线性空间习题解答

1、第六章 线性空间习题解答P267.1设 证明: 一方面 另一方面, 由于, 得2 证明: (1).(2)证明: (1) 即 . 于是有.另一方面,因为 ,所以.(2) 一方面, ,所以.另一方面, 若 若 总之有.3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.(1) 次数等于n(n³1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法.(2) 设A是n´n实矩阵, A的实系数多项式f(A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.(3) 全体n级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向

2、量的加法和数量乘法.(5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:,.(6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k×a=0.(7) 集合与加法同(6), 数量乘法为 k×a=a.(8) 全体正实数R+,加法和数量乘法定义为: aÅb=ab, ka=ak.(1) 否. ,因为2个n次多项式相加不一定是n次多项式. 取f(x)=xn, g(x)=xn-1. 则f(x)+g(x)=-1不再是n次多项式.(2) 是. 因为集合作为n级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.(3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称

3、(反对称,上三角)矩阵.(4) 否. 设, b=(a,b)¹0. 取a=(a+1,b), g=(a-1, b), 则a, gÎV, 但是, a+ g ÏV.(5) 证明: 1显然V非空. 2个代数运算封闭. 先设 =（kla1,klb1+=kl(7)(k+l) =（k+1）a1,(k+l)b1+ =(k+1)a1,(k+l)b1+ (8) 满足3,故V是一个线性空间(6) 否. 不满足定义3之(5): (7)(8) 可以验证这是一个实数域上的线性空间. (V=R+ P=R ab=ab )证明: 1. V非空且关于,封闭. 2. 任取a,b,c(1) ab=ba=b

4、a(2) (ab)c=(ab)c=a(bc)=a(bc)(3) 零元0=1, a0=a1=a(4) 负元-a=,a(-a)=a=1=0.(5) 1a=a1=a(6) k(la)=k(a1)=(a1)k=alk=(lk)a(7) (k+l)a=a(k+l)=akal=akal=kala(8) k(ab)=k(ab)=(ab)k=akbk = akbk= kakb故R+关于做成R上的向量空间.4. 在线性空间中, 证明: (1) k0=0. (2) .证明: (1) 设a是线性空间的任一个向量,由零向量的性质a+0=a,再由分配律: k(a+0)=ka= ka+k0, 所以k0=0.(2) 由(1

5、)得k(b+(-b)=k0=0=kb+k(-b), 得k(-b)=-kb. 所以k(a-b)=k(a+(-b)=ka+ k(-b)=ka- kb.5. 证明: 在实函数空间中, 0, cos2t, cos2t是线性相关的.证明: cos2t=2cos2t-1, 所以1- 2cos2t -cos2t=0. 线性相关6. 如果是f1,f2,f3线性空间Px中的三个互素的多项式, 但是其中任意两个都不互素, 证明它们线性无关.证:设设, 则.由于()=d(x)¹1, 那么d(x)整除的组合,故于是有 , 与矛盾!7. 在P4中, 求x在下的坐标.(1) .(2) .解: (1) 设是单位坐

6、标向量, , 则., 所以x在下的坐标是.(2) 同理解得所以x在下的坐标是(1,0,-1,0).8求下列线性空间的维数与一组基.(1) 数域P是的空间.(2) 中的全体对称(反对称, 上三角)矩阵作成的数域P上的线性空间.(3) 第3题的(8)中的空间.(4) 实数域上由矩阵A的全体实多项式组成的空间, 其中.解: (1) 的一组是.它们线性无关, .且任何, 所以.(2)中全体对称矩阵集合S(P),它的一个基是 中全体反对称矩阵集合K(P),它的一个基是 .中全体上 .中全体真下 (3) 对于第2题之(8)中的空间R+, 这是一个一维的线性空间, 事实上,我们可以取其中的一个数e(无理数)

7、, 则e¹1, 且对于任意的aÎ R+,去k=lna,有a=k×e=elna. 即a可由e线性表出.(4) 解：因为3=1, 所以.故对任意的设,则故.E,A,A2可表示V中所有元素。如果系数行列式.即，E、A、线性无关，由定理1, dimV=3, 它的一个基是E, A, . 9. 在P4中,求由基到基的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐标.(1)(2) , , .(3) . .求.解(1) 设过渡矩阵是A, 即()=()A, 所以.x在下的坐标为(2) 求由求由基到基的过渡矩阵,并求x在下的坐标.解: ()=()A, ()=()B, 所以()=()B= ()A-1

8、B=()T.求得过渡矩阵是, x在下的坐标为.(3) 与(2)类似,得到基到基的过渡矩阵为. x在下的坐标为10继第9 题1）求一非零向量，它在基与下有相同的坐标.解: 由条件可知, 应该求向量使得=. 即=()=(). ()=0, 求得=.11. 证明实数域作为自身上的线性空间与第3题之(8)中的空间同构. 证明: 已知第3题之(8)中的空间是一个一维的线性空间. 实数域作为自身上的线性空间元素一维的. 事实上, 1就是它的一组基,任何向量aÎR都可由1线性表出: a=a×1. 由定理12, 同一个数域上的两个线性空间同构当且仅当它们的维数相同,所以这两个空间同构. 12

9、设V1, V2 都是线性空间V的子空间且V1 V2, 证明如果, 则.证明: 取的V1基: , 则Î V2, 由于,得也是V2的基. 得.13. 设AÎ,(1) 证明全体与A可交换的矩阵组成的一个子空间. 记作C(A). (2) 当A=E时, 求C(A).(3) 当时, 求C(A)的维数和一组基.解: (1) ."kÎP, ., C（A）是的一个子空间.(2) .(3) 设X=(xij)ÎC(A), 由于, 由AX=XA, 得.于是有ixij=jxij, (i-j)xij=0, 当i¹j, xij=0. X是对角形矩阵.线性无关, 是

