拓扑学 紧致性

1、第四章 紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。§4-1 度量空间中紧性（简单复习） 定义1 设是的一个子集。如果中任一无穷点列有子列收敛于中的一点，则称是相对列紧的；如果中每个收敛子列的极限点都属于，则称是列紧的；如果本身是列紧的，则称为列紧空间。 注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出）（1） 有限子集总是列紧

2、的。（2） 列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。（3） 若是的列紧子集，则是的有界闭集。（4） 在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果是列紧空间，则 列紧 是闭集。（5） 列紧的度量空间必是可分的。进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。人们找出了一种非序列刻画的方式。定义2 设是的一个子集。是的一族开集，满足，则称为在中的开覆盖；若中只有有限个子集，称为有限开覆盖；若本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称为紧致空间（有的书成为紧空间） 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。即列紧空间紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。

3、7;4-2 拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。所以，最早人们认为上这个特性取决于上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。后来研究发现，在拓扑空间上，序列并不是个好的表达形式。因此，列紧性并未触及到问题的本质。进一步深入研究，认为用“开集”表达形式更为自然。并且从实分析理论中知道：“实数空间的子集为有界闭集它的每一开覆盖都有有限子覆盖”。这种描述的优点：用有限族去代替无穷族（序列）的研究；无须度量描述。解释：为什么可以用有限覆盖表述

4、无穷序列收敛？ 定义3 设为拓扑空间，如果的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称为紧致空间。 显然，每一紧致空间也都是Lindelöf空间（的每一开覆盖都有可数子覆盖），反之不然。 定义4 设为拓扑空间的非空子集，若作为的子空间是紧致的，则称为的紧致子集。例1 实数集不是紧致空间。因为为的开覆盖，但是中任何有限子集族 的并集为，它不能覆盖，即没有有限子覆盖（解释：要覆盖只有。但这是一个无限的过程，不能用有限的方法得到）。例2 的开区间不是紧致的。因为开区间族： 是的一个开覆盖，中任何有限个成员都不能覆盖。例3 的子空间（为正整数集）是紧致的。 因为，任给的一个开覆盖，中有一个成员包含0，记

5、这个成员为（开区间）。于是，开区间除了有限个“”外，它要包含的所有其余的点，因此，对于中的每一个未包含的点，从中选一个报还它的成员，这些成员当然是有限的。例4 任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的。 重新看一下定义4：说为拓扑空间的紧致子集，是指中的开集构成的的覆盖都有有限子覆盖，并没有明显说明：每一的开集构成的的覆盖都有有限子覆盖。因此，下面的定理是必要的。定理1 拓扑空间的子集是的紧致子集每一由的开集构成的的覆盖都有有限子覆盖。证明： 假设是紧致的。令是由的开集组成的的一个覆盖，那么，就是中开集所组成的的一个开覆盖。由于是紧致的，从而有一个有限子族 可以覆盖，即它就是的一个覆盖的有限族

6、。 反之，设的每一由的开集构成的覆盖都有有限子覆盖。设为的由的开集构成的覆盖，其有限子覆盖为 而 故是的紧致子集。定理2 设为拓扑空间的基，若由的成员构成的的每一覆盖（自然是开的）都有有限子覆盖，则为紧致空间。证明： 设是的任一开集。对于，则是开集，故存在的子族，使得。令 （即，覆盖中所有成员的中集族）由 即，是中成员构成的的覆盖。 如果有有限子覆盖，不妨设为。故存在，使得，从而。于是，的有限子集族一定是的子覆盖。所以，为紧致空间。 定理3 紧致空间的每一闭子集都是紧致子集。证明： 设是紧致空间的闭子集，于是是的一个开集。如果是的任一开覆盖，不难看出构成的一个开覆盖。又因为是紧致的，故中存在有

