第4章 静电场答案

1、第4章 静电场4.1 根据点电荷的场强公式 当所考察的点到点电荷的距离r接近于零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？答：这是由于时，带电体已不能再看成是点电荷，点电荷是一种理想的模型，只有在带电体的线度远小于源点到场点的距离时才可把带电体看成是点电荷。本题中，则带电体要按实际分布计算其场强，而不能用点电荷的场强公式。4.2 在高斯定理 中，问：（1）高斯面上的E是否完全由式中的 q 产生？（2）如果 q = 0 ，是否必定有E = 0 ？（3）如果在高斯面上E 处处为零，是否必定有 q = 0 ？答：（1）高斯面上的场强是由所有的电荷产生的。（2）若，但不一定为零。（

2、3）在高斯面上处处为零，则必定有q=0。4.3 将一个均匀带电（量值为Q）的球形肥皂泡，由半径吹至 。则半径为 R （）的高斯面上任意一点的场强大小由 变至_，电势由 变至_，通过这个高斯面的E的通量由变至_ 。答：（1）变为0（高斯面内无电荷，且球对称）；（2）；（3）04.4 电势为零的地方，电场强度是否一定为零？电场强度为零的地方，电势是否一定为零？分别举例说明之。答：电势为零的地方，电场强度不一定为零（电势零点可选任一位置）；电场强度为零的地方，电势也不一定为零。例如导体内电场为零，但电势可以不为零。4.5 将一个带电物体移近一个导体壳，带电体单独在导体空腔内激发的电场是否等于零？静电

3、屏蔽的效应是如何体现的？答：带电体单独在导体空腔内激发的电场不为零。静电屏弊效应体现在带电体的存在使导体腔上的电荷重新分布（自由电子重新分布），从而使得导体空腔内的总电场为零。4.6 将一个带正电的导体 A 移近一个接地的导体 B 时，导体 B是否维持零电势？其上面是否带电？答：导体B维持零电势，其上带负电。4.7 在同一条电场线上的任意两点 a、b，其场强大小分别为及，电势分别为和，则以下结论正确的是：(1 ) ； (2 ) ； (3) ； (4) 。答：同一条电场线上的两点，电场强度可以相同，也可以不同，但沿着电场线电势降低，所以选（4）。4.8 电容器串、并联后的等值电容如何决定？在什么

4、情况下宜用串联？什么情况下宜用并联？解：串： 并：当手头的电容器的电容值比所需要的电容值小，宜用并联。当手头的电容器的耐压值比所需要的小，宜采用电容器串联。4.9 两根长度相同的铜导线和铝导线，它们两端加有相等的电压问铜线中的场强与铝线中的场强之比是多少？铜线中的电流密度与铝线中的电流密度之比是多少？（已知）答：电压V相同和导线长度l相同，则电场强度E相同；由 得：由于铜的电阻率大于铝的电阻率，所以铜线中的电流小于铝线中的电流。4.10 电力线(电场线)与电位移线之间有何关系？当电场中有好几种电介质时，电力线是否连续？为什么？电场线和电位移线都是用来形象描述电场分布的，前者与电场强度相对应，后

5、者与电位移矢量相对应，它们的关系通过介质的性质方程相联系。当电场中有好几种电介质时，电力线是不连续的，这是由于介质极化将在介质的表面及两种介质的交界面出现面束缚电荷的原因。4.11 说明带电系统形成过程中的功能转换关系，在此过程中系统获得的能量储藏在何处？图4.22 题4.12图答：在带电系统的形成过程中，外力做功使系统的能量增加，系统获得的能量储存在电场中成为静电场能量。4.12 如图4.22所示，在图(a)充电后不断开电源，图(b)充电后断开电源的情况下，将相对电容率为的电介质填充到电容器中，则电容器储存的电场能量对图(a)的情况是_ ，对图(b)情况是_。 答：（a）当充电后不断开电源（

