微积分在经济管理中的应用

1、目 录 摘要I ABSTRACTII第一章 绪论11.1 引言11.2 研究经济问题常采用的方法11.3数学思想在经济管理中的应用1第二章 微分在经济管理中的应用32.1 需求函数与供给函数32.2 总成本函数、总收入函数和总利润函数42.3 一元经济函数的边际函数52.4 多元经济函数的边际函数8第三章 弹 性9第四章 积分的经济应用11第五章 微积分在经济管理中的一些其他应用135.1 最小平均成本135.2最大利润问题145.3 生产两种产品的最大利润155.4 根据最大利润原则确定商品价格17第五章 结 论18参考文献19致谢20第一章 绪论1.1 引言现代化经济理论已经从过去的经济定

2、性分析发展成为量性分析和定性分析相结合。因而高等数学的一些方法如函数理论微积分、矩阵、概率统计、运筹学等知识在经济管理中都有了广泛的应用。数学是一门高度抽象的理论性学科,又是一门应用广泛的工具性学科,如何将抽象的数学理论应用到具体的实践中去,以使数学这门古老、严谨、深刻的经典科学和现代数学理论找到崭新的应用市场，这在高等数学的教学过程以及经济学的研究过程中,都是至关重要的。实践证明,用数学方法对经济问题所作的定性分析和定量分析是严谨的、慎密的,可信的。1.2 研究经济问题常采用的方法随着经济问题的多样化和数学手段的丰富,研究经济问题的方法、方式也各有不同。在定量的描述、研究经济关系和经济规律的

3、方法中,一种简单的流程图为:经济理论模型数学型估计模型、确定模型的未知量经济结构分析经济预测政策评价、调整。其中,结构分析包括:研究分析经济变量之间的内在联系和检验经济理论。经济预测包括:借助于科学的数学方法和技术手段,对未来的发展和状况进行描述、分析,形成科学的假设和判断。政策评价是指决策者从众多的决策中选择一种最优的政策来执行。其中用到弹性函数、乘数、生产技术系数、边际效益等数学概念。1.3数学思想在经济管理中的应用在经济活动中生产者与消费者通过市场交换商品, 消费者购买商品是为了得到它的效用, 生产者提供商品为了获取利润, 而市场就是生产者和消费者之间的桥梁我们知道某种商品的市场需求量是

4、商品价格的函数, 一般说来将随着价格的上涨而减少, 即需求量是市场价格的单调减少函数, 与需求函数相反, 供给函数是随着市场价格的上涨而增加。收入是生产者生产的商品售出后的收入, 生产者销售某种商品的总收入取决于该商品的销售和价格,成本函数固定成本厂房设备管理者的固定工资等和变动成本原材料劳动者的工资等, 利润是生产者扣除成本的剩余部分它也是产量的函数。经济学中的一些问题与导数的联系极为密切,涉及到的有边际成本、边际收益、边际利润、边际需求等.边际问题，边际成本、边际收益、边际利润、边际需求在数学上可以表达为自总函数的导数. 积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数。为了

5、研究经济变量之间的联系及其内在规律常需要建立某一经济函数及其导数和积分所满足的关系式,并由此确定所研究函数形式,从而根据一些已知的条件来确定该函数的表达式.从数学上讲就是建立微分方程并求解微分方程. 利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量(供给量) 之间的函数关系、预测可再生资源的产量,预测商品的销售量、分析关于国民收入、储蓄与投资的关系问题等。 经济管理是研究人们如何分配有限资源来满足人们需要的一种方法，它的主要作用在于如何用已有的数学方法结合经济中的各种要素来使得人们利用最有限的资源获得最大的 利益或者是风险最小的利益。以期满足人们日益增长的物质文化需要。应该用什么合理的方法来解决影响

6、经济管理的各种要素？在经济管理中我们主要需要知道需求和供给与价格的关系。从经济学中知道，需求是消费者在某一特定时期内在不同的价格水平上愿意并且能够买到的商品量。在经济学中的需求定理指当某种商品的价格下降时，买者对这种商品愿意而且能够购买的数量就会增加；反之，当某种商品的价格上涨时，买者对这种商品愿意而且能够购买到的数量就会减少。供给是指厂商在某一特定时期内、在不同价格水平上愿意而且能够提供出售的商品量，供给定理是：当某种商品的价格上涨时，卖者对这种商品愿意并且能够提供的数量就会增加；反之，当某种商品的价格下降时，卖者对这种商品愿意并且能够提供的数量就会减少。第二章 微分在经济管理中的应用2.1