7、限集族是的有限子覆盖，而是的一个有限子覆盖，即闭集的任一开覆盖都有有限子覆盖，所以，是紧致的。下面的几个定理不加以证明的给出。定理4 每一拓扑空间都是某一紧致空间的子空间。定理5 若均为紧致空间，则积空间为紧致空间。定理6 设是从拓扑空间到的连续映射，若是的紧致子集，则是的紧致子集。上述定理的解释：abNR定理4说明，对于非紧致的拓扑空间，可以通过补充一些元素的方法，使其成为紧致空间，并将这个紧致空间称为原空间的加一点的紧致化。 实直线的单点紧致化同胚于圆周（补充点）； 的单点紧致化同胚于球面。 同时，从定理4 又可以看出，紧致空间的子空间未必是紧致的。即，紧致性不是可遗传性质。定理6说明：紧

8、致集在连续映射下的象也是紧致集。从前面的定义知：紧致性是用一族开集的并运算定义的（开覆盖），那么，根据集合论中的摩根定律，“开集的并运算”与“闭集的交运算”是对偶的。所以，空间的紧性也可以利用另一种方式来定义。（尽管这种定义是较费解的，但是在拓扑学的某些证明中还是有用的）定义5 令为任意非空集合，是的任一子集族。如果的每一有限子集族的交集都是非空的，则称具有有限交性质。 定理7 拓扑空间是紧致的 的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交。 关于定理7的注释（不证明）： 关于“的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交”的含义是： 设是上的一族闭集合，它中的任何有限个集合的交集都是非空的，即是有限

9、交性质的。则应由，即，闭集族都必含有某个相同元素。§4-3 紧致性与分离公理（Hausdorff空间的紧致子集）本节讨论紧致空间和公理共同作用下得到的拓扑空间性质。定理8 设是Hausdorff空间的紧致子集，若，则与有不相交的邻域。AVUx证明： 对于，则。由于是空间，则有和的开邻域(注：下标均为，表示这两个邻域与的选择有关)，且。当取遍时，有构成的开覆盖。又由于是紧致子集，故存在有限子覆盖，设为。令 ABVU则是的开邻域，是的开邻域。又，对于任意均有。所以，。 证毕。 定理9 Hausdorff空间的不相交紧致子集有不相交的邻域。 证明方法与定理8 雷同，证略。它的意义如右图所示

10、。由定理8和定理9，可以得到如下的推论。推论1 Hausdorff空间的每一紧致子集都是闭集。注释：因为，则（闭包），所以不是的聚点，即是含有聚点的集合，故是闭集。推论2 紧致的Hausdorff空间的子集为闭集 它是紧致子集。注释：根据推论1得到；由定理3“紧致空间的闭子集是紧致子集”得到。 于是，有如下关系： 紧致空间： 闭集 紧致子集 Hausdorff空间： 闭集 紧致子集紧致Hausdorff空间： 闭集 紧致子集 另外，由定理9，我们得到如下结论。推论3 每一紧致的Hausdorff空间都是空间。注释：根据紧致Hausdorff空间的紧致子集是闭集，且闭集也是紧致集。则由定理9，有

11、不相交邻域，则是空间。推论4 每一紧致的Hausdorff空间都是空间。 注释：由紧致Hausdorff空间的紧致子集等价于闭集，再由定理8，则是空间。于是，我们又推出如下关系： 对于紧致空间： Hausdorff空间 正则空间 正规空间注： 已知： 正规空间 正则空间 Hausdorff空间 （ã） 又，紧致空间是Lindelöf空间，而对Lindelöf空间有，于是正则空间 正规空间 又由推论3和4，故有（ã）成立。定理10 从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射必为闭映射。证明： 设为紧致空间，为Hausdorff空间。为连续映射。设是的任一

12、闭集，故而是紧致子集（由定理3），则是的紧致子集（由定理6）。由推论1，是闭集。故为闭映射。定理11 为紧致空间，为Hausdorff空间，是在上的一一连续映射，则是同胚。证明： （提示：只要证明是连续的）在第二章§2-5“连续映射与同胚”中定理1（3）已有结论：“，若的闭集在下的原象是闭的，则连续”在此，记；于是利用定理10，有是连续的。故是同胚。 关于“欧氏空间的紧致子集”一节略，同学们可以自己看。§4-4 几种紧致性的关系（简介）在微积分学中，实数空间的子集上，下述命题是等价的：（1）是有界闭集；（2）的每一开覆盖都有有限子覆盖；（3）中每一无限子集都有聚点在中；（4

