相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答

1、1、 相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（6） 双垂型： 相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。 8字型拓展共 享 性 一线三等角的变形 一线三直角的1如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，BECD交CA延长线于E求证：OC2=OAOE2如图，在ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，ADE=B=，DE

2、交AC于点E下列结论：AD2=AEAB；3.6AE10；当AD=2时，ABDDCE；DCE为直角三角形时，BD为8或12.5其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）3已知：如图，ABC中，点E在中线AD上，DEB=ABC求证：（1）DB2=DEDA；（2）DCE=DAC4已知：如图，等腰ABC中，AB=AC，ADBC于D，CGAB，BG分别交AD、AC于E、F求证：BE2=EFEG5如图，已知AD为ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线求证：FD2=FBFC6已知：如图，在RtABC中，C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PDAB，交边AC于点D（点D

3、与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且EPD=A设A、P两点的距离为x，BEP的面积为y（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与ABC相似时，求BEP的面积7如图，在ABC中，A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE8如图，已知ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且DAE=120°（1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；（2）若DB=2，CE=6，求BC的长9（已知：如图，在RtABC中，AB=AC，DAE=45°求证：（1）ABEDCA；（2）BC

4、2=2BECD10如图，在等边ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，EDF=60°（1）求证：BDECFD；（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长11（1）在ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ=ABC若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ=90度当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）13已知

5、梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，AD=5，AB=DC=2（1）如图，P为AD上的一点，满足BPC=A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPE=A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程）14如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=BC=6，AD=3点M为边BC的中点，以M为顶点作EMF=B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF（1）求证：MEFBEM；（2）若BEM是以BM为腰

6、的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求BE的长15已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当时，求BP的长16如图所示，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1

7、）写出图中与BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求GMN的面积17如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PECP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果PCD的面积是AEP面积的4倍，求CE的长；（3）是否存在点P，使APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论18如图，在RtABC中，C=90°，AB=5，点D是BC的中点，点E是AB边上的动

8、点，DFDE交射线AC于点F（1）求AC和BC的长；（2）当EFBC时，求BE的长；（3）连接EF，当DEF和ABC相似时，求BE的长19如图，在RtABC中，C=90°，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DFDE，DF与射线BC相交于点F（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF；（2）如果AD：DB=m，求DE：DF的值；（3）如果AC=BC=6，AD：DB=1：2，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？若可能，求出此时x的值；若不可能，请说明理由20如图，在ABC中

9、，C=90°，AC=6，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作DEF=90°，EF交射线BC于点F设BE=x，BED的面积为y（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；（3）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积21如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB=2，AD=4，tanC=，ADC=DAB=90°，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQAP交CD于点Q（图1）（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；（2）当PQ=DQ时，求BP的长；（图2）（

10、3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域1.解答：证明：ADBC，=，又BECD，=，=，即OC2=OAOE2. 解答：解：AB=AC，B=C，又ADE=BADE=C，ADEACD，=，AD2=AEAB，故正确，易证得CDEBAD，BC=16，设BD=y，CE=x，=，=，整理得：y216y+64=6410x，即（y8）2=6410x，0x6.4，AE=ACCE=10x，3.6AE10故正确作AGBC于G，AB=AC=10，ADE=B=，cos=，BC=16，AG=6，AD=2，DG=2，CD=8，AB=CD，ABD与DCE全等；故正确；当AED=90°时，由

11、可知：ADEACD，ADC=AED，AED=90°，ADC=90°，即ADBC，AB=AC，BD=CD，ADE=B=且cos=，AB=10，BD=8当CDE=90°时，易CDEBAD，CDE=90°，BAD=90°，B=且cos=AB=10，cosB=，BD=故正确故答案为：3. 解答：证明：（1）在BDE和DAB中DEB=ABC，BDE=ADB，BDEADB，BD2=ADDE（2）AD是中线，CD=BD，CD2=ADDE，又ADC=CDE，DECDCA，DCE=DAC4. 解答：证明：连接CE，如右图所示，AB=AC，ADBC，AD是BAC的

12、角平分线，BE=CE，EBC=ECB，又ABC=ACB，ABCEBC=ACBECB，即ABE=ACE，又CGAB，ABE=CGF，CGF=FCE，又FEC=CEG，CEFGEC，CE：EF=EG：CE，即CE2=EFEG，又CE=BE，BE2=EFEG5. 解答：证明：连接AF，AD是角平分线，BAD=CAD，又EF为AD的垂直平分线，AF=FD，DAF=ADF，DAC+CAF=B+BAD，CAF=B，AFC=AFC，ACFBAF，即=，AF2=CFBF，即FD2=CFBF6. 解答：解：（1）APD=C=90°，A=A，ADPABC，=，EPD=A，PED=AEP，EPDEAP=A