6、V不变），填充介质使电容器储存的电场能量增大；（b）当充电后断开电源（q不变），填充介质使电容器储存的电场能量减小。* * * * * * * * * *4.13 两个点电荷所带电荷量之和为，问它们各带多少电荷时，相互作用力最大？解：设一个带电，则另一个带电，其相互作用力大小为 得 又 是F的极大值点所以当两电荷的电量相等均为时，其相互作用力最大。4.14 电子以 5.0×10 6 m ·s -1 的速率进入场强为 E =1.0×103 V·m-1的匀强电场中，若电子的初速度与场强方向一致问（1）电子作什么运动？（2）经过多少时间停止？（3）这段时间电子

7、的位移是多少？解：（1）由于速度方向和加速度（受力）方向相反 电子作运减速运动。（2）由得从以运动到停止所需时间为（3）这段时间电子的位移为4.15 两个点电荷和相距为l。若() 两电荷同号；() 两电荷异号求它们连线上电场强度为零的点的位置解：（1）若两电荷同号，电场为零的点在与的连线上，设距为x处，则有， 由此得整理得 解之得 （舍去了负根）（2）若两电荷异号，电场为0的点在与的延长线上，且在电量较小的电荷一边。若设在外距为x处，则有 即 整理得 解之得若，则在外距为（同上计算） 4.16 粒子快速通过氢分子中心，其轨道垂直于两核连线中心，问粒子在何处受到的力最大？假定粒子穿过氢分子时，两

8、核无多大移动，同时忽略分子中电子的电场解：设两核间的距离为2，粒子在距两核中心的距离为r时所受力为最大，其值为由极值条件 得即粒子到两核中心的距离等于两核距离的倍时所受之力为最大。4.17 若电荷 q 均匀地分布在长为 L 的细棒上，求证：(1) 在棒的延长线上，离棒中心为 a 处的场为 (2) 在棒的垂直平分线上，离棒 a 处的场强为 证明：选棒的中心为坐标原点，沿棒的方向为x轴方向，垂直于棒的方向为y轴（1）（2）图4.23 题4.18图4.18 如图4.23 所示为一无限大均匀带电平面中间挖去一个半径为 R 的圆孔，电荷面密度为，求通过圆孔中心且与平面垂直的线上 P 点的场强设 点到孔心

9、的距离为 x ，讨论 x >> R 和 x << R 两种情况下，为多少？ 解：本问题可等效为面电荷密度为的均匀无限大带电面与面电荷密度为-的均匀带电圆盘（圆孔大小）的场的叠加。前者在p点产生的场强为后者在P点所产生的电场为P点的电场强度为讨论：（1）当 即在很远处，挖掉的圆孔对电场强度影响不大可以忽略。（2）当时，即当场点无限接近带电面时，其电场强度只与该处的电荷分布有关，（该处电荷面密度）4.19 设均匀电场的场强与半径为的半球面的轴平行求通过此半球面的电通量解：取半径为R的平面与半径面构成封闭面，对于该封闭面，由高斯定理便知其闭面通量为零，所以通过半径面的电通量与

10、垂直于电场方向的平面（半径R）的电通量大小相同。即图4.24 题4.20图 4.20 一均匀带电线，线电荷密度为，线的形状如图4.24所示。设曲率半径为R与线的长度相比为足够小。求O点处的电场强度的大小。解：0点处的电场可看成是由两个半无限长线和一个圆周电荷产生的电场，而两半无限长线上的电荷在0点产生的电场和大小相等，方向相反，则0点的电场强度是圆周电贺产生的，即4.21 两个均匀带电的同心球面，半径分别为 0.1 m 和 0. 3 m ，小球面带电荷为1.0×10 -8 C， 大球面带电荷 1. 5×10 -8 C，求：离球心为 (1) 5×10 -2 m ；(

11、2) 0. 2 m ；(3) 0.5 m 处的场强。这两个带电球面产生的场强是否为离球心距离的连续函数。解：（1），处于球面内，则以过场点所作的同心球面作为高斯面，其内无电荷，利用高斯定理及电场的球对称分布有 ， 从而（2）过该场点所做之同心球面包括小均匀带电球面，据高斯定理及电场的球对称分布得 由此得 （3）过该场点所做之同心球面包括小均匀带电球面，也包含大均匀带电球面，将其作为高斯面，应用高斯定理并利用电场的球对称分布有 由此得 这两带电球面产生的场强不是距球心距离r的连续函数。4.22 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1 和R2 (R2 > R1)，大圆柱面和