7、 需求函数与供给函数 需求函数需求量是指在特定时间内，消费者打算并能够购买的某种商品的数量，用表示，它与商品价格密切相关，通常降低商品价格使需求量增加；提高商品价格会使需求量减少。如果不考虑其它因素的影响（或其它因素不变），则是的函数，称为需求函数，记作它通常是一个单调减少函数。常见的需求函数有以下几种类型：（1）线性需求函数 （2.1）（2）二次需求函数 （2.2）（3）指数需求函数 （2.3）有时也把的反函数也称为需求函数。 供给函数供给量是指在特定时间内，厂商愿意并能够出售的某种商品的数量，用表示，假设除了商品的价格外影响供给的其它因素均不变，则是的函数,它通常是一个单调增函数。常见的供

8、给函数有以下几种类型：（1）线性供给函数 （2.4）（2）指数供给函数 （2.5）当时，市场的供需处于平衡状态，此时的价格称为均衡价格，需求（或供给）量称为均衡数量.当商品由某厂商独家生产时，厂商是价格的制定者，它自然会考虑消费者对价格的反应,并依需求规律组织生产，其产量即需求量，价格与产量（需求量）的关系由需求函数确定，称该商品市场为完全垄断市场；当商品由众多互不占优势的厂商共同生产时，各厂商之间、消费者之间展开竞争并最终使市场处于均衡状态，此时商品价格即为均衡价格,单一厂商或消费者的行为（改变产量或需求量）不再影响市场均衡，称该商品市场为完全竞争市场。例 1 当鸡蛋收购价为每公斤4.5元时

9、，某收购站每月能收购5000公斤。若收购价每公斤提高0.1元，则收购时可增加400 公斤，求鸡蛋的线性供给函数。解 设鸡蛋的线性供给函数为 （2.6）由题意有 （2.7） （2.8）解得，所求供给函数为2.2 总成本函数、总收入函数和总利润函数在生产和经营活动中,如果投入的各要素价格不变,则成本是产量或销售量的函数,称为总成本函数。一般地,总成本由固定成本和可变成本两部分组成 （2.9）其中固定成本与产量无关,如厂房、设备的折旧费、企业管理费等,可变成本随产量的增加而增加,如原材料、动力、工人的工资等。常见的成本函数有 （2.10）以总成本除以产量,得平均成本函数其中与分别称为平均固定成本与平

10、均可变成本。厂商销售单位的商品所得收入为,称为总收入(益)函数.设商品的价格为,则总收入函数为 （2.11）若商品的需求函数为,且产销均衡,则总收入函数为 （2.12） 总利润是总收入与总成本之差, 故总利润函数为例2 生产某产品的固定成本为1万元,可变成本与产量(单位:吨)的立方成正比,已知产量为20吨时,总成本为1.004万元.求总成本函数和平均成本函数。 解 总成本函数 将C(20)=1.004代入上式,得k =,则总成本函数为 平均成本函数为 2.3 一元经济函数的边际函数经济学上将函数的导数称为边际函数.以总成本函数为例,其导数称为边际成本函数,也记为MC,显然。为在到产量间隔内的平

11、均成本,当很小时取(经济学上通常认为1个单位已经相当小了),则说明在产量为时,生产最后一个单位的产品花费的成本约为,或者说在产量为时, 再生产一个单位的产品花费的成本约为。下面讨论边际成本与平均成本的关系.平均成本函数为 由于产量,则当时,此时增加产量将使平均成本减少；当时,故增加产量将使平均成本增加。例如 某电视机厂生产5万台电视机，在成本为6000万元，平均成本为每台1200元。当它生产第50001台时，如其成本(即边际成本)也是1200元，则平均成本不变；若此台电视机的成本为1150元，即边际成本小于平均成本，则多生产此台电视机使平均成本下降；若此台电视机的成本为1250元，即边际成本大

12、于平均成本，则多生产此台电视机使平均成本增加。总收入函数的导数称为边际收入函数，也记为，是企业在产量为时，再生产一个单位的产品增加的收入的近似值，也是销售最后一个单位的产品所得到的收入的近似值，即最后哪个单位产品的售价。总利润函数的导数称为边际利润函数，是企业销售最后一个单位的产品所得到的利润的近似值，或多销售一个单位的产品所得到的利润的近似值。由于，则有即边际利润等于边际收入与边际成本之差。效用函数的导数称为边际效用函数，记作，表示消费者消费第单位的商品所获得的效用，效用函数为为增函数，则。边际效用为单调减函数，称为边际效用递减规律。若的二阶导数存在，则。设消费函数与储蓄函数分别为与，称为边