13、）中每一序列都有收敛的子序列收敛于中的点； 同时，（2）可以写成（5）的每一可数开覆盖都有有限子覆盖（注：由（5）不能推出（2）！ 即，（5）不是（1）（4）的等价命题）定义6 设为拓扑空间，如果的每一可数开覆盖都有有限子覆盖，则称为可数紧致空间。下面的命题都是显然的。命题1 每一紧致空间都是可数紧致空间。命题2 每一Lindelöf的可数紧致空间都是紧致空间。注释： Lindelöf空间每一开覆盖有可数子覆盖。如果它又是可数紧致空间，则每个可数子覆盖都有有限子覆盖，则每个开覆盖都有有限子覆盖，故是紧致空间。前面介绍了度量空间的列紧性，列紧性也可以移植到拓扑空间中。定义7

14、设为拓扑空间，如果的每一无限子集都有聚点，则称为列紧空间。 （说明：许多书对列紧的定义不一致）定理12 每一可数紧致空间都是列紧空间。（不证明）定义8 设为拓扑空间，如果中每一序列都有收敛的子序列，则称为序列紧致空间。定理13 每一序列紧致空间都是可数紧致空间。每一满足第一可数公理的可数紧致空间都是序列紧致空间。 由上述定理，我们可归纳出如下关系：紧致空间可数紧致空 间序列紧致空 间列紧空间C1LindelöfT1未证明 §4-5 局部紧致与仿紧紧致性是一种很好的拓扑性质，如，紧致空间上的函数有界，并且达到最大、最小值。但是，紧致性的条件太强，以至于维欧氏空间也不是紧致的（

15、的闭子集是紧致的）。本节介绍紧致性的两个方面推广 局部紧致和仿紧的。定义9 设为拓扑空间，如果的每一点都有一个紧致的邻域，则称为局部紧致空间。注释：“，都有一个紧致的邻域”，表示至少存在一个，并不是说的所有邻域都是紧致的。 由定义9不难看出： 紧致空间一定是局部紧致的。 因为，若是紧致的，则其闭子集也是紧致的，只要取包含的闭集作为的邻域即可； 另外，本身就是每一的邻域。 维欧氏空间是局部紧致空间。 因为欧氏空间上的闭子集是紧致的，于是的球形邻域的闭包是紧致的。下面讨论局部紧致性与公理（Hausdorff空间）配合的结果。 定理14 设是局部紧致的Hausdorff空间，则（1）满足公理。（2）

16、，的紧致邻域构成它的邻域基（也称局部基）。（3）的开子集也是局部紧致的。证明：（1）证明思路：由§3-4节命题5，有 “是 和它的开邻域，存在的开邻域，使得”。于是，设，是的开邻域，仅证存在的开邻域，使得。设是局部紧致的Hausdorff空间，是的开邻域。有一紧致邻域。根据§4-3中推论1“Hausdorff空间的每一紧致子集都是闭集”，则是的闭集。又由推论4“每一紧致的Hausdorff空间都是空间”，则作为子空间是空间。令，则是在中的开邻域；由于是空间，则有在中的开邻域，使得。以为是的开集，是的闭子空间，是中闭包，也是中闭包。综上所述：，在中的开邻域，满足，即是空间。 （2）证明思路：根据的局部基定义，只要证明对于的任一开邻域，存在的一个紧致邻域，使得。对于，设是的一个紧致邻域，则也是的邻域。又根据（1）知，满足公理，于是，存在的邻域，满足。取，它是紧致空间的闭集，故也是紧致的。（3）可由（2）直接推出。在定义仿紧性之前，先给出两个概念： 设是拓扑空间的一个覆盖，如果对于任一，有一邻域，仅与中有限个成员相交，则称为的局部有限覆盖。易知，有限覆盖当然是局部有限覆盖。 设和都是的覆盖，若的每一成员都包含在的某个成员中，则