13、E=2PE（2）由EPDEAP，得=，PE=2DE，AE=2PE=4DE，作EHAB，垂足为点H，AP=x，PD=x，PDHE，=HE=x又AB=2，y=（2x）x，即y=x2+x定义域是0x另解：由EPDEAP，得=，PE=2DEAE=2PE=4DEAE=×x=x，SABE=×x×2=x，=，即=，y=x2+x定义域是0x（3）由PEHBAC，得=，PE=x=x当BEP与ABC相似时，只有两种情形：BEP=C=90°或EBP=C=90°（i）当BEP=90°时，=，=解得x=y=x××5+×=（ii）当

14、EBP=90°时，同理可得x=，y=7. 解答：证明：BD、CE分别是AC与AB边上的高，BEC=BDC，B、C、D、E四点共圆，AED=ACB，而A=A，AEDACB，；BDAC，且A=60°，ABD=30°，AD=，BC=2DE8. 解答：解：（1）有DAEDBAACE ABC是等边三角形ABC=ACB=BAC=60°D+DAB=60°，E+CAE=60°DAE=120°，DAB+EAC=60°D=CAE，E=DABD=D，E=E，DAEDBAACE（2）DBAACE，DB：AC=AB：CEAB=AC=BC，D

15、B=2，CE=6BC2=DBCE=12，BC0，BC=29. 解答：证明：（1）在RtABC中，AB=AC，B=C=45° BAE=BAD+DAE，DAE=45°，BAE=BAD+45° 而ADC=BAD+B=BAD+45°，BAE=CDA ABEDCA （2）由ABEDCA，得 BECD=ABAC 而AB=AC，BC2=AB2+AC2，BC2=2AB2 BC2=2BECD 10. 解答：（1）证明：ABC为等边三角形，B=C=60°，EDF=60°，BED+EDB=EDB+FDC=120°，BED=FDC，BDECFD；（

16、2）解：由（1）知BDECFD，=，BC=6，BD=1，CD=BCBD=5，=，解得BE=11. 解答：解：（1）APQ+CPQ=B+BAP，APQ=ABC，BAP=CQP又AB=AC，B=CCPQBAPAB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=86=2，若点P在线段CB上，由（1）知，BP=x，BC=8，CP=BCBP=8x，又CQ=y，AB=5，即故所求的函数关系式为，（0x8）若点P在线段CB的延长线上，如图APQ=APB+CPQ，ABC=APB+PAB，APQ=ABC，CPQ=PAB又ABP=180°ABC，PCQ=180°ACB，ABC=ACB，ABP=PCQQC

17、PPBABP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，即（x8）（2）当点P在线段BC上，APQ=90°，APB+QPC=90°，PAB+APB=90°，PAB=QPC，B=C=90°，ABPPCQ，AB：PC=BP：CQ，即5：（5BP）=BP：1，解得：，或，当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，同理可得：ABPPCQ，AB：PC=BP：CQ，5：（BP5）=BP：1，解得：，当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，同理可得：ABPPCQ，AB：PC=BP：CQ，5：（BP+5）=BP：1，解得：13.解答

18、：解：（1）ABCD是梯形，ADBC，AB=DCA=DABP+APB+A=180°，APB+DPC+BPC=180°，BPC=AABP=DPC，ABPDPC，即： 解得：AP=1或AP=4（2）由（1）可知：ABPDPQ，即：，（1x4） 当CE=1时，PDQECQ，或，解得：AP=2或（舍去） 14. 解答：证明：（1）在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，B=C，BMF=EMB+EMF=C+MFC，又EMF=B，EMB=MFC，EMBMFC，MC=MB，又EMF=B，MEFBEM；（2）解：若BEM是以BM为腰的等腰三角形，则有两种情况：BM=ME，那么根据MEFBE

19、M，=，=，即EF=MF根据第（1）问中已证BMEMFC，=，即MF=FC，FMC=C，又B=C，FMC=B，MFAB延长BA和CD相交于点G，又点M是BC的中点，MF是GBC的中位线，MF=GB，又ADBC，GADGBC，=，=1，即AG=AB=6，GB=12，MF=EF=6BM=BE=3，点E是AB的中点，又MEFBEM，=1，即MF=ME，EF是梯形ABCD的中位线，EF=（AD+BC）=（3+6）=；（3）EFCD，EFC=90°，MEFBEM，MFE=MFC=BME=45°，解一：过点E作EHBC，则可得EHM等腰直角三角形，故EH=MH，设BE=x，则BH=，E