13、际消费倾向，记为，表示收入增加一单位时消费相应的增加量，即这一单位收入中被用来消费的部分称为边际储蓄倾向，记为,表示收入增加一单位时储蓄的增加量,由变量的实际含义及三者之间的关系不难得到 且例3 某商品由一企业垄断生产，产品的需求函数为。 (1)计算需求的变化速度并说明其意义； (2)计算时，企业的边际收入。 解 (1)需求的变化速度为常数，说明价格每上涨1单位，需求量将减少0.5单位。 (2)总收入函数为，边际收入。当时，边际收入分别为，时，此时增加产量将使总收入增加，时，此时增加产量总收入反而减少，由此可见，在时，总收入最大，此时价格为。由总收入函数的图形亦可得相同结论。例4 某酸乳酪商行

14、发现它的收入函数和成本函数分别为，的单位为千升，以千元计。边际成本，它随的增大而减少，即产量越高，单位产品成本越低.，表明在生产千升的基础上，再多生产升，约需成本1.5元(由可看出与实际值非常接近)，表明在生产4千升的基础上，再多生产升，只需成本0.75元。那么是否生产越多，赚钱就越多呢？解 边际收入，说明在生产4千升的基础上，再多生产升，总收入几乎无变化。到底生产多少赚钱最多?这要从边际利润来讨论。边际利润。当时，每多生产1升，总利润将增加；时，再多生产1升，总利润几乎无变化；当时，生产越多，总利润反而减少，这是由于产量增大导致价格下跌所至。由此可见,在生产3千升时，商行赚钱最多。如果经济量

15、是时间的函数，则其导数表示时刻经济量的绝对变化速度，即单位时间内经济量变化值的近似值。2.4 多元经济函数的边际函数与一元经济函数的边际函数类似，多元经济函数的偏导数有其相应的经济意义。设需求函数为，这里为商品的需求量，为该商品的价格，为与此商品有关的另一商品的价格,为消费者的收入。偏导数分别称为价格的边际需求、相关价格的边际需求和收入的边际需求。在全微分中，令，即相关价格和收入不变，商品自身价格上涨1单位，则，即在相关价格和收入不变，商品自身价格上涨1单位时，需求量近似减少单位(因)，对有类似解释。如果，说明两商品是相互竞争的(也称相关商品为替代品),如果，说明两商品是相辅的(也称相关商品为

16、互补品)。如果，说明需求量与收入同方向变化，商品为正常品，如果，说明需求量与收入反方向变化，收入增加后需求量反而减少，说明商品为劣质品。若厂商生产两种产品, 产量分别为。总成本函数为，其偏导数分别称为两种产品的边际成本，记作其中表示在原有生产规模下，产品的产量不变，多生产1单位的产品所增加的成本，有类似意义。称总收入函数的偏导数为两种产品的边际收入，记为分别表示在另一产品产量不变时，多生产一个单位的产品所引起的收入的改变量。生产函数的偏导数分别称为资本的边际产量和劳动的边际产量，分别记为与，表示在另一投入要素不变时，单位要素对产量的贡献。效用函数的偏导数分别为两商品的边际效用,记为表示在另一商

17、品的消费量不变时，多消费一个单位的商品所增加的效用，通常情况下。例5 生产函数为，求时资本和劳动的边际产量。解 资本和劳动的边际产量分别为，在时第三章 弹 性商品价格的提高或降低会引起需求量的减少或增加，但价格变化以后，需求量所作出的反应或增减变化程度，不同的商品时不同的，同一种商品在不同的价格水平上也是不同的。所以需求的弹性可以用来衡量价格变动的比率所引起的需求量变动的比率，也就是两者之间的灵敏程度。在经济学中，弹性可以理解为：它是一个因变量的相对变动和一个自变量的相对变动之比，以E来表示弹性系数，即：如果设数量变动的百分比为2，价格变动的百分比为1，则弹性系数为 （3.1）函数称为的弹性函

