时练习3、在RtABC中，C90°，B15°，DE垂直平分AB，交AB于D，交BC于E，BE7，求AC的长. §2.3.2等腰直角三角形知识目标：掌握等腰直角三角形的性质例4：轮

31、船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里A25 B25 C50 D25解析：根据题中所给信息，求出BCA=90°，再求出CBA=45°，从而得到ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答解答：解：根据题意，1=2=30°，ACD=60°，ABC=30°+60°=90°，CBA=75°-30°=45°，AB

32、C为等腰直角三角形，BC=50×0.5=25，AC=BC=25（海里）故选D总结：本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键§2.3.3直角三角形的全等知识目标：直角三角形的全等条件例4：已知：如图ABC中，BDAC，CEAB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.解析：HL欲证OB=OC可证明1=2，由已知发现，1，2均在直角三角形中，因此证明BCE与CBD全等即可证明：CEAB，BDAC，则BEC=CDB=90°在RtBCE与RtCBD中RtBCERtCBD(HL)1=2，OB=OC即时练习1 已知：RtABC中，

33、ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CDBE§2.3.4勾股定理知识目标：1、掌握勾股定理的应用2、使用勾股定理的前提条件例5、如果的三边长满足关系式，则=_，=_，=_，的形状是_.解析：题目中给出几个非负数的和为0，可以得到每一个非负数为0，由此可以三元一次方程组，得出a，b，c的值，进而判断的形状答案：=24，=18，=30 的形状是直角三角形。§2.3.5直角三角形的判定知识目标：通过三边的数量关系来判断直角三角形例6.在ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=.(1) 求AD的长；(2) ABC是直角三角形吗？请说明理由.解析：(1)在中，由勾股定理CD²+BD²= BC²可以得CD得长，再由勾股定理AC²=AD²+CD²可以得AD得长.(2) 由（1）可得AB的长，再由勾股定理验证是否有AB²=CB²+AC²。解：（1）在RtDBC中，CD²= BC&