12、小圆柱面单位长度带电荷分别为 -和 +，求离轴线为 r处的电场强度： (1) r < R1 ；(2) R2 > r >R1 ；(3) r > R2 解：过场点作与带电无限长圆柱同轴的圆柱面，高为h，将其作为高斯面，利用高斯定理及电场的轴对称性（柱面上电场沿径向，且在侧面上大小相等）可计算如下：（1） (2) 由此得 （3） 4.23 如图4.25所示，一质量为 m = 1.0×10 -6 kg 的小球，带有电荷q = 2.0×10 -11 C ，悬于一丝线下面，线与一块很大的均匀带电平面成= 30o 角。求此带电平面的电荷密度。图4.25 题4.23

13、图解：设带电平面的电荷密度为，它在平面附近产生的电场大小为，则点电荷q所受水平方向的电场力为由受力平衡可得由（1）/（2）得有 4.24 一个半径为R 的球体均匀带电，其电荷体密度为，求空间各点的电势。解：利用高斯定理并考虑球对称性得有 由电势与电场强度关系的积分形式得在区域 ，在区域 即求间各点的电势分布为4.25 在一点电荷的电场中，把一电荷量为 1.0×10 -9 C 的试探电荷从无限远处移到离场源电荷为 0.10 m 时，电场力做功为 1.8 ×10 -5 J ，求该点电荷的电荷量。解：设所求点电荷的电量为q，其电势分布为试探电荷在其中的电势能为将其从无限远移至离q

14、为电场力所做的功为有4.26 一个半径为 R 的均匀带电球面，面电荷密度为求距离球心为 r 处的 P点的电势，设 (1) r < R；(2) r = R；(3) r > R解：由高斯定理易得均匀带电球面的电场强度分布为由电势与电场强度的积分关系得球面外球面内 即电势分布为 4.27 两共轴长直圆柱面 ( R1 = 3×10-2m，R2 = 0.1m )带有等量异号电荷，两柱面的电势差为 450V ，求圆柱面单位长度所带的电荷量。解：设内外两圆柱面单位长度所带电势分别为和，选与柱面同轴，长为的圆柱面作为高斯面，由高斯定理并考虑轴对称性易得电场强度在两柱面内的分布则两柱面间的

15、电势差由此得 4.28 一圆盘均匀带电，圆盘的半径为 R = 8.0×10 -2 m ，电荷面密度为=2×10 -5 C·m-2 ，求：(1) 轴线上任一点的电势；(2) 从场强与电势的关系，求轴线上一点的场强； (3) 离盘 0.1m 处的电势和场强。解：（1）利用点电荷电势公式及电势的叠加原理可得轴线上任一点的电势为 （2）由电荷分布的对称性质，轴线上的电场沿轴线，即沿x轴方向，所以有 （3）时 图4.26 题4.29图4.29 如图4.26所示，三块平行的金属板A、B 和 C 面积都是200cm2 。A、B相距4.0 mm，A、C相距2.0 mm，B、C两点

16、都接地，如果使 A 板带正电 3.0×10-7C，并略去边缘效应，问：(1) B 板和 C 板上感应电荷各是多少？(2)以地的电势为零，问 A 板的电势为多少？解：（1）若设A板左右面带电分别为和，则C、A之间和A、B之间的电场为， （1）又C板与B板电位相等（均为0），则有： 即利用（1）便得： （2）又 （3）（2）、（3）联立解之得：由上分析便知，C板上感应电荷 ；B板上感应电荷 （2）A板电势为4.30 电量为q 的点电荷处在导体球壳的中心，球壳的内、外半径分别为和，求场强和电势的分布。解：根据静平衡条件知，在导体内，在球壳层内的任意封闭面的电通量为0，利用高斯定理便知球壳内