10、C(A)的一个基, 故 dimC(A)=n.14. 设中全体与A可交换的矩阵所成子空间的维数好一组基. 解: 因为, E与任何矩阵乘积可交换, 所以只需求X使得BX=XB. 设=XB=, 得c=0, f=0. 且, 为含有7个未知量具有两个方程的齐次线性方程组, 取a,b,d,e,i为自由未知量. C(A)的一组基:.dimC(A)=5.15. 设, 且 证明. 证明: .所以向量组a, b和b, g可以相互线性表出, 等价的向量组生成相同的子空间, 所以.16. 在P4中, 求生成的子空间的基与维数.(1) 解: 是该子空间的一组基, 该子空间的维数是3.解法2. ()=. 得是该子空间的一

11、组基, 该子空间的维数是3.(2) 是一个极大无关组.是它的一个基.17. 在P4中,确定有齐次方程组确定的解空间的基与维数.解: A=.R(A)=2, 基础解系含4-2=2个向量，可为解空间的维数为2，基底一个是 .18. 求由向量ai生成的子空间与由向量bi生成的子空间的交的基与维数.(1) , .解: 设. 若设 . 有非零解如 即它的一个基是 .(2) , .解：由于这4个向量线性无关, 所以两个子空间的交为0.(3) , .由秩为3. , 设则得R,.取方程组一个非零解即是一个所求的基.19. 设V1，V2分别是齐次线性方程组 的解空间, .证明: 由于线性方程组的系数矩阵的秩为1，

12、所以解空间V1是n-1维的. 的系数矩阵 的秩为n-1, 所以解空间V2是一维的.dimV1+dimV2=n. 对任意的, 有,得x=0. 所以. 所以.20. 如果.证法1. 设及ÎV1, 得 再考虑到, 故 证法2. 且, , . 即.21. 证明：每一个n维线性空间都可以表示n个一维子空间的直和.证明: 设是该线性空间的一组基, 令Wi=L(ai), i=1,2,n. 设0向量的表达式为0= , 由于线性无关得:, 且表达式唯一. 因此 .22. 证明是直和的充要条件是证明: 必要性. 若故若为直和, 则, 所以充分性. 若.设中第一个不为0的向量, 则 显然若k=1又与已知矛

13、盾，故 23. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中所有自原点引出的向量天添上零向量构成一个三维线性空间R3. (1) 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间?(2) 设有过原点的三条直线, 这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间L1, L2, L3, 问L1+L2, L1+L2,+L3能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来.(3) 就用该三维空间的例子来说明若U,V,X,Y是子空间，满足U+VX，XY，是否一定有Y = Y U + Y V.解答: (1) 当平面经过原点是线性子空间. 当平面不经过原点则不是.(2) L1+L2:(a) 直线L1与L2重合时(共线)，是L1 +L2一维子空

14、间；(b) 直线L1与L2不重合时(不共线)， L1 + L2是二维子空间. L1+L2+L3:(a) , 生成直线. (b) 生成平面. (c) 两两不共面, 生成空间R3.(3) 不一定成立. 令过原点的两条不同直线L1，L2分别构成一维子空间U和V，XUV是二维子空间，在L1，L21决定的平面上，过原点的另一条不与L1，L2相同的直线L3构成一维子空间Y，显然YX, YU = 0, Y V = 0, 因此(Y U)Å(Y V) = 0故Y = (Y U)Å(Y V) 并不成立。第六章补充题 P.2711. (1) 证明在中, 多项式是一组基, 其中a1,a2,an是互

15、不相同的数.(2) 在(1)中取a1,a2,an是全部的n次单位根, 求由基1，x, x2,xn-1到f1,f2,fn的过渡矩阵.证明: 设, 则,并且, ¹0.如果n=1,则显然线性无关.当n2，若线性相关, 不妨设,则在处,右边恒为0, 左边为, 矛盾. 为中n个线性无关的向量, 而dimPx=n, 从而结论成立.(2) 设n次本原单位根为v, 则全体n次单位根为1 , v, v2, , vn-1. 于是有: .过渡矩阵.2. 设是n维线性空间V的一组基, A是一个n´s矩阵, ,证明证明: 设 . 所以 =Q.因为Q是可逆矩阵, 所以向量组等价. 在考虑到 线性无关,

16、 P可逆, 线性无关, 所以其部分组线性无关. 因而.3. 设是一个秩为n的二次型, 证明存在Rn的一个维的子空间V1(其中s为符号差), 使得对任一, 有=0.证明: 由条件的符号差为S，那么f的正掼性指数, . 存在非退化线性替换X=CY，使 .不妨假设s³0, 即p³q. 取n维向量Y=(y1,y2,yn)如下: =(1,0,0,1,0,0)T, =(0,1,0,0,1,0)T,=(0,0,1,0,1)T.则在这些点处的值为均0. 且是个线性无关的向量, 如果令V2=L(), 则dimV2=q=. 对于任意的Z=(z1,z2,zn)ÎV2, 设Z=, 则在Z的值为0. 令, 则dimV1=q, 且f在V1上取0值.Z=(b1,bq,0,0p,-b1,-bq) ÎV2, . 对于X=(x1,x2,xn) ÎV1, 存在YÎV2使得X=CY, 所以f(X)=f(CY)=g(Y)=04. 设V1,V2是线性空间V的两个非平凡的子空间, 证明在V中存在a使aÏV1, 且aÏV2. 证明: 证法1. 若, 取, 证法2：取, 考虑.若, 则(k-l)bÎV1. 当k¹l时得矛盾. 所以