相似三角形辅助线(教师版)

1、相似三角形（辅助线的做法）在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：作平行线例1：如图，D是ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点，求：BE：EF的值. 解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P，则 PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF BE：EF=5：1.解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q， BE：EF=5：1.解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S，解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T，BD=2DC BE：EF=5：

2、1.练习：如图，D是ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点, 连结BE并延长交AC于F, 求AF：CF的值.（答案2：3）解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P，解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q，解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S，解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T，例2：如图，在ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使ADAE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证： （证明：过点C作CG/FD交AB于G）（该题关键在于ADAE这个条件怎样使用.由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例.）例3：如图，ABC中，AB<AC，在AB、

3、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF.分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。.方法一：过E作EM/AB，交BC于点M，则EMCABC（两角对应相等，两三角形相似）.方法二：过D作DN/EC交BC于N.例4：在ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EF×BC=AC×DF 证明：过D作DGBC交AB于G，则DFG和EFB相似， BEAD, 由DG

4、BC可得ADG和ACB相似， 即EF×BCAC×DF.例5：已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC于E,交BA的延长线于F,求证：分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 .（或利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形.）例6：已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：BC2=2AC·CD分析：本题的 重点在于如何解决“2”倍的 问题；让它归属一条线段，找到这一线段2倍是哪一线段.例7:已知：从直角三角形ABC的 直角顶点A向斜边BC引垂线，垂足为D，边AC的中点为E,直线ED与边AB的延长线交于F，求证：AB

5、:AC=DF:AF分析：利用前两题的 思想方法，借助中点构造中位线，利用平行与2倍关系的 结论，证明所得结论. 找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似. 例8：如图，ABC中，AD是BC边上中线，E是AC上一点，连接ED且交AB的延长线于F点.求证：AE：EC=AF：BF.分析：注意观察图形的 特殊性，有些像全等中，旋转的基本图形，因此可以没有相互关系的 成比例的四条线段转化为成比例的四条线段（通过全等找相等的线段）关键是要把成比例线段放在两个三角形中.例9：如图，平行四边形ABCD中，E为AB边中点，点F在AD边上，且AF：FD=1：2，EF交AC于G，求AG：GC的值（构造线段相等转化比

6、例式）例10：在ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB,延长BP交AC于E，交CF于F,求证：BP²=PE·PF分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相似证明.另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明. 例11：如图，梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于O点，BA、CD的延长线交于E点，连结EO并延长分别交AD、BC于N、M求证： BM=CM （证明线段相等的又一方法）作垂线例12：如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分

7、别为E、F，求证：证明：过B作BMAC于M，过D作DNAC于N AM：AE=AB：AC （1） （1）+（2）得例13：ABC中，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MNCP，交AC、BC于M、N，求证：证明：过P作PEAC于E，PFCB于F，则CEPF为矩形 PF EC AB=45° RtAEP=RtPFB EC=PF （1） 在ECP和CNM中CPMN于Q QCN+QNC=90°又 QCN+QCM=90° MCQ=CNQRtPECRtMCN 即 （2） 由（1）（2）得作延长线例14. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的

8、平分线CHAB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。 解：延长BA、CD交于点P CHAB，CD平分BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC例15. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CF·BF分析：欲证式即 由“三点定形”，BFG与CFG会相似吗？显然不可能。 （因为BFG为Rt），但由E为CD的中点，可设法构造一个与BFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H，则 又ED=EC FG=FH 又易证RtCFHRtGFB FG·FH=CF·BF FG=FH FG2=CF·BF作中线例16：如图，中，ABAC，AEBC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC.解：取BC的中点M，连AM ABAC AM=C