17、表面所带电荷大小与球心的点电荷q相等，相差负号。由电荷守恒定律可知球壳外表面所带电荷为q，显然电荷分布具有球对称性。由高斯定理易得空间的场强分布由 得电势分布：4.31 设有1、2 两个电容器，C1= 3F ，C2= 6F ，电容器 1充电后带电量Q = 9×10-4 C，将其与未充电的电容器 2并联连接。问：(1) 电容器 1的电势差和电量有何变化？(2) 电容器 2上所带的电量是多少？其电势差多大？解：已知，两电容器并联并联后电容器的电压由此可见：（1）电容器1的电势差减少了200V；（2）电容器2所带电荷为，其电势差为4.32 两电容器的电容分别为C1= 10F，C2= 20F

18、 ，分别带电= 5 ×10-4C，= 4×10-4 C ，将C1和C2并联，电容器所带电量各变为多少？电能改变多少？解： ，电能改变则并联系统总电能的改变图4.27 题4.33图即体系的电能减少了4.33 将大地看成均匀的导电介质，并设大地的电阻率为。将半径为a的球形电极的一半埋于地下，如图4.27所示，求该电极的接地电阻。解：按电阻串联得： 4.34 一蓄电池，在充电时通过的电流为 2.0 A，此时蓄电池两极间的电势差为 4.6 V，当它放电时，通过的电流为 3.0 A，两极间的电势差为5.1 V。求蓄电池的电动势和内阻。解：充电时 （1） 放电时（2）（1）、（2）联立

19、求解得 4.35 利用安培计和伏特计来测量电阻，(已知安培计的内阻为 RA=0.03，伏特计的内阻为RV =1000)，测量时有两种接法，如图4.28 所示(1) 按图 (a) 的接法，安培计的读数为 = 0.32 A ，伏特计的读数为= 9.60 V ，求由于在计算电阻时未考虑安培计内阻而造成的相对误差(2) 按图(b)的接法，安培计的读数为I2 =2.40A，伏特计的读数为V2=7.20 V，求由于在计算电阻时未考虑伏特计内阻而造成的相对误差图4.28 题4.35图 解（1）内安法：未考虑安培计内阻 而实际电阻相对误差%（2）外安法 而实际电阻满足 由此解得： 相当误差为 %4.36 一半

20、径为R的电介质实心球体均匀地带正电，单位体积所带电荷为，球体的介电常数为，球体外充满介电常数为的无限大均匀电介质。求球体内、外任一点的场强和电势。解：选过场点以介质球心为心的球面作为高斯面，利用有介质时的高斯定理及球对称性可得，在介质内 ， 在介质内 由此得 ， 即球内外的电场分布为 进一步由 可得电势的分布4.37 平行板电容器的两极板上分别带有等量异号电荷，其面密度为9.0×10-6 C·m-2 。在两极板间充满介电常数为3.5×10-11 C2·N -1·m-2 的电介质。求：(1) 自由电荷所产生的场强；(2) 电介质内的场强；(3)

21、电介质上束缚电荷的面密度；(4) 由束缚电荷产生的场强。解：（1）（2） （3） 与自由电荷符号相反。（4）束缚电荷产生的电场 4.38 设半径都是r的两条平行的“无限长”直导线 A、B，其间相距为 d (d >> r)，且充满介电常数为的电介质。求单位长度导线的电容。解：设每条导线单位长度所带电量为，符号相反，在两导线所在平面上的导线间区域，它们产生的电场方向相同，且对两导线间的电势差的贡献相等。所以两导线间的电压为：由电容的定义便可得单位长度导线的电容为：4.39 如图4.29所示，平行板电容器的两极板间充满三种相对介电常数分别为的电介质，极板间距为d，三种电介质与极板接触的面积分别为。设极板间电压为U，忽略边缘效应，求：图4.29 题4.39图(1) 三种电介质内的场强；(2) 极板上的带电量；(3) 电容器的电容。解：（1）（2）， 同样： （3）可看成三电容器并联同样 ，而 4.40 一平行板电容器的极