20、H=MH=，BE=解二：过点M作MNDC，MC=3，NC=MN=FN，FC=2由MEFMFC有，即，得BE=15. 解答：（1）证明：在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，B=CBE=2，BP=2，CP=4，CD=4BEPCPD（2）解：B=C=EPF 180B=180EPF=BEP+BPE=BPE+CPFBEP=FPC，BEPCPF，（2x4）当点F在线段CD的延长线上时，FDM=C=B，BEP=FPC=FMD，BEPDMF，x23x+8=0，0此方程无实数根故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点P使；当点F在线段CD上时，同理BEPDMF，BEPCPF，x29x+8=0，解得x1=1，

21、x2=8由于x2=8不合题意舍去x=1，即BP=1当时，BP的长为116. 解答：解：（1）BEFAMECFNGMN；证明：（2）在BEF与AME中，B=A=60°，AEM+AME=120°，GEF=60°，AEM+BEF=120°，BEF=AME，BEFAME；解：（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，BEFAME，BE：AM=BF：AE，即：x：AM=2：（3x），AM=，同理可证BEFCFN；BE：CF=BF：CN，即：x：1=2：CN，CN=，AC=AM+MN+CN，3=+y+，y=（1x3）；（ii）当点E在线段AB上，

22、点G在ABC内时，如备用图一，同上可得：AM=，CN=，AC=AM+CNMN，3=+y，y=（0x1）；（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，AM=，CN=，AC=MN+CNAM，3=y+，y=（x3）；综上所述：y=（0x1），或y=（x1）；（4）（i）当AE=1时，GMN是边长为1等边三角形，SGMN=×1×=；（1分）（ii）当AE=1时，GMN是有一个角为30°的Rt，x=4，y=，NG=FGFN=4×1×=，SGMN=××=17. 解答：（1）解：PECP，可得：EAPPDC，又CD=2，AD=3，

23、设PD=x，AE=y，y=，0x3；（2）解：当PCD的面积是AEP面积的4倍，则：相似比为2：1，CD=2，AP=1，PD=2，PE=，PC=2，EC=（3）不存在作AFPE，交PE于O，BC于F，连接EFAFPE，CPPEAF=CP=，PE=，CDPPOA =，OA=，若OA=AF =，3x26x+4=0 =624×4×3=12 x无解因此，不存在18. 解答：解：（1）在RtABC中，C=90°，设AC=3k，BC=4k，AB=5k=5，k=1，AC=3，BC=4；（2）过点E作EHBC，垂足为H易得EHBACB设EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；E

24、FBCEFD=FDCFDE=C=90°EFDFDCFD2=EFCD，即9k2+4=2（44k）化简，得9k2+8k4=0解得（负值舍去），；（3）过点E作EHBC，垂足为H易得EHBACB设EH=3k，BE=5kHED+HDE=90°FDC+HDE=90° HED=FDCEHD=C=90° EHDDCF ，当DEF和ABC相似时，有两种情况：1°，即解得，2°，即解得，综合1°、2°，当DEF和ABC相似时，BE的长为或19. 解答：（1）证明：如图2，连接DCACB=90°，AC=BC，A=B=45&#

25、176;，点D是AB中点，BCD=ACD=45°，CD=BD，ACD=B=45°EDDF，CDAB，EDC+CDF=90°，CDF+FDB=90°，EDC=FDB，CEDBFD（ASA），DE=DF；（2）解：如图1，作DPAC，DQBC，垂足分别为点Q，PB=A，APD=BQD=90°，ADPBDQ，DP：DQ=AD：DB=mCPD=CQD=90°，C=90°，QDP=90°，DFDE，EDF=90°，QDF=PDE，DQF=DPE=90°，DQFDPE，DE：DF=DP：DQ，DE：DF=DP：DQ=AD：DB=m；（3）解：如备用图1，作EGAB，FHAB，垂足分别为点G、H在RtABC中，C=90°，AC=BC=6，AB=，AD：DB=1：2，AD=，DB=由AGE=BHF=90°，A=B=45°，可得AG=EG=，BH=FH=，GD=，HD=，易证DGEFHD，y=82x，定义域是0x