18、数，在处的弹性为其弹性函数在处的函数值.在，时，。设需求函数为，定义需求价格弹性 （3.2）表示在价格为时，价格上涨(或下跌)1%需求量约减少(或增加)，表明需求与价格反方向变化。 若，表示需求量的相对变化率高于价格的相对变化率，需求对价格的反应较强，价格变化，需求量的变化将超过，称为弹性需求或富有弹性，一般高档消费品属此类。若，表示需求量的相对变化率低于价格的相对变化率，需求对价格的反应较弱，价格变化，需求量的变化将小于，称为非弹性需求或缺乏弹性，一般生活必需品多属此类。许多商品在不同的价位上，需求价格弹性的性态是不同的，一般当价格较低时是非弹性需求，当价格较高时是弹性需求。若，表示需求量的

19、相对变化率与价格的相对变化率相同，需求对价格的反应按相同比例反方面进行，称为单位弹性需求。时，价格的任何变动都不会改变需求量，这样的商品并不多见，时，价格的微小变化将会引起需求的巨大变化，这样的商品也不多见。但在完全竞争市场上，单个厂商的价格变化，在其余厂商作出反应之前，它面临的需求曲线具有无穷大的弹性。对其余一元经济函数，可类似地定义其弹性，如供给弹性、成本弹性等。设某商品的需求函数为，这里为商品的需求量，为该商品的价格，若该商品是完全垄断的，生产商的产销均衡，则厂商的销售收入为其中为需求价格弹性。当时，此时涨(降)价会使总收入减少(增加)。当时，此时涨(降)价会使总收入增加 (减少)。当时

20、，。此时涨(降)价，总收入几乎无变化。由可导函数取极值的必要条件，在R(P)的驻点唯一时，单位弹性可使总收入最大。收入的价格弹性为在价格变化很小时边际收入与弹性的关系为第四章 积分的经济应用积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数。设总量函数在区间上可导，其边际函数为，则总有函数 （4.1）当从变到时，的改变量为 （4.2）将改为产量，且时，将代之以总成本、总收入、总利润，可得 （4.3）其中即为固定成本，为可变成本某商品的边际利润函数为，为该商品的销售量，销售此商品的盈亏平衡点为，求总利润函数。解 因商品的盈亏平衡点为，则，代入上式可得，故总利润函数为 设总量函数在区间

21、上可导，其边际函数为，则有总量函数当从变到时，的改变量为将改为产量且时，将代之以总成本，总收入，总利润，可得其中即为固定成本，为可变成本.例 经济学家研究一口新油井的原油生产速度R(t),并建议用以下模型： 这里t的单位为年,A是平均速度(常数),而B是“变率”系数(常数).求出开始N年内生产的石油的总和(取N为整数); 解 设开始N年内生产的石油的总和为,由于,则 其中 则因此有 第五章 微积分在经济管理中的一些其他应用5.1 最小平均成本设成本函数为,求平均成本最小时的产量、边际成本及最小平均成本。 解 平均成本函数为令得唯一驻点，又因为则在时，平均成本最小，最小平均成本为边际成本函数为在

22、时，。 一般地,若成本函数为，则平均成本函数为令得，故平均成本在处最小的必要条件为处的平均成本等于边际成本又因为在驻点处，, 则,则等价于，从而平均成本在处最小的充分条件为为唯一正驻点且。5.2最大利润问题一玩具经销商独家销售某种玩具，经销商的的收入函数为其中为销售量。成本函数为求该经销商的最佳销售方案及最大利润。解 总利润函数令得唯一驻点。又因为则在销售量为3000时，总利润最大。最大利润为。一般地,因为，则在Q0处利润最大的必要条件为Q0处的边际收入等于边际成本 由边际收入与需求价格弹性的关系可将上式改写为其中为处的价格，为价格为时的需求弹性。这也是厂商确定商品价格的方法之一。由得在处利润

23、最大的一个充分条件为5.3 生产两种产品的最大利润某工厂预备生产两种产品，当产量分别为时，总成本为已知两产品售价分别为10元和9元，问两种产品各生产多少时,工厂可获最大利润？最大利润是多少？解 总利润函数为 令解得驻点.又且,则在两产品分别生产120与80时，工厂可获最大利润.最大利润为. 当企业生产两种产品时，总收入函数与总成本函数分别为,则总利润函数为令得总利润最大的必要条件为即两产品的边际收入分别等于各自的边际成本。若两产品的市场都是完全竞争市场，其价格分别为常数，则两产品的边际收入即为各自价格，从而总利润最大的必要条件为两产品的边际成本分别等于各自的价格此时则利润最大的充分条件为5.4 根据最大利润原则确定商品价格某商品进价为(元/件)，根据以往经验，当销售价为(元/件)时